逆向思維在微積分教學中的應用

金少華，臧婷，徐勇，程俊明

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逆向思維在微積分教學中的應用

金少華，臧婷，徐勇，程俊明

微積分課程[1]以其嚴密性、抽象性、邏輯性、連貫性和推理性而著稱，教學過程中普遍存在教師難教、學生怕學的問題．逆向思維具有把數學問題化隱為顯、化難為易和化繁為簡的功效．為提高微積分課程的教學質量和學生的學習效果，本文指出在微積分課程教學中應注意運用逆向思維等多種思維形式．

逆向思維的基本特點是從已有思路的反方向去思考問題．許多事實表明，逆向思維有利于開闊思路，有助于解決某些難題，克服思維定勢的保守性，值得在教學過程中積極運用．如微分中值定理是微積分中基本的、重要的定理，證明的關鍵在于構造一個輔助函數，使其滿足定理條件．由于學生對于構造輔助函數尚屬初遇，從而很難接受．但若用逆向思維，便可較自然地找出輔助函數，易于學生接受．

柯西中值定理[2]如果函數與在閉區間上連續，在開區間內可導，并且在開區間內，那么至少存在一點，使得.

分析對該題的通常解法是：先求出所給冪級數的收斂域，即和函數的定義域，然后利用冪級數的運算性質，和函數的連續性、可積性、可微性及變量代換求出和函數，過程較為繁瑣．可以嘗試運用逆向思維求該冪級數的和函數．

本題運用逆向思維的求解方法是由已知的冪級數展開式（的展開式）及其收斂域向要求和函數的冪級數湊，這就把該問題化隱為顯，化難為易，化繁為簡了．

[1] 高等學校工科數學課程教學指導委員會本科組．高等數學釋疑解難[M]．北京：高等教育出版社，1992

[2] 同濟大學應用數學系．微積分[M]．3版．北京：高等教育出版社，2010

（河北工業大學 理學院，天津 300401）

河北省高等教育學會“十二五”規劃教研立項課題（GJXH2015-269）；河北工業大學教研立項重點項目（201502022）；2016—2017年度河北省高等教育教學改革研究與實踐項目（2016GJJG024）