函數的奇偶性在高等數學中的若干討論

劉太崗 王春華

摘要：介紹了函數奇偶性的定義和圖形特征，分析了奇偶函數的性質，并討論了函數奇偶性在高等數學中的若干應用。

關鍵詞：函數；奇偶性；高等數學

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）09-0169-02

函數是高等數學的主要研究對象，奇偶性是函數的基本性質之一。函數的奇偶性在高等數學中有著十分廣泛的應用，如利用奇偶函數圖形的對稱性縮減函數作圖的步驟、利用被積函數的奇偶性化簡定積分的計算以及奇偶函數的麥克勞林級數和傅里葉級數的展開都可簡化。

一、函數奇偶性的定義

定義：設函數f（x）的定義域D關于原點對稱。若？坌x∈D，恒有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數；若？坌x∈D，恒有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數。例如，y=cosx是偶函數，y=sinx是奇函數。

由定義易知：①常函數y=C是偶函數，特別地，當C=0時，即常函數y=0既是奇函數也是偶函數；②偶函數的圖形關于y軸對稱，奇函數的圖形關于原點對稱；③偶函數在對稱區間上具有相反的單調性，奇函數在對稱區間上具有相同的單調性；④奇函數f（x）若在x=0處有定義，則f（0）=0。

二、奇偶函數的性質

（一）奇偶函數的四則運算

設所考慮函數的定義域關于原點對稱，且不恒取零值，則有以下結論成立：

兩個奇函數的和（或差）為奇函數；兩個奇函數的積（或商）為偶函數；兩個偶函數的和（或差）為偶函數；兩個偶函數的積（或商）為偶函數；一個奇函數與一個偶函數的和（或差）既非奇函數也非偶函數；一個奇函數與一個偶函數的積（或商）為奇函數。

（二）奇偶函數的反函數

1.偶函數在定義域內不存在反函數；

2.奇函數若在定義域內存在反函數，則其反函數也必為奇函數。

（三）奇偶函數的復合函數

設函數y=f [g （x）]是由函數y=f（u）和u=g（x）復合得到，且它們的定義域均關于原點對稱，則有以下結論成立：

1.若y=f（u）和u=g（x）都是奇函數，則y=f [g （x）]是奇函數；

2.若y=f （u）和u=g（x）至少有一個是偶函數，則y=f [g （x）]是偶函數。

（四）奇偶函數的導數

設函數f（x）在其定義域上可導，則有以下結論成立：

1.若f（x）是奇函數，則f ′（x）是偶函數；

2.若f（x）是偶函數，則f ′（x）是奇函數。

即求導改變函數的奇偶性。

（五）奇偶函數的原函數

1.若f（x）是連續的奇函數，則其所有的原函數均為偶函數；

2.若f（x）是連續的偶函數，則其必有一個原函數為奇函數。

特別地，設f（x）是在對稱區間[-a，a]，上連續，？覬（x）=f（t）dt，x∈[-a，a]，則有以下結論成立：

3.若f（x）是奇函數，則？覬（x）是偶函數；

4.若f（x）是偶函數，則？覬（x）是奇函數。

三、函數的奇偶性在高等數學中的應用

（一）奇偶函數在定積分中的應用

設f（x）是在對稱區間[-a，a]上連續，則有以下結論成立：

1.若f（x）是奇函數，則f（x）dx=0；

2.若f（x）是偶函數，則f（x）dx=2f（x）dx。

（二）奇偶函數在重積分中的應用

設二重積分I=f（x，y）dxdy，則有以下結論成立：

1.若積分區域D關于y軸對稱，則

（i）當f（x，y）關于x為奇函數時，即f（-x，y）=-f（x，y），有I=0；

（ii）當f（x，y）關于x為偶函數時，即f（-x，y）=f（x，y），有I=2f（x，y）dxdy，其中D1={（x，y）|（x，y）∈D，x≥0}；

2.若積分區域D關于x軸對稱，則

（i）當f（x，y）關于y為奇函數時，即f（x，-y）=-f（x，y），有I=0；

（ii）當f（x，y）關于y為偶函數時，即f（x，-y）=f（x，y），有I=2f（x，y）dxdy，其中D1={（x，y）|（x，y）∈D，y≥0}。

設三重積分I=f（x，y，z）dxdydz，則有以下結論成立：

①若積分區域Ω關于xOy坐標面對稱，則

（i）當f（x，y，z）關于z為奇函數時，即f（x，y，-z）=-f（x，y，z），有I=0；

（ii）當f（x，y，z）關于z為偶函數時，即f（x，y，-z）=f（x，y，z），有

I=2f（x，y，z）dxdydz，其中Ω1={（x，y，z）|（x，y，z）∈Ω，z≥0}；

②當積分區域Ω關于yOz坐標面對稱，且被積函數f（x，y，z）關于x有奇偶性，或當積分區域Ω關于zOx坐標面對稱，且被積函數f（x，y，z）關于y有奇偶性時有完全類似的結論，本文不再贅述。

（三）奇偶函數在第一類曲線積分中的應用

設第一類曲線積分I=f（x，y）ds，則有以下結論成立：

1.若積分曲線L關于y軸對稱，則

（i）當f（x，y）關于x為奇函數時，即f（-x，y）=-f（x，y），有I=0；

（ii）當f（x，y）關于x為偶函數時，即f（-x，y）=f（x，y），有I=2f（x，y）ds，其中L1={（x，y）|（x，y）∈L，x≥0}；

2.若積分曲線L關于x軸對稱，則

（i）當f（x，y）關于y為奇函數時，即f（x，-y）=-f（x，y），有I=0；

（ii）當f（x，y）關于y為偶函數時，即f（x，-y）=f（x，y），有I=2f（x，y）ds，其中L1={（x，y）|（x，y）∈L，y≥0}。

本文只討論了平面曲線的積分，空間曲線的積分有完全類似的結論。

（四）奇偶函數在第一類曲面積分中的應用

設第一類曲面積分I=f（x，y，z）dS，則有以下結論成立：

1.若積分曲面∑關于xOy坐標面對稱，則

（i）當f（x，y，z）關于z為奇函數時，即f（x，y，-z）=-f（x，y，z），有I=0；

（ii）當f（x，y，z）關于z為偶函數時，即f（x，y，-z）f（x，y，z），有

I=2f（x，y，z）dS，其中∑1={（x，y，z）|（x，y，z）∈∑，z≥0}。

2.當積分曲面∑關于yOz坐標面對稱，且被積函數f（x，y，z）關于x有奇偶性，或當積分曲面∑關于zOx坐標面對稱，且被積函數f（x，y，z）關于y有奇偶性時有完全類似的結論，本文不再贅述。

（五）奇偶函數在級數展開中的應用

設函數f（x）在x=0處可以展開為麥克勞林級數，則有以下結論成立：

1.若f（x）是奇函數，則其麥克勞林級數展開式中只含有x的奇次冪項，即

f（x）=x+x+…+x+…；

2.若f（x）是偶函數，則其麥克勞林級數展開式中只含有x的偶次冪項，即

f（x）=f （0）+x+…+x+…。

設函數f（x）在區間[-π，π]上可以展開成傅里葉級數，則有以下結論成立：

①若f（x）是奇函數，則其傅里葉級數展開式中只含有正弦項，即

bsinnx，其中系數b=f（x）sinnxdx（n=1，2，…）；

②若f（x）是偶函數，則其傅里葉級數展開式中只含有余弦項，即

+acosnx，其中系數a=f（x）cosnxdx（n=0，1，2，…）。

四、結語

奇偶性是研究函數性態的重要知識，在高等數學中應用十分廣泛.本文對奇偶函數的有關結論進行較為全面的歸納總結，以促進學生對奇偶函數的認識和理解，提高其解題能力。

參考文獻：

[1]吳贛昌.高等數學（理工類第四版）[M].北京：中國人民大學出版社，2011.