積分變換在無窮限積分計算中的應用

余麗琴 董玉娟

摘要：本文利用積分變換（Fourier變換和Laplace變換）來計算無窮限積分，通過具體的實例說明采用積分變換計算特殊類型的無窮限積分是簡便、有效的，是對用初等方法計算無窮限積分的一個很好補充。

關(guān)鍵詞：無窮限積分；Fourier變換；Laplace變換

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）09-0171-03

一、引言

廣義積分（或稱反常積分）的反常性既表現(xiàn)在積分區(qū)間為無窮區(qū)間，又表現(xiàn)為被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)部出現(xiàn)瑕點。當廣義積分被積函數(shù)的原函數(shù)不好找或者不存在初等函數(shù)的原函數(shù)時，反常積分的求解就不太容易討論，也就難于求值，因此除了掌握用基本方法外，還應了解一些特殊類型積分的求解方法。

求解無窮限積分的方法還有很多，如文獻中就介紹了利用留數(shù)來計算某些類型的無窮限積分.但要利用留數(shù)計算定積分，需具備兩個條件：一是被積函數(shù)與某個解析函數(shù)有關(guān)；二是選擇相應的封閉路徑，由于封閉路徑的形狀可能是多種多樣，再者周線上有奇點的時候還要繞過去，因此由于選擇封閉路徑的困難使得利用留數(shù)計算無窮限積分的方法也受到了很大的限制。

積分變換（Fourier變換和Laplace變換）的理論和方法在數(shù)學的許多分支、其他自然科學、工程技術(shù)中均有廣泛應用.本文通過具體的實例展現(xiàn)利用積分變換計算某些特殊類型的無窮限積分的思想和方法，以及相對于初等方法方法的優(yōu)勢，對積分變換計算某些特殊類型的無窮限積分的應用做了淺顯的討論。

二、利用拉普拉斯變換的定義計算無窮限積分

對比兩種方法，可以看到利用積分變換計算比用留數(shù)的方法計算更方便和更簡捷。

四、利用傅立葉變換及其逆變換的定義計算無窮限積分

定義：如果函數(shù)f（x）滿足Fourier積分定理中的條件，也就是函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）滿足下列條件：1）f（x）在任一有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件；2）f（x）在無限區(qū)間

例5和例6利用傅立葉變換及其逆變換的定義計算含參變量的無窮限積分，高數(shù)中計算含參變量的無窮限積分，一般只能按定義進行，難點在于要求出被積函數(shù)的原函數(shù)，而一些看似簡單的函數(shù)想要找到其原函數(shù)，在實函數(shù)理論中幾乎辦不到，即使能夠找到，過程也很繁瑣，而利用積分變換法解決這種問題，就可以避免求原函數(shù)，從而簡化了計算，具有較強的實用價值。

五、總結(jié)

本文通過具體的實例說明利用積分變換計算特殊類型的無窮限積分是一種簡便而有效的方法和途徑，它克服了初等方法的局限性，是對初等方法的一個很好的補充.

參考文獻：

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