“圓與圓的位置關系”的課程難度變化及其對教學指導的探究

施學星

摘要：本文借助史寧中教授等人的課程難度量化分析模型，對我國2011年的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）與2000年的《全日制九年義務教育初中數學教學大綱（試用修訂版）》（以下簡稱《大綱》）中“圓與圓的位置關系”的內容難度進行對比分析，以此考察初中幾何課程、教學內容的發展變化，希望對教師的實踐教學提供一些建議與指導。

關鍵詞：圓；課程難度；教學指導

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）09-0159-02

一、背景

圓是日常生活中常見的圖形之一，也是平面幾何中最基本的圖形之一，它不僅在初中幾何學習中有著重要地位，而且是進一步學習數學以及其他科學的重要的基礎。本文在本課題組成員鄭澤娜的《圓課程難度的定量分析比較》[1]的基礎上對“圓與圓的位置關系”進行課程難度定量分析，通過比較《大綱》和《標準》中該模塊的課程難度變化，進一步探究該模塊的課程難度變化及其對教師教學實踐的指導作用。

二、課程難度量化比較

（一）課程廣度比較

通過對比《大綱》和《標準》中的“探究并理解圓與圓的位置關系”的內容，相比《大綱》，《標準》減少了五個知識點：①兩圓的連心線的性質；②兩圓的公切線的性質；③兩圓的外公切線的作法；④兩圓的內公切線的作法；⑤切線在作圖中的應用。總體上，《大綱》中“圓與圓的位置關系”的知識點個數為6個，即課程廣度G1=6；《標準》的知識點個數為1個，即課程廣度G2=1。

（二）課程深度比較

總體上，對比《大綱》，《標準》中“圓與圓的位置關系”這一知識點的課程深度基本保持一致，而其他的五個知識點均被直接刪除。即《大綱》中相應課程內容的總體課程深度=16；《標準》中相應課程內容的總體課程深度=3。

（三）課程實施時間

“圓與圓的位置關系”在《大綱》下的教科書中安排7個課時，于是課程實施時間T1=7；在《標準》下的教科書中安排5個課時，于是課程實施時間T2=5。

（四）課程難度變化

根據以上課程廣度、課程深度和課程實施時間三個方面的數據，代入課程難度模型（1），即可得到《大綱》和《標準》的課程難度分別為，（其中，α=0.6）。很顯然，在這個難度模型下，《標準》中“圓與圓的位置關系”的課程難度比《大綱》中的低了1.27，即總體課程難度降低了1.27。

三、教學啟發

分析以上數據可知，“圓與圓的位置關系”的課程難度大大降低了，由于《大綱》和《標準》中該模塊的課程廣度和課程深度都發生了較大的變化，影響課程難度變化的主要原因是課程廣度的變化進而引發的課程深度變化。以下將具體分析課程廣度、課程深度、課程實施時間和總體課程難度變化四個方面對教學實踐的啟發和指導。

（一） 課程廣度變化對教學實踐的指導

基于上述分析可知，相對《大綱》，《標準》中該模塊的課程廣度大大減小了。課程內容增強了對課程目標服務的選擇性，為數學教學內容指出了方向，根據時代發展要求，考慮學生可持續發展的數學需求，刪除了一些不常用的知識點，諸如兩圓的連心線、公切線性質等知識點，使得教育面向全體學生，減輕部分學生過重的學習負擔，并與現實生活以及當代科技相需求相結合，最大程度體會數學從生活中來，最終服務于生活。

所以，教師在具體實踐教學中，應當緊緊圍繞《標準》的教學要求，根據新的教學要求進行相應的教學，不要順著老思路繼續講解那些已經被刪除的知識點及其延伸出來的題目，更不要講怪題、難題，而應圍繞“探究并理解圓與圓的位置關系”這一要求進行課堂教學。現以《大綱》中“圓與圓的位置關系”的一道經典例題為例。

“證明：相交兩圓的連心線，垂直平分兩圓的公共弦（連心線：連接兩圓的線段）”。此例題不只是簡單呈現圓心距與兩圓半徑大小，而是要求學生在掌握判斷兩圓位置關系的基礎上，學會如何利用圓與圓的位置關系來證明兩圓位置連心線，公共弦的位置關系，對學生來說具有一定難度，也與《標準》中的教學要求不一致，不應再繼續講解。

（二） 課程深度變化對教學實踐的指導

基于以上對“圓與圓的位置關系”課程深度變化分析可知，《標準》對《大綱》中該模塊的知識點進行了部分刪除，保留下來的“探究并理解圓與圓的位置關系”的難度也跟《大綱》基本一致，進而使得知識點涉及面較少，要求學生掌握的知識點減少，降低了總體的課程深度。

因而，教師在進行教學的過程中應當針對所保留下來的知識點，圍繞知識點進行課堂教學，讓學生多動手多動腦，加深學生對知識點的理解與掌握，并培養學生的數形結合能力、發散思維能力和推理能力。現以《標準》中“圓與圓的位置關系”的一道經典例題為例。

“已知兩圓半徑之比是5：3，如果兩圓內切時，圓心距等于6，問當兩圓的圓心距分別是24、5、20、0時，相應兩圓的位置關系如何”。該例題只要求學生掌握判斷兩圓位置關系，只要知道圓心距d與兩圓的半徑大小，便可判斷兩圓的關系，解題思路簡單清晰，考察學生對兩圓位置的數量認識與形象思維的聯想能力。所以教師在教學過程中應當積極引導學生動手動腦，培養學生的空間想象能力，動手能力，分析、概括等理性思維的能力。

（三）課程實施時間變化對教學實踐的指導

基于上述分析可知，相比于《大綱》，《標準》中該模塊的課程實施時間減少了兩個課時，但由于課程廣度與課程深度的大大減小，使得教師在課堂教學中仍有足夠的時間去講解分析。部分知識點的刪除，這啟發著教師在課程教學中切勿將時間浪費在已被刪除的知識點及其延伸出來的題目，而應緊緊圍繞《標準》的教學要求，將時間用在講解“探究并理解圓與圓的位置關系”這一內容上。

另一方面，課程實施時間的減少也啟示著教師在教學中應分析學生、分析教學內容、分析課程標準和分析教學目標，并且改變教學觀念、教學方法，以此提高課堂的教學效率。且在時間允許的情況下，完成《標準》中的許多探索將對學生更好的掌握知識有著很大的幫助，從而培養學生的發散思維能力和推理能力。

（四）課程難度變化對教學實踐的指導

基于上述課程難度的比較分析可知，相比于《大綱》，《標準》中“圓與圓的位置關系”的總體課程難度系數大大降低了，即該模塊的課程難度大大降低了。課程廣度、課程深度、課程實施時間三個方面的變化，歸根結底就是課程難度的變化。根據上述分析可知，相對《大綱》，《標準》中該模塊課程中知識點的刪除，使得課程廣度大大減小，進而使得知識點涉及面較少，要求學生掌握的知識點減少，降低了總體的課程深度，而課程實施時間的變化不大，最終使得總體課程難度降低了。

《標準》中“圓與圓的位置關系”的課程難度降低，在新課程的潮流下，廣大的教師在實踐教學中都應有所調整，尤其是一些年齡較大的教師，不要繼續順著老思路，講解那些已經被刪除的知識點及其延伸出來的題目，更不要講脫離教學要求的怪題、難題。而應緊緊圍繞新的教學要求作出相應的教學改變，并以此進行相應的教學，落實于基礎概念、基礎知識點，掌握判斷兩圓的位置關系以及對兩圓位置的數量認識與形象思維的聯想能力。教師在課堂教學中注意讓學生多動手多動腦，加深學生對知識點的理解與掌握，并培養學生的數形結合能力、發散思維能力和推理能力。教師應當激發學生的學習興趣并調高學生的學習主動性，提高他們的數學思維能力，使學生最大程度體會數學從生活中來，最終服務于生活。

參考文獻：

[1]鄭澤娜.圓課程難度的定量分析比較[J].數學學習與研究，2015，（9）：38-39.