一道數(shù)列原創(chuàng)題的賞析

洪宜仲

遞推數(shù)列是所給數(shù)列的常見形式，如何讓遞推公式有新意？融入三角，再巧妙生成，等與不等是數(shù)量關(guān)系中的永叵主題，于是筆者原創(chuàng)了如下問題.

【命題透析】

本題主要考查遞推數(shù)列、等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論法等多種數(shù)學(xué)思想方法和放縮法、裂項(xiàng)相消法等解題技巧，對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算能力、分析問題和解決問題的綜合能力要求較高.本題以三角函數(shù)為背景給出數(shù)列的遞推關(guān)系，三角、數(shù)列、不等式相互融合，等與不等讓入耳目一新.在命題過程中，

原材料，輔以三角，增加題目的難度，對(duì)于大小關(guān)系讓同學(xué)們自主探索，這對(duì)探究能力提出了要求.在解題過程中，注意數(shù)列{an}，{yn}，|bn}的生成關(guān)系，第三小題是本題的難點(diǎn)，可先計(jì)算n=1，2時(shí)的不等關(guān)系，再進(jìn)行大膽猜測(cè)找到結(jié)論，從而明確方向，達(dá)到求解的目的.

【答案解析】（I）設(shè)n=2k-l，k∈N*.

【思維啟發(fā)】

利用第二小題的結(jié)論是解決第三小題的關(guān)鍵，再利用放縮法對(duì)其放縮，使其能裂項(xiàng)求和.不過在放縮時(shí)要注意把握好放縮的“度”，否則容易放得過大.另外，要注意奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，但整個(gè)數(shù)列不一定是等差數(shù)列.

《考向突破》變式答案

數(shù)列

6.（I）11/15；（Ⅱ）他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望最大.

《（精考卷》參考答案

一、選擇題

1.C

2.A

3.A

4.B

5.C

6.B

7.C

8.C

9.D

10.B

11.D

12.C

二、填空題

13.-7 14. 1-π/12 15. 0.48 16.2n+12

三、解答題

17.（I ）an=2（n-l）（n∈N*）.

（Ⅱ）Tn=2n+1-2（n∈N*）.

18.（I）平均學(xué)習(xí)時(shí)間為1.8（小時(shí)）.

（Ⅱ）設(shè)甲開始學(xué)習(xí)的時(shí)刻為x，乙開始學(xué)習(xí)的時(shí)刻為y，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣?{（x，y）|18≤x≤21，18≤y≤20}，面積SΩ=2x3=6.事件A表示“22時(shí)甲、乙都在學(xué)習(xí)”，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳={（x，y）|20≤x≤21，19≤y≤20}，面積為SA=1xl=l.

這是一個(gè)幾何概型，所以

19.（I）這輛汽車是A型車的概率為0.6.（Ⅱ）9/125（Ⅲ）設(shè)X為A型車出租的天數(shù)，則X的分布列為：E（X）=3.62，E（Y）=3.48.

所以選擇B型車，相同利潤(rùn)平均租車時(shí)間更短.

20.（I）an=2n（n∈N*）.（Ⅱ）因?yàn)閎n=-2n，

（Ⅱ）在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為2/5.