一道數列原創題的賞析

洪宜仲

遞推數列是所給數列的常見形式，如何讓遞推公式有新意？融入三角，再巧妙生成，等與不等是數量關系中的永叵主題，于是筆者原創了如下問題.

【命題透析】

本題主要考查遞推數列、等差數列的定義及通項公式等多個知識點，以及轉化與化歸思想、分類討論法等多種數學思想方法和放縮法、裂項相消法等解題技巧，對同學們的運算能力、分析問題和解決問題的綜合能力要求較高.本題以三角函數為背景給出數列的遞推關系，三角、數列、不等式相互融合，等與不等讓入耳目一新.在命題過程中，

原材料，輔以三角，增加題目的難度，對于大小關系讓同學們自主探索，這對探究能力提出了要求.在解題過程中，注意數列{an}，{yn}，|bn}的生成關系，第三小題是本題的難點，可先計算n=1，2時的不等關系，再進行大膽猜測找到結論，從而明確方向，達到求解的目的.

【答案解析】（I）設n=2k-l，k∈N*.

【思維啟發】

利用第二小題的結論是解決第三小題的關鍵，再利用放縮法對其放縮，使其能裂項求和.不過在放縮時要注意把握好放縮的“度”，否則容易放得過大.另外，要注意奇數項與偶數項分別成等差數列，但整個數列不一定是等差數列.

《考向突破》變式答案

數列

6.（I）11/15；（Ⅱ）他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數學期望最大.

《（精考卷》參考答案

一、選擇題

1.C

2.A

3.A

4.B

5.C

6.B

7.C

8.C

9.D

10.B

11.D

12.C

二、填空題

13.-7 14. 1-π/12 15. 0.48 16.2n+12

三、解答題

17.（I ）an=2（n-l）（n∈N*）.

（Ⅱ）Tn=2n+1-2（n∈N*）.

18.（I）平均學習時間為1.8（小時）.

（Ⅱ）設甲開始學習的時刻為x，乙開始學習的時刻為y，試驗的全部結果所構成的區域為Ω={（x，y）|18≤x≤21，18≤y≤20}，面積SΩ=2x3=6.事件A表示“22時甲、乙都在學習”，所構成的區域為A={（x，y）|20≤x≤21，19≤y≤20}，面積為SA=1xl=l.

這是一個幾何概型，所以

19.（I）這輛汽車是A型車的概率為0.6.（Ⅱ）9/125（Ⅲ）設X為A型車出租的天數，則X的分布列為：E（X）=3.62，E（Y）=3.48.

所以選擇B型車，相同利潤平均租車時間更短.

20.（I）an=2n（n∈N*）.（Ⅱ）因為bn=-2n，

（Ⅱ）在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為2/5.