破解數列型不等式“十一招”

洪汪寶

證明數列型不等式是近年來各地高考真題和模擬題中的常見題型，因其方法靈活多變，技巧性強，具有一定難度和區分度，所以備受命題者的青睞.本文通過歸納總結數列型不等式的常見題型和解法，希望能拋磚引玉，啟迪同學們的思維.

直接求和型

如果所給和式能直接求和，則先求和再根據和式的結果特點進行放縮.

招數：直接求和后放縮

由條件可知該數列是等比數列，可直接利用等

【方法點津】所給數列是等比數列，直接利用等比數列的求和公式先求和再進行放縮.

先放縮后求和型

所給式子不能直接求和，但是可以利用所給式子的特點進行適當的放縮，使其能求和，從而得到所證不等式.

招數一：借助均值不等式放縮

【方法點津】本題借助均值不等式把不能直接求和的數列轉化為等差數列從而得證.注意均值不等式成立時需滿足的條件，本題取不到等號.

招數二：借助放縮后裂項相消

【方法點津】所給和式不能直接求和，可以縮小其分母使其值變大，再利用裂項相消可達到目的.若n≥2時，招數三：借助放縮后有理化

【方法點津】所給和式的左邊不能求和，共有n項，而右邊只有兩項，將分母放大，從而分母有理化達到相互抵消招數四：借助放縮成等比數列

【方法點津】因通項公式中減去1/2導致不能直接求和，于是考慮將其去掉，放大為等比數列，從而可求和.招數五：借助二項式定理放縮

【方法點津】對于冪的形式，借助二項式定理展開，去掉某些項，或者將各項進行變形，從而能得到所求.招數六：借助糖水不等式放縮不可約分轉化為可約分.注意前提是真分數，真分數的分子分母加上同一個正數后，值會變大，招數七：借助函數不等式放縮

【方法點津】找到需要的函數不等式是解決問題的關鍵所在，而利用參數范圍的端點值往往又是破題的關鍵，

先構造后求和型

構造法是證明數列型不等式的又一把利器，有時可以考慮構造新數列，研究其單調性；有時可以考慮構造加強不等式來達到證明的目的.

招數一：構造新數列

【方法點津】先構造新數列，通過作差或者作商找出新數列的單調性.其中構造新數列是難點所在.招數二：構造加強不等式

例10 同例5.

綜上所述，原不等式成立.

【方法點津】這種證法的巧妙之處是對各項進行適當的放縮后并不能對其直接求和，而用整體代換得到要證不

數學歸納法求和型

數學歸納法是證明數列型不等式優先考慮的方法，因其具有固定的模式而顯得比較簡單.

招數：借助數學歸納法

例11 同例9.

【方法點津】證明與正整數n有關的命題時不要忘記數學歸納法這把利器，數學歸納法實現了利用有限證明無限，一定要驗證初始值，再利用歸納假設實現歸納遞推.