對稱思想與數學解題

藺守臣

【摘要】對稱思想是一種重要的數學思想。本文通過歸納、列舉典型例題，其一說明對稱思想在數學中存在的普遍性；其二在解題過程中，只要抓住這一特點，既可以提高學生解題的速度，掌握解題的技巧，又可以培養學生學習數學興趣。

【關鍵詞】對稱思想 解題

【中圖分類號】G42 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）01-0142-02

“對稱”一詞，起初是人們通過對自身的“臉部”結構分析而產生的詞語。后來人們把它擴充到現實世界中的圖形或物體對某個點、直線、平面而言，在大小、形狀和排列上具有一一對應關系。

對稱思想是一種重要的數學思想，它存在于數學的各個方面。本文通過歸納、列舉一些典型例題，其一，充分反應“對稱思想”在數學中存在的普遍性；其二，抓住對稱關系，掌握對稱技巧，提高解題速度，確保解題的正確性，培養學生數學興趣，提高學生解決問題和分析問題能力，筆者對此做了一些嘗試，供從事數學教學與研究者借鑒。

1.已知f（x）的間接關系式，求f（x）表達式的問題

例1：已知■，求f（x）的表達式。

解：∵■，把-x換成x，于是：

■ ①

■ ②

①×3-②×2得：■

∴■.

∵■，

∴■

故■，■

例2：設■滿足■，（其中abc≠0，且a≠±b）.求■的表達式。

解：用■代換x，得：

■，①

■②

由②×a-①×b得：■

∵a≠±b，

∴■

點評：例1利用-x與x的對稱性，反映了f（-sinx）與f（sinx）的對稱性；例2利用f（■）與f（x）的對稱性，使得解題思路開闊，以達到異曲同工之目的。

2.作函數圖形的問題

作函數圖形可充分利用：

（1）若■，則函數圖形關于y軸對稱；

（2）若■，則函數圖形關于原點O（0，0）對稱；

（3）若■或■，則函數圖形關于直線x=a對稱；

（4）■圖象則與■的圖象關于x軸對稱；

（5）■圖象則與■的圖象關于直線y=x軸對稱。

利用上述結論來作圖，既方便，又快捷。

3.等式或不等式的證明問題

例3：在銳角△ABC中，求證：

■

分析：在左右兩邊均是關于A、B、C的完全對稱式，只需比較其中對稱的任兩項之和的大小關系。

證明：∵■

■

若■則■矛盾。

∴■

又■

∴■

∴■

同理■

■

三式兩邊分別相加并除以2，即可得到要證明的不等式。

4.立體幾何中對稱性問題

立體幾何中，如多面體、旋轉體，其對稱性是最為普遍的，有點對稱、線對稱，還有面對稱，掌握這些對稱關系，能夠提高空間想象能力和解決問題的能力。

例4：已知棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中E、F分別是BC、A1D1的中點，求證：B1EDF是菱形。

分析：如圖，應有，

■

∴B1F=B1E=DE=DF.

又點E、F關于正方體中心對稱，線段DB1關于正方體的中心對稱，所以，EF與DB1是互相平分，由平面幾何知識可得B1EDF是菱形。

5.在有關弦的對稱點上的應用問題

一般在圓錐曲線動弦的弦長及斜率問題中，對稱性思想出現較為頻繁。

例5：已知橢圓■和直線■，為使橢圓上存在關于直線的兩個不同的對稱點，求k的取值范圍。

解：若存在兩個不同的對稱點，則直線■和橢圓■有兩個交點，由

■

■

分析：

（1）當k=0時，此時■為y=0（即x軸為對稱軸）.所以存在關于直線的對稱點.

（2）當k≠0時，假設MM'是橢圓上關于直線■的中點p0（x0，y0），所以根據定理，MM'的斜率：■。

∴直線■垂直平分MM'。

∴■∴■.

又p0（x0，y0）點在直線■上，

∴■

∵p0（x0，y0）是弦MM'的中點，p0在橢圓內，

∴■.

化簡得：■

∴■

6.函數極值問題的對稱原理

如果一個函數有若干個變量，而這些變量又具有對稱性，則這個函數的極值往往是在這些變量都相等時取得，至于究竟是極大值還是極小值，由實際問題決定或靠理論做出判別，這就是極值問題的對稱原理。

7.求極限、定積分時對稱性的問題

微積分中，在求有些函數的極限、有些函數的定積分問題，可利用這些函數的一些特殊性質（如函數的奇偶性），使問題的解決得以簡化。

例6：如圖所示，證明：（1）若■在■上連續，且為奇函數，則■；

（2）若■在■上連續，且為偶函數，則■。

■為偶函數 ■為奇函數

證明■

對積分■作變量代換■，則有

■

所以■

（1）若■為奇函數，即■，■0故

■

（2）若■為偶函數，即■，則■■，從而有■

從本例可以得出：奇函數在對稱區間上的定積分為零，偶函數在對稱區間上的定積分等于半個區間上積分值的兩倍。因此我們可以用該結論去簡化計算奇、偶函數在對稱區間上的定積分。

幾何解釋：從圖上看，對于在[-a，a]上連續的偶函數，由于陰影所示的圖形關于y軸是對稱的，于是這一圖形的面積■，恰好是圖形位于y軸右側部分面積■的兩倍，對于在[-a，a]上連續的奇函數■，由于陰影所示的圖形關于原點對稱可知，左下方圖形的面積與右上方圖形的面積大小相等，但它們的對應的定積分卻符號相反，即■■，于是積分結果：■ 對稱思想是一種重要的數學思想，它存在于初等數學的各個方面，但從問題出現的形式、章節內容方面，卻顯得比較零散，而對該問題進行專題性的研究、探討性的文章，還比較少。本文對“對稱思想”的研究，僅限于在數學教學中的幾點體會，深層次的理論研究將有待于進一步探討。

參考文獻：

[1]袁其書.數理化教學理論研究與實踐，江西高校出版社，2002.

[2]陸海，鄭文.高等數學，南開大學出版社，2012.