淺析數學最值問題

馬小蕓

最值問題是初中數學的重要內容，也是一類綜合性較強的問題，它貫穿初中數學的始終，是中考熱點問題.它主要考查學生對平時所學內容的綜合運用，在生活實際中常要考慮在一定條件下怎樣使成本最低，消耗最少，收益最大，方案最優，行走路徑最短，周長面積最小等問題.這類生活問題一般可轉化為求函數或線段的最小值或最大值的數學問題，通過這類問題的解決可以培養學生的數學思想方法，提高學生的數學思維能力.下面就初中數學中有關最值問題一些常用方法做舉例介紹.

一、利用軸對稱性求最值

例1：如圖，A點是半圓上一個三等分點，B點是弧AN的中點，P點是直徑MN上一動點，⊙O的半徑為1，求AP+BP的最小值.

求某些幾何圖形中的線段的和的最小值時，可采用軸對稱變換的方法將其中一條線段變換，進而把兩條線段合并成一條線段從而求出最值.

解析：可利用兩點之間線段最短求AP+BP的最小值.因為圓是軸對稱圖形，作點A關于直徑MN的對稱點C，連接BC交MN于P點，連接OB、OC，由∠BOC=90°得BC=，故AP+BP的最小值

例2：如圖，已知直線y=-3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax+bx+c經過點A和點C，對稱軸為直線l：x=-1，該拋物線與x軸的另一個交點為B.

（1）求此拋物線的解析式.

（2）點P在直線l上，求出使△PAC的周長最小的點P的坐標.

（3）點M在此拋物線上，點N在y軸上，以A、B、M、N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，直接寫出所有滿足要求的點M的坐標；若不能，請說明理由.

解析：如圖本題第（2）問中的求使△PAC的周長最小的點P的坐標與例1相同就是連接點A關于拋物線對稱軸的對稱的B與點C，BC與直線L的交點就是所求的點P.此題仍然利用的是拋物線的軸對稱性.

二、利用垂線段最短求最值

在一些幾何問題中要求線段、周長、面積最小值時，可通過把相關線段特殊化，化為垂線段，根據垂線段最短的性質從而得解.

例3：如圖AB是⊙O的弦，AB=8，⊙O的半徑為5，點M是AB上的一個動點，求線段OM的最值.

解析：當線段OM垂直于AB時利用垂線段最短可得OM最小值等于弦心距3，當點M與點A或點B重合時利用直徑是圓中最長的弦可得OM的最大值等于半徑5.

例4：如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合.

（1）證明：不論E、F在BC、CD上如何滑動，總有BE=CF；

（2）當點E、F在BC、CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最小）值.

解析：本題第（2）問可由△ABE ≌△ACF可得

此題（2）中可直接利用二次函數的頂點縱坐標是其最大值；但在第（3）中由于方案A中x=35不在20

總之，無論是代數問題還是幾何問題都存在最值問題.此類問題涉及知識面廣，綜合性強，解法靈活多樣，而且具有一定的難度和技巧性.所以解決問題應以數學思想方法為指導，找準問題的切入點，建立合適的解決問題的數學模型，尋找解決問題的捷徑，才能使問題由難轉化為易，由復雜轉化為簡單，使問題得到順利解決.