自由度等于1的χ測驗與u測驗的數(shù)學(xué)關(guān)系

辛淑亮++++郭新梅

摘 要： 針對統(tǒng)計教科書上χ■測驗與u測驗關(guān)系模糊不清的情況，本文用3個事例進(jìn)行了χ■測驗、矯正的χ■■測驗、u測驗、矯正的u■測驗.結(jié)果表明，對于k=2和2×2的次數(shù)資料，自由度df=1時，可以用χ■測驗；也可以用u測驗.數(shù)學(xué)關(guān)系為：χ■=u■；χ■■=u■■；χ■■=χ■■；χ■■=u■■.

關(guān)鍵詞： 假設(shè)測驗 自由度 χ■測驗 u測驗

在科研實踐中，許多試驗結(jié)果用百分率表示，如殺蟲率、發(fā)芽率、坐果率、合格率等.這些百分率系由統(tǒng)計某一屬性的個體數(shù)目求得，屬間斷性的計數(shù)資料.這類數(shù)據(jù)假設(shè)測驗的方法主要分兩類：百分率數(shù)據(jù)用u測驗；計數(shù)資料用χ■測驗.很多統(tǒng)計學(xué)書介紹了相關(guān)的假設(shè)測驗方法[1-5]，但是都沒有說明兩種假設(shè)測驗的關(guān)系.同時，我們在使用相關(guān)教材時發(fā)現(xiàn)書中出現(xiàn)了一些有待商榷的例題.針對這些問題，我們利用相關(guān)教材中的例題，對兩種假設(shè)測驗的關(guān)系進(jìn)行了數(shù)學(xué)推導(dǎo)，以明確χ■測驗與u測驗的數(shù)學(xué)關(guān)系.

1.單個百分率測驗與適合性χ■測驗的關(guān)系

例1：用基因型純合的糯玉米和非糯玉米雜交，按遺傳學(xué)原理，預(yù)期F■植株上糯性花粉粒的P■=0.5，現(xiàn)在一視野中檢視20粒花粉，得糯性花粉8粒，問此結(jié)果和理論百分率P■=0.5是否相符[1]？

解法1：k=2組次數(shù)資料的適合性χ■測驗

假設(shè)H■：總體分布符合1∶1，對HA：總體分布不符合1∶1.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

理論次數(shù)E■=20×0.5=10

E■=20×0.5=10

χ■=（8-10）■/10+（12-10）■/10=0.8

df=2-1=1

x■■=3.84

統(tǒng)計推斷：實得χ■<χ■■，故概率P>0.05.接受H■：總體分布符合1∶1的理論分布，差異不顯著.

解法2：k=2組次數(shù)資料的適合性χ■■測驗

χ■分布是連續(xù)性的，而次數(shù)資料則是間斷性的.由間斷性資料算得的χ■值有偏大的趨勢，尤其是自由度df=1時，用連續(xù)性分布作χ■測驗時，容易發(fā)生第一類錯誤.故在假設(shè)測驗時，進(jìn)行連續(xù)性矯正，采用矯正的χ■■測驗.

解：假設(shè)H■：總體分布符合1∶1，H■：總體分布不符合1∶1.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

χ■■=（|8-10|-0.5）■/10+（|12-10|-0.5）■/10=0.45

df=2-1=1

χ■■=3.84

統(tǒng)計推斷：實得χ■■<χ■■，故概率P>0.05.接受H■：總體分布符合1∶1的理論分布，差異不顯著.

解法3：單個百分率的u測驗

在理論上，這類百分?jǐn)?shù)應(yīng)按二項分布進(jìn)行假設(shè)測驗.但是，如果樣本容量n較大，p不過小，np和nq皆大于5時，二項分布趨近正態(tài)分布.因而，可以將百分?jǐn)?shù)資料做正態(tài)分布處理，作近似u的測驗.

解：假設(shè)H■∶P=0.5，H■∶P≠0.5.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

■=8/20=0.4

■ ■=■=0.111803

u=（0.4-0.5）/0.111803=-0.89443

u■=1.96

統(tǒng)計推斷：實得|u|0.05.接受H■∶P=0.5，差異不顯著.

解法4：單個百分率的u■測驗

因為二項分布的百分率系由計數(shù)某一屬性的個體數(shù)目計算得來，屬于間斷性的二項分布.用連續(xù)性的正態(tài)分布作u測驗時，容易發(fā)生第一類錯誤.所以在假設(shè)測驗時，進(jìn)行連續(xù)性矯正，采用矯正的u■測驗.

解：假設(shè)H■∶P=0.5對H■∶P≠0.5

顯著水平α=0.05

測驗計算：

u■=（|0.4-0.5|-0.5/20）/0.111803=0.67082

u■=1.96

統(tǒng)計推斷：實得u■0.05.接受H■∶P=0.5，差異不顯著.

綜上所述，適合性χ■測驗與單個百分率u測驗的關(guān)系：

對于二項分布即k=2的次數(shù)資料，自由度df=2-1=1，適合性χ■測驗與單個百分率測驗有如下數(shù)學(xué)關(guān)系：

u■=（-0.89443）■=0.8=χ■

u■■=0.67082■=0.45=χ■■

u■■=1.96■=3.84=χ■■

u■■=2.576■=6.64=χ■■

u■■=χ■■

由此可見，當(dāng)自由度df=1時，兩尾u測驗與一尾χ■測驗相對應(yīng).

圖1 k=2組次數(shù)資料和2×2表次數(shù)資料的統(tǒng)計方法

2.兩個百分率測驗與獨(dú)立性χ■測驗的關(guān)系

例2：調(diào)查經(jīng)過種子滅菌處理與未經(jīng)種子滅菌處理的小麥發(fā)生散黑穗病的穗數(shù)，得相依表1，試分析種子滅菌與否和發(fā)生散黑穗病多少是否有關(guān)[1]？

表1 防治小麥散黑穗病的觀察結(jié)果2×2表

解法1：2×2表次數(shù)資料的獨(dú)立性χ■測驗

解：假設(shè)H■：獨(dú)立，H■：不獨(dú)立.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

理論次數(shù)E■=76×210/460=34.69565

E■=76×250/460=41.30435

E■=384×210/460=175.3043

E■=384×250/460=208.6957

χ■=（26-34.69565）■/34.69565+（50-41.30435）■/41.30435

+（184-175.3043）■/175.3043+（200-208.6957）■/208.6957

=4.803676

df=（2-1）（2-1）=1

χ■■=3.84

統(tǒng)計推斷：實得χ■>χ■■，故概率P<0.05.否定H■接受H■：不獨(dú)立，差異顯著.

解法2：2×2表次數(shù)資料的獨(dú)立性χ■■測驗

解：假設(shè)H■：獨(dú)立，H■：不獨(dú)立.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

χ■■=（|26-34.69565|-0.5）■/34.69565+（|50-41.30435|-0.5）■/41.30435+（|184-175.3043|-0.5）■/175.3043+（|200-208.6957|-0.5）■/208.6957=4.267135

df=（2-1）（2-1）=1

χ■■=3.84

統(tǒng)計推斷：實得χ■■>χ■■，故概率P<0.05.否定H■接受H■：不獨(dú)立，差異顯著.

解法3：兩個百分率u的測驗

解：假設(shè)H■：P■=P■，H■：P■≠P■.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

■■=26/76=0.342105

■■=184/384=0.479167

■=（26+184）/（76+384）=0.456522

■=1-0.456522=0.543478

S■=■=0.062536

u=（0.342105-0.479167）/0.062536=-2.19173

u■■=1.96

統(tǒng)計推斷：實得|u|>u■■，故概率P<0.05.否定H■接受H■，兩者差異顯著.

解法4：兩個百分率的u■測驗

解：假設(shè)H■：P■=P■，對H■：P■≠P■.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

u■=（|0.342105-0.479167|-0.5/76-0.5/384）/0.062536=2.065705

u■=1.96

統(tǒng)計推斷：實得u■>u■，故概率P<0.05.否定H■接受H■：P■≠P■，差異顯著.

綜上所述，獨(dú)立性χ■測驗與兩個百分率u測驗的關(guān)系：

對于2×2表的次數(shù)資料，自由度df=（2-1）（2-1）=1，獨(dú)立性χ■測驗與兩個百分率u測驗有如下數(shù)學(xué)關(guān)系：

u■=（-2.19173）■=4.803676=χ■

u■■=2.065705■=4.267135=χ■■

u■■=1.96■=3.84=χ■■

u■■=2.576■=6.64=χ■■

由此可見，當(dāng)自由度df=1時，兩尾u測驗與一尾χ■測驗相對應(yīng).u測驗的兩尾臨界值與χ■測驗的一尾臨界值相等，即u■■=χ■■.

3.討論

對于例1，在教材中是這樣進(jìn)行假設(shè)測驗的■.

解：假設(shè)H■∶P=0.5，HA∶P≠0.5.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

np=20×0.5=10

S■=■=2.19089

t■=（|8-10|-0.5）/2.19089=0.684653

df=20-1=19

t■=2.093

統(tǒng)計推斷：實得t■0.05.接受H■，差異不顯著.

因為根據(jù)無效假設(shè)，可以計得■ ■.而且已知σ時，無論樣本大小，都可以用u測驗.所以，上述計算中選用t測驗不合適，t■■=0.684653■=0.46875≠χ■■.這里應(yīng)用S■的計算公式不妥當(dāng).下面用事例間接證明.

例3：某食品廠的一條生產(chǎn)線上的產(chǎn)品組成指標(biāo)為：一級品∶二級品=7∶3.現(xiàn)隨機(jī)抽取了20個產(chǎn)品做檢驗，得一級品13個，二級品7個.問其產(chǎn)品組成比例是否達(dá)到一級品占70%的生產(chǎn)指標(biāo)[2]？

對于例3，在教材中是這樣進(jìn)行假設(shè)測驗的[2].

解：假設(shè)H■：P≥0.7，H■：P<0.7.

顯著水平α=0.05

測驗計算：

■=13/20=0.65

■ ■=■=0.10247

u■=（|0.65-0.7|-0.5/20）/0.10247=0.243975

u■=1.645

統(tǒng)計推斷：實得u■0.05.接受H■，差異不顯著.

可以證明，u■■=1.645■=2.706=χ■■，說明u測驗的一尾臨界值u■■與χ■測驗的一尾臨界值χ■■相等，即u■■=χ■■.

4.結(jié)論

（1）對于k=2組次數(shù)資料，可以用適合性χ■測驗；也可以用單個百分率的u測驗.

（2）對于2×2表的次數(shù)資料，可以用獨(dú)立性χ■測驗；也可以用兩個百分率的u測驗.

（3）百分率u測驗與χ■測驗的數(shù)學(xué)關(guān)系為：u■=χ■.

（4）百分率矯正的u■測驗與矯正的χ■■測驗的數(shù)學(xué)關(guān)系為：u■■=χ■■.

（5）測驗的兩尾臨界值與χ■測驗的一尾臨界值間，有如下數(shù)學(xué)關(guān)系：u■■=χ■■.

（6）測驗的一尾臨界值與χ■測驗的一尾臨界值間，有如下數(shù)學(xué)關(guān)系：u■■=χ■■.

參考文獻(xiàn)：

[1]蓋鈞鎰.試驗統(tǒng)計方法[M].北京：中國農(nóng)業(yè)出版社，2000：91，135.

[2]王欽德，揚(yáng)堅.食品試驗統(tǒng)計與統(tǒng)計分析[M].北京：中國農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社，2010：62.

[3]辛淑亮.現(xiàn)代農(nóng)業(yè)試驗統(tǒng)計[M].北京：中國統(tǒng)計出版社，1999.

[4]莫惠棟.農(nóng)業(yè)試驗統(tǒng)計[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1984.

[5]劉權(quán).果樹試驗統(tǒng)計及統(tǒng)計[M].北京：中國農(nóng)業(yè)出版社，1997.

基金項目：山東省應(yīng)用型人才培養(yǎng)特色名校建設(shè)工程.