用好先后原則　解好排列組合

用好先后原則解好排列組合

◇河北劉淑蘋

計數問題是高考必考內容之一,常以選擇或填空等客觀題形式出現．題小但考查能力要求較高,而且此類問題又是計算概率的基礎．解好此類問題除了熟練相關的原理外,掌握一定的解題策略也是必需的．下面對應用較頻繁的幾個先后原則,舉例說明．

1先分類后分步

分類加法原理與分步乘法原理是解答此類問題的基礎．解題中要明確分類的對象,確定好分類原則,做到不重不漏．再對每類進行分步解決．

例12人進行乒乓球比賽,先贏3局者獲勝,決出勝負為止,則所有可能出現的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有().

A10種;B15種;

C20種;D30種

先勝3局者獲勝,在決出勝負時共賽了幾局并不明確,因此需要先對可能的比賽局數進行分類討論, 再對每類下面每局的勝負情況進行分步處理．處理此類比賽問題需要注意,決出勝負的最后一局的結果是確定的,即一定是勝的一方贏得此局．這是同學們容易忽略的地方．

2先特殊后一般

對于有限制條件的特殊元素進行優先處理,是解決此類問題的重要原則．特殊通常體現在元素特殊、條件特殊或位置特殊等．

例2用0,1,2,…,9這10個數字組成無重復數字的5位數,其中含有2個奇數數字和3個偶數數字的5位偶數共有多少個?

數字0是特殊元素,應對0進行分類討論:

綜合1)、2)總共有6480個5位偶數.

3先分組后分配

對于有限制條件的分配問題,通常先將待分配的元素按條件進行分組．再將分好的各組按全排列的方式分配到不同的崗位．

例35張電影票分給4個學生,每個學生至少1張,不同分法的種數為().

A480;B240;C120;D96

在有序的排列組合問題中,對于某個對象所包含的若干元素而言卻是無序的．對于這些無序元素的選取只能一次取出而不能“分批”選取,否則就意味著把無序問題“有序化”了．一般地,關于分配的應用問題,較好的方法是先分組、再分配,這樣計算既沒有重復,也不會遺漏．

4先整體后局部

先整體安排好沒有限制條件的元素,然后在排好的元素之間的空位和兩端插入不能相鄰的元素.

例4已知有身穿2種不同隊服的球迷各3人,現將這6人排成一排照相,要求身穿同一種隊服的球迷均不能相鄰,則不同的排法種數為________(用數字作答)．

不相鄰(相間)問題的插空法:實質是一般“元素”(位置)優先考慮,第1步先將沒有限制的元素(位置)排好,第2步再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的空隙及兩端位置．

綜上解題策略事實上是基于2個基本計數原理,即加法原理和乘法原理,“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.同學們做題時只要留心容易出錯的地方,就能夠以不變應萬變,把排列組合學好．

鏈接練習

1. 從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫生中選派5人組成一個抗震救災醫療小組,則骨科、腦外科和內科醫生都至少有1人的選派方法種數是________(用數字作答).

2. 將A、B、C、D、E、F 6個字母排成一排,且A、B均在C的同側,則不同的排法共有________種(用數字作答).

3. (2015年四川)用數字0、1、2、3、4、5組成沒有重復數字的5位數,其中比40 000大的偶數共有()個.

A144;B120;C96;D72

4.(2015年上海)在報名的3名男教師和6名女教師中,選取5人參加義務獻血,要求男、女教師都有,則不同的選取方式的種數為________(結果用數值表示).

鏈接練習參考答案

1. 590;2. 480;3. B.4. 120.

(作者單位：河北省承德市承德縣第一中學)