組合數的多重“身份”

◇北京王雪芹(特級教師)高雪松

1身兼數“職”平常事

應當說,數學中普遍存在這種“身兼數職”的現象,其意義既很微妙(值得耐心體味),又很重大(值得深入研究)．

2“組合數”關乎大局

1) 組合數應用之一——可以簡單證明“二項式定理”.按定義

①

你看,不費“吹灰之力”,就證明了二項式定理,比用數學歸納法證明要簡單得多．

此法還可推廣使用于求(x+a1)(x+a2)…(x+an)的展開式,如求(x+2/x-2)5展開式中常數項:

用上述方法很容易求出展開式常數項是

2) 推動“組合數學”學科的建立．組合數學是研究離散對象的排布、配置、選取、分類、組織與結合等的數學學科,中國古代研究的九宮、八卦、干支計數等,都屬于組合數學．賈憲-楊輝三角及相關恒等式的研究,流行的游戲與博弈,如圍棋、中國象棋、國際象棋、麻將、撲克、橋牌等,都與組合數學有關．

組合數學關心的是,事物按某種規則的安排,這種安排的存在性、構造、計數和分類等．組合數學自誕生以來,已積累了大量優異的模型、原理、典型方法和技巧,如加法原理、乘法原理、容斥原理,線排列模型、環形排列模型,遞推方法以這些優異的成果來反哺數學．

3) 通過對組合數學豐碩成果的分析,獲得了若干典型的、規律性的認識,并用以對整個數學的概念、法則、公式、命題等,進行規律化處理,事實上.無論是數學概念的定義,法則的應用,還是命題的證明,無處不貫串著組合因素(順序和結構以及順序結構的變化時,那種保持不變的東西).為深刻理解,正確掌握數學的內容和方法,就要著意抓住和厘清其中的組合因素．這種著意發現、抓住數學內容中組合因素的思想,力求抓住數學問題中,當結構和順序變化時,不變的因素(在紛繁的情況中一致因素)的思想方法,就是組合思想．

有了組合思想就能看穿全局、把握全局,因此,組合思想是一種全局性的思想,是從數學本身中概括出來的學習、研究、應用、教學數學的一種戰略思想．

3與多項式聯姻

1) 展開式系數結構的組合特征

②

這就為二項式定理帶來更多的證法．筆者搜集到一些,供大家研究．

③

④

由式③+④得

當x≠-1時,{Sn}為等比數列,首項S1=1+x,公比q=1+x,從而

Sn=(1+x)(1+x)n-1=(1+x)n.

當x=-1時,可直接驗證:Sn=0=(1+x)n.

綜上可得

⑤

令x=b/a,代入式⑤得

兩邊同乘以bn得

(a+b)n=an(1+x)n=anSn=

這就是式①.

證法2(拆項法)這是與證法1過程相反的方法:

證法3(微分法)設f(x)=(x+b)n,展開式為

f(x)=a0xn+a1xn-1b+…+

amxn-mbm+…+an-1xbn-1+anbn,

微分,得

f′(x)=n(x+b)n-1=na0xn-1+(n-1)a1xn-2b+…+

(n-m)amxn-m-1bm+an-1bn-1,…,f(n-m)(x)=

n(n-1)…(m+1)a0xm+…+(n-m)…

2am-1xbm-1+(n-m)!ambm.

在f(x),f′(x),…,f(n-m)(x)中,令x=0,得

bn=anbn,nbn-1=an-1bn-1,…,

n(n-1)…(m+1)bm=(n-m)!ambm,

按組合公式即知

此法的好處在于順帶得出了am的計算公式.

取a=1,b=-1,得

類似地,還可導出很多．

4從賈憲到華羅庚

我們今天所說的“楊輝三角”出自1261年楊輝著的《詳解九章算法》,名字是“開方作法本源圖”,自注稱“出于《釋鎖》算書,賈憲用此術”．其中只到第7行:1,6,15,20,15,6,1.后朱世杰《四元玉鑒》(1303年)有“古法七乗方圖”者,寫到第9行,即(a+b)8展開式的系數．不像我們今天,寫幾行后,就用“…”表示可繼續到任意行．此圖在賈憲那里,是用來“開方”的,而朱世杰則用來做“乘方”．

圖1

2) 它形象、直觀、優美,初步的規律顯而易見,深入觀察,則可發現一些更深刻的規律．因此,它體現數學美,數學觀察、類比、發現、這些合情推理的思想．

4) “楊輝三角”有獨立的研究價值．

如數學大師華羅庚著《從楊輝三角談起》一書,除了講“楊輝三角的基本性質”和“二項式定理”之外,還討論了“楊輝三角的一些應用”．這些應用項目有:開方,高階等差級數,差分多項式,逐差法,堆積術,混合級數,無窮混合級數,循環級數(包括斐波納契級數),倒數級數和反平方級數等．由于講得深入淺出,高中同學都能看懂，但現在多已“打進”了高等數學領域．

筆者大力倡導“初等數學研究”并在《數陣及其應用》一書(哈爾濱工業大學出版社,2012年)中,深入地研究了楊輝數陣(由楊輝三角旋轉而成)

其斜通項為

而它的直通項(第i行的第j個數)為

它有非常豐富的性質,如它是個對稱數陣:yij=yji,第i行是(i-1)階等差數列等．

(作者單位：北京師范大學第二附屬中學)