統計備考中需要把握的4個方面

統計備考中需要把握的4個方面

◇湖南劉兆平

統計單元在數學高考的命題分量超過了課標規定的課時分量,這是因為統計問題在考查考生的運算求解能力、數據處理能力以及應用意識、創新意識等方面扮演著重要的角色．本文分4個方面例談統計單元的備考熱點．

13種抽樣方法

抽樣是一項統計工作的開始,需要我們根據研究對象的特征確定抽樣方法．常用的抽樣方法主要有簡單隨機抽樣、分層抽樣、系統抽樣．應用中要把握3種抽樣方法的適用條件,正確選擇利用．

例1(2015年福建卷)某校高一年級有900名學生,其中女生400名,按男女比例用分層抽樣的方法,從該年級學生中抽取一個容量為45的樣本,則應抽取的男生人數為________.

例2(2012山東高考理)采用系統抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查,為此將他們隨機編號為1,2,…,960,分組后在第1組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中,編號落入區間[1,450]的人做問卷A,編號落入區間[451,750]的人做問卷B,其余的人做問卷C.則抽到的人中,做問卷B的人數為().

A7;B9;C10;D15

當總體容量較小,樣本容量也較小時,可采用簡單隨機抽樣法;當總體由差異明顯的幾部分組成,可采用分層抽樣法;當總體容量較大,樣本容量也較大時,可采用系統抽樣法．

23種常用圖表

抽樣所得到的數據,需要進行匯總整理,數據的處理結果,我們通常將其表示為頻率分布直方圖、莖葉圖、隨機變量分布列,以直觀、整齊的形式地體現樣本數據特征．

例3(2015年湖南卷)在一次馬拉松比賽中,35名運動員的成績(單位:min)的莖葉圖如圖1所示.若將運動員按成績由好到差編為1～35號,再用系統抽樣方法從中抽取7人,則其中成績在區間[139,151]上的運動員人數是________.

13003456688891411122233445556678150122333圖1

總體分布反映了總體在各個范圍內取值的可能性的大小,利用樣本的頻率分布去估計總體分布,樣本容量越大,這種估計也就越精確．

例4(2013全國新課標Ⅱ卷) 經銷商經銷某種農產品,在一個銷售季度內,每售出1 t該產品獲利潤500元,未售出的產品,每1 t虧損300元.根據歷史資料,得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖,如圖2所示.經銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農產品,以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內銷商該農產品的利潤.

圖2

(1) 將T表示為X的函數;

(2) 根據直方圖估計利潤T不少于57000元的概率;

(3) 在直方圖的需求量分組中,以各組的區間中點值代表該組的各個值,需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率(例如:若X∈[100, 110),則取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110]的概率),求利潤T的數學期望.

(1) 當X∈[100, 130)時,

T=500X-300(130-X)=800X-39000.

當X∈[130,150]時,T=500×130=65000.

(2) 由(1)知利潤T不少于57000元當且僅當

120≤X≤150.

由直方圖知需求量X∈[120, 150]的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7.

(3) 依題意可得T的分布列為

T45000530006100065000P0.10.20.30.4

所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.

此題將概率與統計、函數等知識自然結合起來命制了一道綜合性較強的概率應用題,主要考查了考生的分析問題與解決問題的能力,注重知識的交會和滲透是本題的“閃光”之處.解決此題的關鍵是結合頻率分布直方圖理順概率P與需求量X、利潤T之間的關系.

35個數字特征

對樣本數據進行整理后,通過對樣本數據的分析來估計總體分布,即通過對樣本數據的評價分析來研究總體的數字特征．對數據評價的主要參考有期望(平均數)、中位數、方差(反映樣本數據的波動程度的量)、標準差、眾數(反映樣本數據的集中程度)．具體應用中應根據需要選擇合適的數字特征．

圖3

例6(2014年福建卷)為回饋顧客,某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵,規定:每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球,球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.

(1) 略.

(2) 商場對獎勵總額的預算是60000元,并規定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的2種球組成,或標有面值20元和40元的2種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡,請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計,并說明理由.

(2) 根據商場的預算,每個顧客的平均獎勵為60元.所以先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因為60元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因為60元是面值之和的最小值,所以數學期望也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.

對于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.

以下是對2個方案的分析:

對于方案1,即方案(10,10,50,50),設顧客所獲的獎勵為X1,則X1的分布列為

X12060100P162316

X1的期望為

X1的方差為

對于方案2,即方案(20,20,40,40),設顧客所獲的獎勵為X2,則X2的分布列為

X2406080P162316

X2的期望為

X2的方差為

由于2種方案的獎勵額都符合要求,但方案2獎勵的方差比方案1的小,所以應該選擇方案2.

本題主要考查古典概型、離散型隨機變量的分布列、數學期望、方差等基礎知識,考查數據處理能力、運算求解能力、建模意識,考查分類與整合思想．分別求出2種方案的期望與方差,并比較它們的大小,即可得出結論．

42種統計模型

生活中除了函數關系這種確定性的關系外,還大量存在因變量的取值帶有一定隨機性的2個變量之間的關系,即相關關系．研究2個變量之間的關系,首先要采取樣本,然后將采取的樣本數據進行處理,得到模型．不同的方式得到不同的模型,再利用模型描述2個變量之間關系的強弱．

例7(2015年福建卷)為了解某社區居民的家庭年收入與年支出的關系,隨機調查了該社區5戶家庭,得到如下表所示的統計數據.

收入x/萬元8.28.610.011.311.9支出y/萬元6.27.58.08.59.8

據此估計,該社區一戶收入為15萬元家庭年支出為()萬元.

A11.4;B11.8;

C12.0;D12.2

由已知得

本題主要考查回歸直線方程的求法,應用回歸直線方程進行預測、估計的思想方法,意在考查考生的數據分析能力和實際應用能力．

例8(2013年福建卷)某工廠有25周歲及以上工人300名,25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產量是否與年齡有關,現采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統計了他們某月的日平均生產件數,然后按工人年齡在“25周歲及以上”和“25周歲以下”分為2組,再將2組工人的日平均生產件數分成[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]5組分別加以統計,得到如圖4、5所示的頻率分布直方圖.

圖4　　　　　　　　　　　　　圖5

(1) 從樣本中日平均生產件數不足60件的工人中隨機抽取2人,求至少抽到1名“25周歲以下組”工人的概率;

(2) 規定日平均生產件數不少于80件者為“生產能手”,請你根據已知條件完成2×2列聯表,并判斷是否有90%的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”.

P(χ2≥k)0.1000.0500.0100.001K2.7063.8416.63510.828

(1) 略．(2) 由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名工人中,“25周歲及以上組”中的生產能手有60×0.25=15,“25周歲以下組”中的生產能手有40×0.375=15,據此可得2×2列聯表如下:

分組生產能手非生產能手合計25周歲及以上組15456025周歲以下組152540合計3070100

所以得

因為1.79<2.706,所以沒有90%的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”.

變量間的相關關系與統計案例主要考查線性回歸方程的計算或回歸分析的思想與方法的應用問題、獨立性檢驗的基本思想及應用.

(作者單位：湖南省婁底市第三中學)