小議高三復習教學中引導學生生成問題

杭美燕

摘 要：高三的課堂教學，雖然學生已經具有較全面的基礎知識，但學生與教師之間、學生與學生之間的認知水平、感悟和理解問題的角度等不同，在課堂中會有很多問題生成. 教師要騰出更多的思考空間給學生自己，鼓勵學生在課堂中生成問題. 體會“變式型”問題生成，嘗試“填空型”問題生成，探究“開放型”問題生成，讓學生成為課堂主體，從而提高學生的學習興趣、能力和思維，同時教師更容易地發現學生存在的問題，并加以解決，達到課堂“教”“學”雙贏.

關鍵詞：問題；生成；主動性；主體；復習教學

高三復習教學中往往是教師設計了很多問題、準備了各種類型的習題，讓學生在課堂上思考和訓練，以達到復習鞏固知識點、提高解題能力、深化數學思想等目標. 對高三的學生而言，高中數學新知識已經學完，進入長時間的復習階段. 如果長時間被動地進行習題訓練，就很難提高學生的學習興趣，進而提升學生的學習能力和思維品質. 數學的學習重在學習者的主動思考和自身感悟，因此在課堂教學過程中可以把更多的思考機會讓給學生，讓學生自己生成問題、解決問題. 而教師只是課堂活動的引導者和組織者，學生才是課堂真正的主體.

[?] “變式型”問題生成

“一題多變”是很多教師在復習課中采用的一種教學方式，這種方式的好處是既能讓學生在對比中掌握知識和技能，也能節省時間提高課堂效率. 但其實這項工作不一定要教師來完成，也可以放手讓學生進行問題生成，這樣既避免學生只是跟著教師的變式疲于拼命地做題，也能更好地調動學生的學習積極性和主動性.為了讓學生能夠適應自己設問的課堂模式，可以從簡單的變式開始，或是改變幾個字詞，或是轉為等價的問題，這些都是比較容易操作的方法.

1. 對比型變式

案例1 已知不等式x2-ln（1+x2）≤m2-2bm-3對任意x∈[-1，1]及任意b∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍.

案例背景：不等式的恒成立問題與存在型問題專題復習.

學生分析：令f（x）=x2-ln（1+x2）（x∈[-1，1]），g（b）=m2-2bm-3（b∈[-1，1]），

原命題?f（x）max≤g（b）min. 分別求兩個函數的最值即可求出實數m的取值范圍. 除了使用“任意”字樣形成的恒成立問題，還有使用“存在”字樣的存在性問題也能進行類似的研究.

學生生成問題：①已知不等式x2-ln（1+x2）≤m2-2bm-3對任意x∈[-1，1]，存在b∈[-1，1]成立，求實數m的取值范圍；②已知不等式x2-ln（1+x2）≤m2-2bm-3對任意b∈[-1，1]，存在x∈[-1，1]成立，求實數m的取值范圍；③已知不等式x2-ln（1+x2）≤m2-2bm-3，若存在x∈[-1，1]，存在b∈[-1，1]成立，求實數m的取值范圍.

學生對問題的分析：含參不等式的恒成立問題可以轉化為最值問題，含參不等式的存在性問題也可以轉化為最值問題. 通過轉化可以先求出一個函數的最值，將問題逐步簡化，最終簡化為單一的恒成立或存在性問題.

評價：通過以上生成問題的方式和過程，可以使學生了解到不等式的恒成立和存在性問題都可以轉化為最值問題，從而體會到問題的描述雖有不同，但都可以用類似的方式來解決，使得學生能夠觸類旁通.真正掌握這一類問題的本質.

2. 等價型變式

案例2 若函數f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個零點，求實數a的取值范圍.

案例背景：函數零點與方程的根復習課.

學生分析：根據函數零點的定義可知：函數f（x）的零點是方程f（x）=0的解，也是函數f（x）的圖象與x軸的交點. 所以可以將問題等價轉化為以上兩種類型，其中“函數f（x）的圖象與x軸的交點”也可以轉化為兩個函數圖象交點的問題.

學生生成問題：①若方程ax-x-a=0（a>0且a≠1）有兩個不同的解，求實數a的取值范圍；②函數f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）的圖象與x軸有兩個交點，求實數a的取值范圍；③若函數y=ax（a>0且a≠1）的圖象與函數y=x+a（a>0且a≠1）的圖象有兩個不同的交點，求實數a的取值范圍.

學生對問題的分析：原命題和問題①②雖然等價，但是都不能很方便地求出需要的結果，可以將命題進一步進行等價轉化，形成問題③，通過數形結合的方式就可以快速地得出本題的答案.

評價：學生生成的問題將函數的零點、方程的根、函數的圖象三者直接的關系明朗化，由于這三類問題可以相互等價轉化，因此也提供了相應的解題方法. 學生通過對方法的回憶整理，設計相關的問題，使得原本單一的一個題目的解決拓展到一類問題的解決上，能夠很好地達到復習整理的目的. 比起教師的傳授，自己嘗試命題，印象更加深刻.

[?] “填空型”問題生成

教師在將題目呈現給學生的時候可以去掉一些條件或去掉所求目標，雖然這樣的題目看上去不完整，但卻可以給學生提供想象的空間. 去搜索可能的條件或所求目標，不同的學生可能給出不同的答案，將這些不同的想法整理到一起，就能涉及一類問題的知識點或是方法技能，教師稍加整理就能形成一節完整的復習課.

1. 條件補充式

案例3 直線l：y=2x+b與拋物線C：y2=4x相交于A、B兩點，__________，求直線l的方程.

案例背景：高三第一輪解析幾何復習——直線與拋物線的位置關系.

學生分析：拋物線C：y2=4x為定曲線，直線l：y=2x+b的斜率恒定，但縱截距不定，如果需要確定直線，可以再確定直線上的一個點. 直線在移動的過程中變化的還有弦AB的長度.

學生生成問題：①l經過拋物線C的焦點；②弦AB的中點橫坐標為4；③

AB

=8；④OA⊥OB（其中O為坐標原點）；⑤點A到準線的距離為5.

學生對問題的分析：如果要確定直線上的一個點，那么可以直接給定坐標，如問題①；也可以如問題②的給法，只給中點橫坐標，那么可以根據中點弦的解法求出b的值；或是如問題⑤用定義可以確定直線上一個點的坐標；問題③④給出了一個等量關系，可以結合方程，利用韋達定理解決.

評價：以上學生生成問題涉及焦點弦問題、弦的中點問題、弦長公式、兩直線垂直的轉化、韋達定理的應用、拋物線的定義及分類討論思想等. 學生給定的數據也許在解題的過程中不一定能夠像教師事先準備好的習題那樣求出“漂亮”的數據結果，但是思考問題產生的根源，嘗試解決問題的方法的過程是非常值得肯定的.

2. 目標補充式

案例4 （1）已知函數f（x）=x3-3x+4x，求__________.

案例背景：導數應用復習課.

學生分析：導數的應用主要是求函數的單調性、極值和最值，上面這個函數是個不含參的三次函數，可以構造一些簡單的考查導數基本應用的三個問題.

學生生成問題：①f（x）的單調區間；②f（x）的極值；③f（x）在[0，3]上的最值；（2）已知函數f（x）=x3-ax+4x，_______.

學生分析：如果函數中含參，那么單調區間、極值、最值都是不確定的，如果要求就需要分類討論. 或者是加上一些條件，比如說告知單調性，或者是減小區間的范圍都可以構成求參數a的取值范圍的問題.

學生生成問題：①討論f（x）的單調區間；②討論f（x）的極值；③求f（x）在[0，3]上的最值；④若f（x）在R上單調遞增，求a的取值范圍；⑤若f（x）在（0，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍；⑥若f（x）有三個單調區間，求a的取值范圍；⑦若f（x）>0在x∈[-1，1]上恒成立，求a的取值范圍.

學生對問題的分析：問題①②③是直接利用導數研究函數的單調性、極值和最值. 而以往遇到的更多的問題是求參數的取值范圍，所以可以根據函數的單調性、極值或最值加以一定的條件限制來設計問題.

評價：學生設計的問題基本上能夠涵蓋導數應用的常見的幾種類型，通過對題目的討論和方法的分析基本上能夠達到對函數應用復習的目的. 而且學生設計的問題層出不窮，在此過程中充分調動了學生的積極性，提高了學生學習數學的興趣，使得高三的復習課堂不再單調.

引導學生生成問題的高三數學復習課，對于學生，雖然學生生成的問題有時比較粗糙或不便于運算，但能夠讓學生在主動投入課堂教學的過程中，提升學生自身主動思維的能力和學習的自覺性、主動性；對于教師，能夠通過學生生成問題的過程，了解學生思維的出發點和思考過程中出現的問題，從而有效地解決教學中的難點和重點，本質上提高課堂的效率；對于課堂，能夠活躍課堂氣氛，使高三復習課堂更加生動，達到“教”“學”雙贏.