注重數形轉化，論作圖在指數、對數函數中的應用

周繼宗

摘 要：西方知名數學家曾經談到，數字缺空間形貌時就會缺少直覺，表現形體時缺少數量關系便難以細致入微. 明確數量關系，把握空間形式，注重數形結合是數學學習中的一項基本知識，也是一項重要的思想方法. 數字精確但是不夠直觀，圖形直觀卻不夠精確. 因此二者結合能夠做到優勢互補，尤其是指、對數函數的學習. 指數、對數函數定義相對抽象，如果借助幾何圖形便可以使抽象的問題具體化，從而把握函數的特征，進行針對性訓練，鞏固學生對函數的認識.

關鍵詞：指數函數；對數函數；數形轉化；教學策略

數量關系與空間形式是數學學習中兩個最基本、最基礎、最古老也是最先存在的兩個研究對象. 數形結合的應用大致可以分為兩種情況：一是利用數的精準性來表現形當中的某些特征或屬性，這就是用“數”來解釋“形”；二是利用形的直觀性來描述數與數之間的某種特定聯系，這就是用“形”來幫助“數”.本文主要研究“以形助數”這種數形結合的思想，即第二種情況.

[?] 以形助數，數形轉化存心中

教師的任務是使學生求是認真，掌握課堂的教學內容，理解教師的教學方法，并通過回答問題或者是課下作業以及小測試等方式將自己對教師所講內容的理解反饋給教師. 現實生活中，良好的生活習慣能給我們的生活帶來種種意想不到的方便. 數學教學亦是如此，作為數學教師我們不應該只是將數學知識傳授給學生，而是應該盡自己最大的能力讓自己的學生養成某種合適的、方便的、簡潔的解題習慣. 這一點非常重要，習慣的養成對學生在今后面對各類題型有很大的幫助作用，其思路總會在不知不覺中在頭腦中迸發出來，達到意想不到的成效. 為學生以后的學習減少極大的阻力，能夠為他們今后的學習提供更大的助力，減少困惑.

當學生剛剛步入高中時，其數學的開始學習是尤為重要的. 其中就包括指數、對數函數的講授，所以作為數學教師更應注重這一部分的教學. 在蘇教版高中數學必修一《函數模型及其應用》這一節的實踐教學中，筆者刻意地聯系之前所學的指數函數與對數函數. 而且在做練習題前與學生做了一個小討論.

教師：“同學們在之前初中或者剛上高中以來的數學學習中，有哪些數學題目一出現，你立刻就會畫出相應的圖形來解答？”

學生1：“初中時，行程問題基本都會畫出一條橫軸，然后利用這個橫軸來解題.”

學生2：“高中時，求兩個數域的交集、子集等問題時，我大都也會先畫一個坐標軸，也是利用坐標軸來解題，這樣更快捷一下.”

教師：“兩位同學說的都不錯，他們所說的兩種情況確實利用他們所說的方法來解決非常簡單. 但是同學們想一想，每次出現這樣的題他們都會先畫坐標軸，其實這就是習慣，這也是一種思維的顯示，也就是以形助數這種數學思維. 習慣的培養對于解決數學問題，非常有幫助，稍加訓練，形成思維意識，就可以見題有方法. 對此，我們可以利用前些日子學的指數、對數函數來學習，下面我們就來做一些訓練.”

作為數學教師，我們應該引導學生來培養這種思維，讓這數形結合的思想成為他們本身的一種意識，見到就會使用. 當然，在培養這種習慣的時候，我們也要多教他們一些技巧，讓他們更加容易地利用這一思想.

[?] 把握特征，函數問題莫忘形

正確把握圖形特征是快速解答指數、對數函數問題的思維方法. 學生通過作圖直觀地展示出函數的基本性質. 只有充分把握指數、對數函數的性質，解題時，學生才能真正做到有的放矢.

在講述指數、對數函數時，可以通過問題情境引入函數，例如，某個細胞進行分裂時，細胞數量y是分裂次數x的指數函數y=2x. 接下來描繪出圖形.

在繪完圖后，引導學生觀察圖形，請學生回答下列問題：

1. 觀察自己畫出的圖形，準確找出圖形當中特殊的點（如圖象與y軸的交點）.

2. 了解函數的定義域、值域、單調性等.

在此基礎上推廣到一般的指數函數，對y=ax的圖形進行分析，給底數a不同的值（如a=，，，2，3，4等），分別讓學生列表并繪制到同一直角坐標系中，這樣可以直觀地看到函數圖象在相同x值時，y值的大小，易于比較. 同理，可以比較在相同y值時，x值的大小. 如圖1所示：

在這個過程中為讓學生了解圖形特征列舉出如下問題：圖形的共同點，a>1與0

1. 指數函數的單調性由底數a的值決定，a>1時單調遞增，0

2. 指數函數y=ax的圖象過定點（0，1），

3. 指數函數的定義域為R，值域為（0，+∞），

4. 在第一象限內，從逆時針方向看圖象，a逐漸增大，在第二象限內，從逆時針看圖象，a逐漸增大.

……

利用這個思路，再討論對數函數y=logax的圖形性質時能起到事半功倍的效果. 因為指數函數和對數函數互為反函數（兩者圖象關于直線y=x對稱），所以可以依據上述的分析方法把握對數函數的特征. 首先對a賦不同的值，在坐標系內描點繪圖. 教師引導學生提出問題，學生給出解答，然后總結一般性規律. 甚至可以把指數函數的圖象性質與對數函數的圖象性質放在一起探討，增強學生的記憶.

……

學生繪制觀察圖象，分析圖象的過程實質上是不斷熟悉函數，把握特征的過程. 學生把握住函數的特征，實際解題可以輕松建立出函數圖象，給解題帶來極大的方便. 學生把握住函數圖象的單調性，對解決定值比較大小的問題有極大的幫助. 因此，在學習中引導學生正確把握函數特征，注重數形結合是教師教學中必要的方法.

[?] 針對訓練，典型例題重點記

數學的學習也是一個強化的過程，熟能生巧，技巧總會在自己熟練的練習與及時的記憶當中無形形成. 數形結合就是一個技巧，所以老師在教導學生學習時，不僅要培養他們能夠形成一種數形結合的意識、習慣，加強學生在實際解題中靈活思維，把握題型考點，從容地解答問題，而不是單純地憑借記憶力去生硬照搬. 指數、對數函數中所應用的典型方法，是我們學習中要把握的重中之重，教學中要通過做題來不斷強化，給學生提供專題解題的氛圍與環境，將數形結合巧妙地結合在這些重點訓練中，讓學生記住典型才能夠解決那些怪題、不常見的題、非典型的組合題等.

1. 常規重點題型

指數與對數函數的學習是高中開始就進行的數學學習，培養數形結合的意識要從頭抓起，所以對指數、對數函數這方面的訓練教師要尤其關注，教師要根據大綱要求先總結出重點，然后再去找一些重點例題，設置專題課堂，引領學生訓練. 例如：最簡單的一種類型題就是圖形變換及其應用等問題. 如為了得到函數y=9·3x+5的圖象，可以把函數y=3x的圖象怎樣移動得到？對于這一類型，我們首先要注意的是先將主函數變成最簡單的格式. 本題就可以這樣運用，函數y=9·3x+5可以轉化為函數y=3x+2+5，只有這樣我們才能夠利用圖象的平移規律來做出正確的答案. 函數化為最簡單的形式以后，整道題就會變得十分清楚明了. 根據“上加下減，左加右減”這一規律我們可以輕松得到答案，即將函數y=3x的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，就可以得到函數y=9·3x+5的圖象. 對付這種類型題，教師一定要自己先做好總結，得出規律. 比如：平移、伸縮、對稱等.

2. 非常規重點題型

當然了，上述那種題只是最簡單的很常規的題型，它能夠將數與形完美地結合起來，對學生數形結合思維的訓練有很大的幫助. 但是在學習中，學生也會遇到非常規的題目，因此這類題我們也要注意數形結合思想的培訓. 比如，方程lgx=sinx的實根個數這一題，面對這一題，我們的感覺就是這題根本做不了，也沒有個數來讓我們算一算. 但是如果我們轉化一下思維，將題中所給的數聯系到圖象就會很容易解決了. 那么這道題的實際意思就會變成求出函數y=lgx和函數y=sinx的圖象交點個數. 這樣一來這道題自然簡單多了，學生只要準確畫出圖象就可以得出正確答案了，如圖2所示. 根據圖象，我們可以清楚地看到交點有三個，即答案為3. 因此，我們在面對非常規題型時，要跳出原始的思維定式，用數形結合的思想來解決問題.

當然，指數與對數函數的典型例題有很多，筆者所提供的例子只是其中最簡單的數形結合的例子，在這里筆者主要說的是：方法的運用、思想的形成、定式的轉換，打破以往只知道求解數字這種方法. 解答過程的多樣化、方法的獨特不但使學習更加有趣，而且學生記憶會更加深刻.

本文主要討論數形轉化中作圖在指數、對數函數中的應用，對此我們應該注意將培養學生良好的學習習慣、正確便捷的解題思路作為自己的責任，使學生形成慣性思維，當自己的學生面對函數問題能夠直接想到畫圖這種方法，把握好函數中的數與圖形中的點的準確關系，將畫圖這一方法時刻存在心中.我們還要注意典型的、重點的題型訓練，這一方面的培養與記憶也是相當重要的，它奠定了學生今后學習以及所面對的綜合題的基礎.

數學教學這一話題持續了很長的時間，每個時代都會有不同的定義、不同的內涵、不同的演化，作為新時代的高中數學教師我們應該與時俱進，跟著時代發展的浪潮，為自己的學生提供自己力所能及的便利、優良學習方法，引導他們養成良好的思維習慣. 數學教師也要不斷充實自己，不斷學習，努力成為一個負責任的、有自己獨到見解的新時代教師.