教學反思試談數學文化在高中數學教學中的有效滲透

周海華

摘 要：數學文化進入高中數學課堂是當前的研究重點，數學文化的有效滲透在于隱性與顯性兩種方式的結合. 隱性的數學文化借助于數學史或數學故事來呈現，可以激活學生的思維、吸引學生的注意力；隱性的數學文化呈現，可以讓學生帶著數學文化的視角，借助于數學思想及數學方法去解決問題. 兩種方式的并行，可以讓數學文化真正成為數學課堂上的有效因素.

關鍵詞：數學文化；高中數學；數學教學；有效滲透

數學文化已經成為近年來數學教育界的一個熱詞，在數學教學中滲透數學文化已經成為當下教學的一種時尚，尤其是在高中數學教學中，由于應試壓力的頑強存在，故帶有數學文化的課堂常常成為應試氛圍中的一道亮麗的風景線. 從教學思路來看，數學文化的滲透常常有顯性和隱性兩種，前者在課堂上引入諸多數學文化事例或者故事，從而讓學生能夠沐浴在一種文化氛圍當中，而后者常常將數學文化發展的歷史主線隱性地作為課堂上學生思維的主要思路，從而可以讓學生在數學文化的隱性影響中獲得數學素養的提升. 而從教學實際來看，高中數學課堂上的文化因素呈現并不令人樂觀，一個重要原因就在于過于重視顯性的所謂文化存在，而忽視了隱性的數學文化的精髓. 因此，數學文化的有效滲透就成為一個重要的研究課題，對此筆者也進行了不懈的研究.

[?] 數學文化的顯性依附

根據一般認識，中學數學課堂上的文化都是依附于數學史或者數學故事而存在的，因此數學史與數學故事常常是數學文化的顯性依附，在課堂上提供這一類素材，既可以吸引學生的學習注意力，也可以提高學生對數學知識的理解程度. 以“數列”（人教版高中數學，必修5）的教學為例，筆者搜集了相關的素材，并結合教材所給出的史料，進行教學設計：

首先，創設數學文化的情境：向學生介紹畢達哥拉斯學派的“形數理論”. 此情境創設的重點在于激發學生的認知沖突：一方面，用小石子來表示數是一種“輕而易舉”的事情；另一方面，該學派這種表示數的方法當中又蘊涵著重要的數學思想. 有學生在學習中會質疑：用石子表示數是小孩子都會的事情，需要跟我們這種高級知識分子炫耀嗎？在筆者看來，學生戲語背后恰恰是筆者所需要的認知沖突. 而這種起點較低但目標較高的數學教學模式，也常常受到學生的喜歡，其最大的益處就是能夠在數學學習之初讓所有的學生參與進來，這對于關注學生全體是非常有幫助的，尤其是對于高中數學而言，通常都需要通過這種方式來降低教學的起點.

其次，教授“等差數列前n項和”的內容中，向學生介紹高斯計算1+2+3+…+100的故事，這個故事學生耳熟能詳，教師需要強調的是其中巧妙的數學轉換思想，即將1與100、2與99……聯系起來，以讓學生看到高斯分析思路的巧妙轉換. 事實上，在具體的教學過程中，學生也常常容易為這一故事所吸引，但是對于高中數學教學而言，更需要教師做出努力的是引導學生發現其中的數學思想，并進而引導學生感受數學文化.

再次，在上述兩個顯性數學史知識呈現的基礎上，教師引導學生比較這兩種方法，并嘗試用“形數”去解決“等差數列前n項和”的問題. 這個時候學生就會發現原來的“簡單”認識此時變得不太簡單！而當筆者向學生闡明畢達哥拉斯學派就是用形數知識解決了等差數列的前n項和的問題時，學生更是感覺到有一點不可思議，于是他們的思維也就會向前延伸：古人是怎么解決這個問題的呢？

這個問題意識的產生，將本課帶入了有效課堂的大門，學生的思維由此活躍了起來. 而數學文化的滲透也從表面走向了實質！

[?] 數學文化的隱性存在

數學文化顯然不只是數學故事，數學文化是隱藏在數學史或數學故事背后的數學思想、數學思維與數學視角.因此在上述基礎上，教師應當從深層次文化的角度去實施教學，筆者的實踐是這樣的：

第一步：基于“形數”去尋找求解等差數列前n項和的方法. 在這一步當中，實際上需要一個數形轉換，即將高斯思路的純數學思考，轉換成基于表示數的小石子的形的思考，筆者借鑒同行的經驗，利用如圖1所示的形狀來表示等差數列，然后在此基礎上對此圖進行了引導.

經過引導，學生迅速發現“三角形數”就是一個等差數列，而補上另一個倒置的三角形之后就形成了一個平行四邊形，學生就會發現其實這是一個有著n行、（n+1）列的“平行四邊形數”，顯然總的點數（實際上也就是前n項和）就是n（n+1），那么等差數列的前n項和就呼之欲出了.

在筆者的課堂上，這一發現是由學生自主完成的，學生在完成之后，對于“形數”產生了十分濃厚的興趣，而數學教學所強調的“數形結合”思想也在此得到了汗暢淋漓的體現.更重要的是，基于數學文化的滲透的教學，到此還沒有結束.

第二步：引導學生繼續思考，這種數形結合思想的運用，這種“三角形數”與“平行四邊形數”在數列知識的求和當中有沒有更巧妙的應用？也就是說面對著“等差數列前n項和”的問題解決需要，“形數”能否從另一個角度發揮作用？這一問題實際上是數學文化驅動下的深入思考，而學生在體驗了剛才的快樂之后，自然有進一步研究的動力.

實際教學中，筆者跟學生一起研究探討，而當圖2出現在學生的面前時，學生的眼前又是一亮：原來一個形數換用不同的視角去看時，還會有另一個思路出來：如圖，總的小石子數是16，而當教師用線隔出小石子之后，學生發現其又可以看做1+3+5+7，很顯然，這也是一個等差數列，那么如果是n個小石子組成的正方形矩陣，那總的石子個數與此規律的等差數列就滿足1+3+5+7+…+2n-1=n2的關系.

這種關系的自主發現，顯然是數學思想驅動的結果，而數學思想從哪里來，就是從基于數學史演變過來的數學事例的分析得來的，筆者以為這是數學文化驅動的結果.

在教學中曾經出現一個細節：當筆者向學生呈現左圖時，學生感受到的就是一個由十六個點組成的正方形，而當筆者最后向學生呈現右圖時，學生忽然發現原來同樣的十六個點卻有著不同的理解方式. 而不同的理解方式卻意味著不同的數學結果！這是怎么一回事？而當學生在小組討論中提出這個問題，并經過筆者統一提出后為全班學生所共同感興趣的話題之后，筆者告訴學生，這一現象某種程度上講也是數學文化的一部分，因為文化不僅僅是文化故事，更指文化當中蘊涵的思維. 數學家用點、線、面、體來描述這個世界時，就已經意識到了簡單的形的變化之后隱含著數的變化，這樣的講解有助于學生在數與形之間建立起恰當的聯系.

需要強調的是，“形數”這一概念的背后還包含著更深層次的數學思想，這也是需要向學生傳遞的. 筆者以為，形數作為一個數學概念，需要讓學生認識到的是形與數兩個基本概念，形是人類認知世界最基本的載體，數是人類在認識過程中的高度抽象，而這恰恰吻合了數學發展的軌跡. 這種認識是需要向學生傳遞的，常常被數學符號所困擾的高中學生最容易形成的誤區就是：高中數學只是抽象的圖形與符號的集合，而事實上數學卻是在以至簡的語言描述著事物發展的至繁規律，這也應當是高中數學文化中的一個重要理解.

[?] 數學文化的呈現方式

反思上述教學嘗試可以發現，高中數學課堂上數學文化要想發揮驅動學生積極思維的作用，就必須堅持數學文化顯性與隱性滲透相結合的教學方式，通過顯性的數學文化呈現來激活學生的思維，吸引學生的注意力，而隱性的數學文化作用則在于讓學生的思維沿著數學史中的數學思路去解決問題，這就相當于給學生提供了一個泳池，可以讓學生帶著數學方法去游泳，從而形成必需的數學技能與數學素養.

數學文化的呈現方式還影響著學生對數學的理解結果，實踐表明，即使是對于高中數學而言，必要的顯性教學也是應當的，因為高中階段的學生的邏輯思維能力固然較強，但對數學文化的理解還處于比較稚嫩的水平，文化并沒有真正成為學生數學學習的思維主線，因此顯性的文化教學方式，可以讓學生以更為明確的態度去感受數學文化的存在. 相比較而言，隱性的文化更多的時候只適用于對學生產生一種潛移默化的作用.

某種程度上講，對于教學這一特定行為而言，數學文化的呈現方式直接影響著數學文化的效果，高中數學教學中可行的措施就是顯性與隱性相結合，以使數學文化可以在兩種方式相得益彰的作用下發揮更大效用.