矩陣的等價標準型在量子力學中的應用

李群

摘要：矩陣的等價標準型是矩陣論中的一種重要形式。不僅可以解決很多線性代數中的問題，也可以解決物理中的一些問題。本文以矩陣的等價標準型為研究對象，通過舉例的方式，探討了矩陣的等價標準型在量子力學中的應用。

關鍵詞：矩陣；等價標準型；量子力學；應用

中圖分類號：O15文獻標識碼：A文章編號：1671—1580（2015）10—0150—02

一、引言

矩陣的等價標準型是矩陣論中的一種既特殊又重要的形式，它可以解決代數中的許多問題，例如利用矩陣的等價標準型來研究矩陣的一些性質，廣義逆矩陣等等。本文是把量子力學和代數中的矩陣聯系起來，把矩陣的等價標準型應用在物理學的量子力學中。

矩陣A和B是等價的，如果矩陣B可以由A經過一系列初等變換得到，同樣也可以這樣表達：兩個n×m矩陣，A，B若存在m階可逆矩陣P，n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B，則稱這兩個矩陣，A，B是等價的。

矩陣Ir0

00為A的等價標準形是這樣定義的：A是一個m×n矩陣，并且A的秩為r，則A等價于矩陣Ir0

00.

二、在物理中關于量子力學的應用

標準形矩陣在量子力學中的應用，這是物理學中比較重要的一個應用。

等價標準形在量子力學中主要應用在線偏振器的表示和密度矩陣的求解中。

在力學中， 線偏振器是這樣定義的，由入射自然光得到偏振光的器件稱為線偏振器，當透振沿X軸的方向時，瓊斯矩陣可以很容易得到為10

00， 根據上面的定義，我們可以知道它是等價標準形。當入射光E連續通過兩個或兩個以上偏振器時，輸出光是它們的疊加，輸出的光可表示為E=MnMn-1…M1E.M1，M2…Mn 為依次通過的各偏振器的瓊斯矩陣，那么很容易看出偏正態變為簡單的矩陣運算，又回歸到數學的運算之中了。

例1設有一條偏線振光滿足振幅為A，并且振動方向是X軸，先通過一透振方向與X軸方向的偏振片，再通過一塊沿軸X方向45度方向放置的方解石λ4片，求出光偏正態和強度。

對于上式進行分析，不難得出輸出光的x，y分量偏振幅均為A2，這兩個振動相位差為π2，很容易看出，出射光和左旋圓偏正光的形式是一樣的，那么它就為左旋圓偏正光，I=（A2）為出射光的強度，入射光線的強度為π2.

例2 量子態|φ>相應的密度矩陣的矩陣元Pn′n出現（不為0時），量子態|φ>必含有|n>和|n′>態，Pn′n的值與|n>和|n′>態在態|φ>中出現的幾率和相位都有關，如|φ>就是F的某一個本征態|k>，則Pn′n=|n|k>|k|n′>δnkδn′k=δnn′δn′k.它是一個對角矩陣，而且對角元中只有一個元素ρkk′不為0，且ρkk′=1，求電子自旋σx=±1的本征態在pauli表象（σZ表象）中的密度矩陣，進而求它在σx表象中的密度矩陣。

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