導數在不等式證明中的應用

高珍妹

【摘要】不等式的求解證明方法很多，靈活運用不等式的性質與不等式的求解證明方法是解決許多問題的關鍵。本文歸納了根據所給不等式的特征來利用導數證明的一些方法，并介紹了其具體的證明思路.

【關鍵詞】導數 ?不等式 ?證明

引言

數學問題的解決關鍵在于我們對待數學問題的方法，如果在學習數學的過程中，我們能有意識地將數學問題系列化，解決數學問題的方法系列化，那么解決數學問題的能力將會得到升華。本文歸納了幾種根據不等式的結構特征構造函數，將不等式問題轉化為函數的問題，從而應用導數的性質證明不等式的方法.

一、用導數定義證明不等式

定理定義

定義一（導數定義）

導數定義：設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，若極限 ? 存在，則稱函數f（x）在點x0可導，稱該極限為

函數f（x）在點x0的導數，記作f`（x0）.

令 ， ，

則 .

證明方法和思路

找出x0，使得 ?恰為所要證明不等式的一邊;

利用導數的定義并結合已知條件去研究.

適用范圍

用導數定義證明不等式，應仔細觀察問題中的條件與結論之間的關系.有些不等式符合導數的定義，因此可利用導數的定義將其形式轉化，以達到化繁為簡的目的.

利用導數的定義得：

由于 .所以

即 .

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理證明不等式法

定理定義

定理一（拉格朗日中值定理）：若函數f（x）滿足下列條件：

（1）f（x）在閉區間[a、b]上連續;

（2）f（x）在開區間（a、b）內可導，則在（a、b）內至少存在一點ζ ，使得 ? ? ?.

證明方法和思路

構造輔助函數f（x），并確定f（x）施用拉格朗日中值定理的區間（a、b）;

運用拉格朗日中值定理得到等式;

根據 ，消去 .

適用范圍

當所證的不等式中含有函數值與一階導數，或函數增量與一階導數時，可用拉格朗日中值定理來證明.

三、用函數的單調性證明不等式

定理定義

定理二： 若函數f（x）在（a、b）上可導，則f（x）在（a、b）上遞增（遞減）的充要條件是：

.

定理三： 設函數f（x）在（a、b）連續，在（a、b）內可導，如果在（a、b）內f′（x）>0（或f′（x）<0），那么f（x）在（a、b）上嚴格單調增加（或嚴格單調減少）.

定理四： 設函數f（x）在（a、b）內可微，若f′（x）>0（或f′（x）<0）），則f（x）在（a、b）內嚴格遞增（或嚴格遞減）.

證明方法和思路

構造輔助函數f（x），并確定f（x）所在區間（a、b）;

求f′（x），確定f（x）在區間（a、b）上的單調性，從而證明不等式.

適用范圍

利用函數單調性證明不等式，不等式兩邊的函數必須可導;對所構造的輔助函數f（x）應在某閉區間上連續，開區間內可導，且在閉區間的某端點處f（x）的值為0，然后通過在開區間內f′（x）的符號來判斷f（x）在閉區間上的單調性.

四、函數的極值與最值證明不等式

定理定義

定理五（極值的第一充分條件）：設f（x）在x0連續，在U0（x0;δ）內可導，

若當 ? ? ? ? 時 ? ? ? ? ? ? ? ，當 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 時 ? ? ? ? ? ? ? ?，則f（x）在x0取得極大值;

若當 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 時 ? ? ? ? ? ? ? ? ，當 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 時 ? ? ? ? ? ? ? ，則f（x）在x0取得極小值.

定理六（極值的第二充分條件）：設f（x）在x0的某領域

內一階可導，在x=x0處二階可導，且f′（x0）=0， ? ? ? ? ，若 ? ? ? ? ? ? ? ? ，則f（x）在x0取得極大值;若 ? ? ? ? ? ? ? ? ，則f（x）在x0取得極小值.

定理七（極值的第三充分條件）：設f（x）在x0的某鄰域內存在直到n-1階導函數，在x0處n階可導，

且 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，則

當n為偶數時，f（x）在x0取得極值，且當 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?時取極大值， ? ? ? ? ? ? ? ? ? 時取極小值.

當n為奇數時，f（x）在x0處不取極值.

證明方法和思路

構造輔助函數f（x），并取定其區間.求出f（x）在所設區間上的極值與最大、最小值.

適用范圍

所設函數f（x）在某閉區間上連續，開區間內可導，但在所討論的區間上不是單調函數時.

只能證不嚴格的不等式而不能證出嚴格的不等式.

五、用柯西中值定理證明不等式

定理定義

定理八 ?（柯西中值定理）：設函數f（x）和g（x）滿足：

在[a、b]上都連續;在（a、b）上都可導; f′（x）和g′（x）不同時為零; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

則存在 ? ? ? ? ? ? ? ?，使得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

證明方法和思路

構造兩個輔助函數f（x）和g（x），并確定條件區間[a、b];

運用柯西中值定理得到等式;

運用ζ與a、b的關系，對柯西公式進行加強不等式.

適用范圍

當不等式含有兩個函數的函數值及其一階導數，或兩個函數的函數增量及其一階導數時，可用柯西中值定理證明.

六、用函數的凹凸性證明不等式

定理定義

定義二：

凹凸函數定義：設f（x）為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1，x2和任意實數 ? ? ? ? ? ? ? ?總有

，

則稱f（x）為I上的凸函數.反之，如果總有

，

則稱f（x）為I上的凹函數.

定理九：設f（x）為區間I上的二階可導函數，則在I上f（x）為凸函數（或凹函數）的充要條件是

.

命題（詹森不等式）：若f（x）在[a、b]上為凸函數，則對任意的 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 有 .

定理十：若函數f（x）在[a、b]內有二階導數，則任意的 ?，

有

，即

當且僅當x1=x2=L xn時，不等式中等號成立.

定理十一：若函數f（x）在[a、b]內有二階導數，且 ? ? ? ? ? ，則在[a、b]內任意的xi（i=1，2，L n） ，有

當且僅當x1=x2=L xn時，不等式中等號成立.

證明方法和思路

定義證明法：將不等式寫成定義的形式，構造輔助函數f（x），并討論f（x）在所給區間上的凹凸性.

詹森不等式法：對一些函數值的不等式，構造凸函數，應用詹森不等式能快速證明此類不等式.

適用范圍

當不等式可寫成凹凸函數定義的形式或對一些含有函數值且只能夠構造凸函數的不等式.

七、用泰勒公式證明不等式

定理定義

定理十二（泰勒定理）：若函數f（x）在閉區間[a、b]上存在直至n階的連續導函數，

在開區間（a、b）內存在（n+1）階導函數，則對任意給定的x，x0∈[a，b]，至少存在一點ζ∈（a、b），使得

證明方法和思路

根據已知條件，圍繞證明目標，選取恰當的點將函數在這些點展成泰勒展式;

根據已知條件，向著有利于證明目標不等式的方向對上面的展式作適當的處理，直到可以結合已知條件證出不等式為止.

適用范圍

當遇到含有函數與高階導數，或函數增量與高階導數，或要證的是導數（一階或二階）不等式時，可利用泰勒公式來證明有關的不等式.

八、總結

本文總結了導數在不等式證明中應用的七種方法，其中每一種方法都有各自的適用范圍，而同一個問題也可以有幾中解法，當在實際問題中應用時要注意區別每種方法的使用條件，選擇適當的方法以解決問題.

參考文獻：

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