關于數學中逆向思維的培養

李玉海

（吉林省大安市月亮泡鎮中學 吉林大安 131300）

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關于數學中逆向思維的培養

李玉海

（吉林省大安市月亮泡鎮中學 吉林大安 131300）

摘 要：逆向思維是數學中的一種重要的思維方法。它是在研究問題時，從反面觀察事物，去做與習慣性的思維方向完全相反的探索，推導不下去時考慮逆推解決，探討可能性發生困難時考慮探討不可能性，由此尋求出解決問題的方法，是創造性思維的重要組成部分。本文主要闡述了在數學教學中，如何通過對定義、公式、定理的可逆性及逆運用的教學，以及解題過程中的其他角度的思考來培養學生的逆向思維習慣、逆向思維的自覺性及其興趣，最終達到提高學生的逆向思維能力的解決實際問題的綜合能力。

關鍵詞：數學 教學 逆向 思維 能力 培養

逆向思維是數學中一種重要的思維方法。逆向思維從反面觀察問題，打破心理學上的心理定勢現象，沖破習慣思維的束縛，在與原來認識方向相反的方向上尋求解決問題的新方法，有時會產生意想不到的良好效果或獲得新的發明和創造。逆向思維不但在數學的歷史發展過程中有重要作用，而且在我們學習數學的過程中也發揮著舉足輕重的作用.在學習數學的過程中，經常會遇到這樣的情況，當我們對書本上的基本知識和概念初步掌握后，就能夠根據基礎知識解決書上的一些例題和習題.這時大多數學生就會認為自己已經掌握和了解了全部內容.其實這時對于知識的理解是膚淺的，遠沒有達到融會貫通的程度，更談不上有所發展了。這時，教師就應該引導學生從各種不同的途徑，用多種方法去思考問題，如用逆向思維方法有重點的討論問題，這樣會收到事半功倍的效果。［1］

一、在基礎知識的運用中培養逆向思維

1．在概念教學中培養逆向思維

作為概念的命題，其逆命題一般總是成立的。在數學教材中，很多數學概念都可以提出逆向問題。在教學中要注意引導學生研究概念的逆命題及其應用，對培養學生的逆向思維能力是很有好處的。因此，在初等數學的一些簡單概念教學中就應注意這些方面的訓練，以便學生養成逆向思維的習慣。

2．注意公式逆向思維

在許多教材參考資料的發展和深化中，在不少數學問題的解答中，經常需要將公式變形，逆向使用。而學生往往在解題時缺乏這種自覺性和基本功。因此，在教學中要注意這方面的訓練。以培養學生逆向思維的基本能力。數學中的公式很多，熟練掌握公式并能靈活地應用，是解決數學問題所必須的，其中靈活地逆用公式是不可缺的。

數學中的公式都是具有雙向性，在正向應用的同時，加強公式的逆向應用訓練，不僅可以加深學生對公式的理解和掌握，還可以培養學生靈活運用公式的能力。教師應通過對公式的推導、公式的形成進行對比，探索公式能否逆向運用，從而培養學生逆向思維能力，以增強解題技巧。

3．注意定理逆向思維

數學中有許多可逆定理，恰當地運用這些可逆定理，可以將所學的知識融會貫通。掌握可逆定理、性質和法則的互逆表述。

引導學生探求定理的逆命題的真假性，不僅使學生學到的只是更為完備，激發學生去鉆研新只是，而且能培養學生創造性思維，把定理題設和結論在一定條件下進行轉化，而形成有異于原命題基本思想的新題型。

在學習某些數學定理后，引導學生探索其逆命題，再去判斷或論證逆命題的正確性，并進而啟發他們用這些逆定理去解決一些問題，自然能激發學生的逆向思維的興趣。

二、在分析和解決問題中培養逆向思維

1．反證法

反證法是一種間接證法，它是通過證明一個命題的逆否命題來證明原命題正確的一種方法，是運用逆向思維的一個范例。有的問題直接證明有困難，可反過來思考，假設所證的結論不成立嗎，經層層推理，設法證明這種假設是錯誤的，從而達到證明的目的。

反證法的特點是先提出與待證的結論相反的假設，然后推倒與公理、定義、已證的定理或題設相矛盾的結果.這樣，就證明了與待證的結論相反的假設不成立，從而肯定了原來求證的結論成立.因此它是逆向思維的重要方法.

2．正難則反換角度思考問題

互相轉換在中學數學的教學過程中，往往會出現死胡同的問題，也就是當我們主動的、努力地去尋找問題答案，卻一直得不到答案，并且進入到一個無法繼續的死胡同的時候，就應該運用逆向思維中互相轉換的方法，也就是當找不到答案的時候，可以適當的、合理的去考慮一些問題中已知的相關條件或者是相關的元素，通過間接的、迂回的方法來找到問題的答案。

學習數學的方法有很多，獲取數學知識的途徑也有很多。在數學中往往會遇到一些難度非常大的數學題，而通過學生常規的正向思維很難解答，這時候我們就要實施正難則反的策略，大膽的采取逆向思維，從題目的側面、反面去進行推敲以及驗證，并且認真的進行分析，這樣一來問題就會變得容易許多。

3．執果索因的分析法

在中學教學過程中所出現的一些證明題，往往是按照邏輯推理的順序以及按照題目已知的條件來完成證明過程的，可是在一些比較特殊的情況下，問題就沒有這么簡單了，比如說題目中所設定的條件非常有限或者是非常隱蔽，而這個時候，就應該利用逆向思維中的分析法，從題目的結論來著手，逆向推導出應該成立的、充分必要條件，從而推斷出題目中所有的已知條件，最后在反過來按照邏輯順序重新進行相關的證明。［2］

分析法是從命題的結論除法尋找充分條件的證明方法。在數學證明中，按邏輯推理順序和要求來說，應從題設條件除法，根據已知的定理和事實逐步推得要證明的結論。但從解題策略的角度來看，除了簡單的情形，這種方法并非上策。因為在一定的已知條件下，由已知的定理和事實出發，可以推出的結論往往很多。若反其道而行之，從欲證結論出發追溯題設條件，再反過來依此途徑便可完成一個由條件到結論的證明。這就是簡歷在逆向思維原則上的分析法的精神實質。在幾何、不等式的證明等問題中都可利用這種方法解決。

4．反中求正的選擇題

有些選擇題計算非常繁瑣，往往容易在一道選擇題上計算浪費太多的時間，很不劃算。針對復雜繁瑣的選擇題，既然不容易算出答案，那就不妨從選項入手，逐一排除錯誤的選項，正確答案便選出來了。

總之，培養學生的逆向思維能力，不僅對提高解題能力有益，更重要的是改善學生學習數學的思維方式，有助于形成良好的思維習慣，激發學生的創新開拓精神，培養良好的思維品性，提高學生分析、判斷及解決問題的能力，提高學習效果、學習興趣，及提高思維能力和整體素質。值得注意的是：正向思維有它很大的積極的一面，但決不能一味地追求逆向思維的訓練，否則適得其反。要結合所教學生的實際情況，因材施教，適當、適度地施以逆向思維的教學手段，以達到啟迪數學智慧的目的。

參考文獻：

［1］宋良良.初中數學逆向思維訓練淺議［J］.試題與研究，2010（6）

［2］翟海軍.“逆向思維”在數學解題中的體現［J］.高中數理化，2011 （2）