含能流的橫磁場中各向同性XY自旋鏈在有限溫度下的熱糾纏研究

劉　丹，張金巖

(1.大連民族大學 物理與材料工程學院，遼寧 大連 116605；

2.鞍山市第八中學，遼寧 鞍山 114031)

?

含能流的橫磁場中各向同性XY自旋鏈在有限溫度下的熱糾纏研究

劉丹1，張金巖2

(1.大連民族大學 物理與材料工程學院，遼寧 大連 116605；

2.鞍山市第八中學，遼寧 鞍山 114031)

摘要：利用拉氏乘子法構建能流算符，使用多體熵積度量方案計算了三比特系統在溫度為零時的糾纏和有限溫度下的熱糾纏性質；根據拉氏乘子的不同區間分析熱糾纏隨溫度、磁場的變化關系，研究了橫磁場中各向同性XY自旋鏈在能量流影響下的能譜。研究發現：當自旋鏈中沒有能量流時，自旋鏈的極大糾纏為0.46；而當拉氏乘子大于零時，自旋鏈中出現能量流動，導致體系的熱糾纏增加，熱糾纏極大值可達到0.92。自旋鏈中的能量流動會導致體系的熱糾纏增加。當體系處于能流相時，橫磁場越大，得到的熱糾纏就越大。能流的增加，則會導致體系更容易在較低溫度獲得較大糾纏。

關鍵詞：熱糾纏；自旋鏈；能流；橫磁場

量子糾纏特性研究是量子通信、量子計算等應用的理論基礎，對于量子多體系統的描述和理解具有十分重要的作用，已成為目前世界范圍內重要的研究課題之一。科學家預測，基于量子多體糾纏理論構建的量子計算機可顯著提高經典計算機的計算速度，并可為量子通信提供更加安全的通信方法。目前，在量子糾纏特性的研究上已衍伸發展出了許多具體應用方向，如量子密鑰分配[1-2]、量子機密共享[3-4]、量子密集編碼[5]、量子安全直接通信[6-8]等。近年來，人們對兩體量子態的糾纏[9-12]以及各種類型的多體糾纏態[13-17]已進行了廣泛的研究。結果表明，一維量子自旋系統可作為量子糾纏制備、傳遞的載體，具有十分重要的實用價值。人們在量子信息的范疇內對具有各種相互作用的自旋鏈模型已做了大量分析和討論[18-24]，但對處于有限溫度和外加磁場下的各種以海森堡相互作用耦合的多比特自旋鏈的糾纏[25-30]的理論研究還有待深入。一維量子自旋系統反映了許多關于量子本質的有趣現象，近年來成為理論和實驗的熱點研究內容之一。筆者已對橫磁場中各向同性XY自旋鏈的能譜和溫度為零時的基態糾纏[23]進行了分析，并對自旋鏈中引入能量流時，能流對溫度為零時體系基態糾纏的影響進行了討論[19]。但在實際量子糾纏的制備和輸運過程中，溫度為零的體系狀態過于理想，因此，有必要對體系在有限溫度T下系統的熱糾纏性質進行進一步的理論研究。

本文在有限溫度條件下，使用多體熵積度量方案[31]，研究了含有能流的橫磁場中的三比特各向同性XY自旋鏈的熱糾纏問題。分析了含有能流的三比特XY鏈的有效哈密頓量的能譜，系統在有限溫度下的熱糾纏，能量流、磁場對熱糾纏的影響等體系的糾纏問題。

1含能流的各向同性XY自旋鏈模型

沿z方向橫磁場中的各向同性XY自旋鏈的哈密頓量有如下形式：

(1)

在這個XY模型中，系統的總能量應守恒。因此，使用文獻[24]中的方法構建能流算符。由于局域能流的局域能量滿足連續性方程，因此可將宏觀能流表示為所有局域能流之和。

(2)

宏觀能流與哈密頓量對易，即[HXY,JE]=0，可用拉氏乘子法將能流算符JE加到系統哈密頓量上構建出如下等效哈密頓量：

HE=HXY-λJE。

(3)

不失一般性，可考慮h≥0，λ≥0。因此，等效哈密頓量HE的任意本征態仍是哈密頓量HXY的定態波函數。HE的基態可看做是溫度為零時HXY的攜帶能流的非平衡穩定態。此時，本征態將攜帶能流JE，這正是需要的結果。HE只是在數學上構建的用來找到HXY的非平衡態的另一平衡哈密頓量，而系統仍在HXY下演化。以此研究含能流的自旋鏈的基態糾纏和有限溫度下的熱糾纏將很有意義。

2含能流的XY自旋鏈哈密頓量能譜與基態糾纏

以自旋為1/2的三量子比特自旋鏈作為研究系統，將三比特系統的哈密頓量HE對角化，即可得到如下能譜：

E1=-4-h,

E2=-4+h,

E3=-3h,

E4=3h,

(4)

從三比特各向同性XY自旋鏈的等效哈密頓量能譜可看出，本征值E1-E4與λ無關，而能級E5-E8都是與λ相關的函數。也即當自旋鏈處于E5-E8之中的任一能級時，體系中將有能量流動。當λ=0時能級E5，E6及E7，E8是簡并的，即E5=E6，E7=E8。當λ≠0，即在自旋鏈中引入能流后，這種簡并現象將消除。

因此，可得與各能級對應的本征波函數如下：

(5)

3含能流各向同性XY自旋鏈在有限溫度下的熱糾纏

當系統處于有限溫度的熱平衡狀態時，量子態應表示為所有能量本征態分別按照與能級相關的概率混合而得到的混合態。該熱平衡態的密度矩陣可表為

(6)

采用多重熵積度量方案[31](multipleentropymeasures,MEMS)來度量糾纏。在MEMS糾纏度量方案中，純態的糾纏度可表為

…

(7)

MEMS定義混合態的糾纏度為

(8)

式中，Si(j)為純態的糾纏度Si。因此，式(6)所表示的混合態的糾纏度可寫作

(9)

利用式(9)，可以得出體系糾纏度與磁場強度h、拉氏乘子λ和溫度T之間的關系。

當λ=0時，隨著磁場強度取值的不同，糾纏度S隨溫度T的變化曲線如圖1。由等效哈密頓能譜可知，λ=0時，自旋鏈中沒有能量流動。當T=0時體系處于基態，此時h=2是相變點，這與文獻[23]的分析結果一致；當h<2時，熱糾纏S隨溫度T的增加而減小，且隨著磁場h的增加，熱糾纏S減小得越迅速；當h=0，T=0時，體系的熱糾纏有極大值，即Smax≈0.46；當h>2時，S隨T的增加而增加，并且隨著磁場的增大，熱糾纏增大得越迅速，并逐漸趨近于極大值Smax≈0.35。體系最小熱糾纏為溫度為零的情況。且當T=0時，隨著h的增加，最小糾纏將越來越趨近于0。

圖1　當λ=0，h取不同值時體系

(從左邊由上至下分別對應：實線為h=0，點線為h=2，短虛線為h=4，虛線為h=6)

，h取不同值時體系

(從左邊由上至下分別對應：實線為h=0，點線為h=2，短虛線為h=4，虛線為h=6)

，h取不同值時體系

(從左邊由下至上分別對應：實線為h=0，點線為h=0.5，短虛線為h=1，虛線為h=2，長虛線為h=3)

，h取不同值時體系

(從左邊由下至上分別對應：實線為h=0，點線為h=0.5，短虛線為h=1，虛線為h=2)

當磁場強度為零時，S在T=0時有最大值Smax≈0.69；當h>0時，熱糾纏的最大值為Smax≈0.92。此時熱糾纏隨溫度升高而降低，且磁場強度h越大，熱糾纏減小的越慢。

4結語

本文討論了當自旋鏈有能量流動時，體系的基態糾纏和有限溫度下的熱糾纏性質，分析了系統在橫磁場和能流影響下，各向同性XY自旋鏈熱糾纏的變化情況。采用文獻[24]提出的拉氏乘子法構建了能流算符及等效哈密頓量，并按照表征能量流的拉氏乘子的不同取值區間對熱糾纏特性做了詳細討論和理論分析。結果表明，自旋鏈中的能量流動會導致體系的熱糾纏增加。當基態處于非能流相時，體系的極大熱糾纏為0.46；而當基態躍變進入能流相之后，極大熱糾纏增加為0.92。值得注意的是，這也是三比特XY自旋鏈可能獲得的最大熱糾纏。理論分析還發現，基態由非能流相躍變到能流相時，會導致體系的熱糾纏增大。且當基態處于能流相時，橫磁場越大，體系的熱糾纏越大。而能流的增大，將導致體系更容易在較低溫度獲得較大糾纏。事實上，由于自旋鏈處于橫磁場中，如何進一步考慮磁場流，了解體系的基態糾纏和有限溫度下的熱糾纏性質，將是我們進一步要研究的內容。

參考文獻：

[1]EKERTAK.QuantumcryptographybasedonBell’stheorem[J].PhysRevLett, 1991, 67: 661-663.

[2]LIXH,DENGFG，ZHOUHY.Efficientquantumkeydistributionoveracollectivenoisechannel[J].PhysRevA, 2008, 78: 022321.

[3]LONGGL,LIUXS.Theoreticallyefficienthigh-capacityquantum-key-distributionscheme[J].PhysRevA, 2002, 65: 032302.

[4]LIUD,ZONGZC，MAW.High-capacityquantumsecretsharingwithhyperdensecodingassistedbyhyperentangledphotonPairs[J].IntJTheorPhys, 2013, 52: 2245-2254.

[5]BENNETTCH，WIESNERSJ.Communicationviaone-andtwo-particleoperatorsonEinstein-Podolsky-Rosenstates[J].PhysRevLett, 1992, 69: 2881-2884.

[6]DENGFG,LIXH,LICY,etal.QuantumsecuredirectcommunicationnetworkwithEinstein-Podolsky-Rosenpairs[J].PhysLettA, 2006, 359(5): 359-365.

[7]LONGGL,DENGFG,WANGC,etal.Quantumsecuredirectcommunicationanddeterministicsecurequantumcommunication[J].FrontPhysChina, 2007, 2(3): 251-272.

[8]LIUD,CHENJL，JIANGW.High-capacityquantumsecuredirectcommunicationwithsinglephotonsinbothpolarizationandspatial-modedegreesoffreedom[J].IntJTheorPhys, 2012, 51: 2923-2929.

[9]POURKARIMIM,RAHNAMAM,ROOHOLAMINIH.DecoherenceeffectonquantumcorrelationandentanglementinaTwo-qubitspinchain[J].InternationalJournalofTheoreticalPhysics, 2015, 54(4): 1085-1097.

[10]GONZALEZJC,ROVERSIJA.Decreaseofthedecayrateoftheentanglementofasystemoftwoentangledqubitsbyincreasingthetemperatureofthethermalbath[J].QuantumInformationProcessing, 2015, 14(4): 1377-1385.

[11]SHIJD,XUSM,WENC,etal.Purifyingtwo-qubitentanglementinnonidenticaldecoherencebyemployingweakmeasurements[J].QuantumInformationProcessing, 2015, 14(4): 1387-1397.

[12]GUEVARAI,VIVIESCASC.Averageentanglementdynamicsinopentwo-qubitsystemswithcontinuousmonitoring[J].PhysicalReview, 2014, 90(1): 012338.

[13]JAFARPOURM,ASHRAFPOURIF.Three-qubitprotocoltopurifygeneralizedwernerstates[J].InternationalJournalofTheoreticalPhysics, 2015, 54: 1689-1697

[14]EISLERV,RáCZZ,VANWIJLANGF[J].MagnetizationdistributioninthetransverseIsingchainwithenergyflux.PhysicalReview, 2003,E67: 056129.

[15]ALIZADEHS,SAFAIEER,GOLSHANM.Effectoftemperatureonphoton-photonentanglementinanonlinearnanocavity[J].PhysicaAstatisticalMechanicsandItsApplications. 2015, 428: 133-139.

[16]LILF,CAIRG,LIL.Entanglemententropyinaholographicp-wavesuperconductormodel[J].NuclearPhysicsB, 2015, 894: 15-28.

[17]DUKALSKIM,BLANTERYM.Tripartiteentanglementdynamicsinasystemofstronglydrivenqubits[J].JournalofPhysicsBatomicMolecularandOpticalPhysics, 2012, 45(24): 245504.

[18] ZHAO Y, GONG S S, WANG Y J, et al. Low-energy effective theory and two distinct critical phases in a spin-1/2 frustrated three-leg spin tube [J]. Physical Review, 2012, B86(22): 224406.

[19] LIU D, ZHANG Y, LIU YANG, et al. Entanglement in the ground state of an isotropic three-qubit transverse XY chain with energy current [J]. Chin Phys Lett, 2007, 24(1):8-10.

[20] TAN X D, HUANG S S, JIN B Q. New insights into quantum and classical correlations in XY spin models [J]. European Physical Journal B, 2012, 85(12): 411.

[21] ZENCHUK A I. Unitary invariant discord as a measures of bipartite quantum correlations in an N-qubit quantum system [J]. Quantum Information Processing, 2012, 11(6): 1551-1570.

[22] BRIDGEMAN J C, O'BRIEN A, BARTLETT S D, et al. Multiscale entanglement renormalization ansatz for spin chains with continuously varying criticality [J]. Physical Review, 2015, B91(16): 165129.

[23]劉丹, 宗子超, 鄧蕓. 橫磁場中各向同性XY鏈的基態糾纏研究[J]. 大連民族學院學報,2013, 15(3): 272-275.

[24] ANTAL T, RACZ Z, RAKOS A, et al. Isotropic transverse XY chain with energy and magnetization currents[J]. Physical Review, 1998, E57(5):5184-5189.

[25] ESKANDARI M R, REZAEE L. Thermal entanglement of two qubits with dipolar ordered initial state coupled to a spin chain in mq nmr system [J]. International Journal of Modern Physics B, 2012, 26(32): 1250184.

[26] HE X, HE J Z, ZHENG J. Thermal entangled quantum heat engine [J]. Physica Astatistical Mechanics and its Applications, 2012, 391(24): 6594-6600.

[27] HUANG X C, SI T Y, YANG Z H. Quantum entanglement investigation on impurity effects in the transverse Ising chain [J]. Physica Bcondensed Matter, 2015, 462: 25-29.

[28] GUO J L, WEI J L, QIN W, et al. Examining quantum correlations in the XY spin chain by local quantum uncertainty [J]. Quantum Information Processing, 2015, 14(4): 1429-1442.

[29] SADIEK G, ALKURTASS B, ALDOSSARY O. Entanglement in a time-dependent coupled XY spin chain in an external magnetic field [J]. Phusical Review, 2010, A82(5): 052337.

[30] ZHANG Y, WANG C, JIN G S. The ground-state entanglement in the spin-XX chain with a magnetization current [J]. Chinese Physics B, 2010, 19(11): 110308.

[31] LIU D, ZHAO X , LONG G L. Extremal entangled four-qubit pure states with respect to multiple entropy measures [J]. Communications in Theoretical Physics, 2008, 49: 329.

[32] ARNESEN M C, BOSE S, VEDRAL V. Natural thermal and magnetic entanglement in the 1D Heisenberg model[J]. Phys Rev Lett 2001, 87: 017901-1-4.

(責任編輯鄒永紅)

Thermal Entanglement under Finite Temperature of an Isotropic Transverse

XY Spin Chain with Energy Current

LIU Dan1, ZHANG Jin-yan2

(1.School of Physics and Materials Engineering, Dalian Minzu University, Dalian Liaoning 116605, China;

2.The Eighth Middle School of Anshan, Anshan Liaoning 114031, China)

Abstract:The energy current operator was built by Lagrange multiplier method in this paper. The multiple entropy measures were used to calculate both the entanglement under the zero temperature and the thermal entanglement under the finite temperature in the three-qubit system. According to the different interval of the Lagrange multiplier, the changes of thermal entanglement with temperature and magnetic field were analyzed. The energy spectrums were studied under the influence of the energy current in the isotropic transverse XY spin chain. The study found that When the energy current didn’t flow in the spin chain, the maximum value of entanglement in the spin chain was 0.46. When the Lagrange multiplier was greater than zero, the energy current began to flow in the spin chain. Those would make the thermal entanglement increase, and the maximum value could be up to 0.92. The flow of energy would increase the thermal entanglement of the system. When the system was in the energy current phase, the spin chain would have greater thermal entanglement with greater transverse magnetic field. The increase of the energy current would make the system obtain greater entanglement in lower temperature.

Key words:thermal entanglement; spin chain; energy current; transverse magnetic field

中圖分類號：O413.1

文獻標志碼：A

文章編號：2096-1383(2016)01-0056-06

作者簡介：劉丹(1979-)，女，湖南益陽人，副教授，博士，主要從事量子光學、量子信息與計算研究。

基金項目：中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(DC201502080402)；遼寧省教育廳科學研究一般項目(L2013505)。

收稿日期：2015-06-02；最后修回日期：2015-06-29