電阻抗成像正則化算法的優化

李冬曄，康 彬

(1．南京郵電大學 電子科學與工程學院，江蘇 南京 210003；2．南京郵電大學 信號處理與傳輸研究院，江蘇 南京 210003)

電阻抗成像正則化算法的優化

李冬曄1，康 彬2

(1．南京郵電大學 電子科學與工程學院，江蘇 南京 210003；2．南京郵電大學 信號處理與傳輸研究院，江蘇 南京 210003)

電阻抗成像技術是一種以人體內部電導率分布為成像目標的醫學成像技術。該技術具有非入侵、無損傷、實時成像、系統結構簡單、設備價格較低等優點。但其成像反問題的求解中存在嚴重的不適定性,和主流醫學成像技術相比，其成像分辨率不高。針對電阻抗成像中傳統Tikhonov正則化分辨率低及邊界模糊的問題，文中將歸一化測量電壓的總變差作為正則化函數，根據電阻抗圖像中非均勻的電導率具有稀疏性的特點，提出一種新穎的電阻抗成像的正則化優化算法。電導率分布的求解是通過兩步迭代閾值算法(TwIST)完成。通過對模擬域的不同部位及域內數量不等的成像目標進行仿真，測試了該算法的性能。計算機仿真結果表明，所研究的正則化優化算法適用于生物醫學成像應用，它可顯著改善成像質量和邊界分辨率。

電阻抗成像；正則化；反問題；兩步迭代閾值算法

0 引 言

電阻抗成像技術(Electrical Impedance Tomography，EIT)是一種以人體內部電導率分布為成像目標的醫學成像技術[1-2]。通過附著在皮膚表面的電極將較小的安全交流電流注入人體，并測量電極上的對應電壓，利用相應的算法得到人體內部電阻率的分布。EIT技術能在病理變化的初期和恢復期檢測到身體組織的阻抗分布變化，這有助于提早發現疾病，且對人體無害，可反復使用。但和主流醫學成像技術相比,電阻抗成像技術的圖像分辨率較低[3-4]。

理論分析和實踐計算表明,EIT圖像重建問題是一個非線性病態問題，解存在嚴重不穩定性(微小誤差即能引發解的大幅波動)[5]。為了解決此病態性問題，在EIT圖像重構中要采用正則化算法來改善其病態性，以得到穩定的解。目前廣泛使用的是Tikhonov正則化算法，該算法通過構造2范數形式的正則函數來實現圖像重構，其作用機理相當于空間濾波器[6]，通過對所重構的圖像進行一定程度的平滑而使重構過程趨于穩定。此方法的不足在于圖像重構過程會喪失一定的邊界信息，使圖像的目標區域與背景區域之間的邊界難以準確區分。

隨著壓縮傳感理論的發展，稀疏重建在信號恢復及圖像重構領域受到了很大程度的關注。Tropp等將稀疏解引入到線性反問題的求解中[7]，Bredies等利用稀疏性求解閾值迭代中的最小化問題[8]。受此啟發，文中針對傳統Tikhonov正則化圖像分辨率低及邊界模糊的問題，提出一種基于全變差的正則化優化模型。此算法能充分利用電導率分布具有稀疏先驗性這一特征。所提出的優化模型可通過兩步迭代閾值算法(TwIST)，進行求解，實現圖像重構。

1 EIT系統基本工作原理

EIT場域內的電位分布φ與電導率分布σ滿足拉普拉斯方程[9]。如果將場域剖分成有限個離散單元，且認為每個單元上的電導率是常數，則每個單元上的靈敏度方程都為線性方程，用矩陣表示如下：

g=Sc

(1)

其中：g為邊界電壓變化向量；c為離散的電導率向量；S為靈敏度矩陣(即雅可比矩陣)。

這樣非線性問題就被簡化成為線性問題，滿足了大多數電導率變化不大的場合。由于實際每個剖分單元的電導率分布并不均勻，且式(1)待求解的方程中未知量個數遠大于方程的個數，導致問題欠定，再則測量誤差所引起的微小擾動將導致圖像的解產生很大變化。所以求解過程不穩定，解析解難以直接得到。一般根據測量電極電壓和用有限元模型正向計算得到的電壓構造一個平方誤差泛函，利用最小二乘法構造一系列方程組，從而得到反問題的解。

2 正則化算法

傳統消除解不定性的方法是采用Tikhonov正則化。此方法的原理是尋找一個由先驗信息約束的穩定的解集，然后在從中選擇一個解，這是一種應用最普遍的解決病態反問題的方法，已廣泛應用于EIT圖像重建[6,10]。其基本思想即優化下述最小化目標函數：

(2)

式中：μ為正則化因子；Φ(c)為正則化函數，一般情況下Φ(c)采用2范數形式。

式(2)的意義在于求解的過程中使得偏差最小化的同時，又能使估計解與真實解保持足夠的接近。該算法最大的不足為重構圖像的邊界模糊。

2.1 基于全變差的正則化優化模型

為了有效提高圖像的重構精度，文中提出了一種基于全變差的正則化優化模型。全變差(TV)正則化法是1992年由Rudin等首次提出的一種正則化優化方法[11]。由于這一方法能在圖像重構時較完整保留圖像的邊界信息，因此它已廣泛應用于圖像去噪等領域[11]。

將TV正則化方法應用于EIT圖像重建[12]是采用歸一化測量電壓的總變差作為正則化函數。其最小化目標函數表示為：

(3)

(4)

(5)

式(3)的求解將直接關系到圖像重構的精度。為了保證重構圖像的魯棒性，文中采用兩步閾值迭代法求解式(3)的最小化問題。

2.2 兩步迭代閾值法(TwIST)

兩步迭代閾值算法[14](Two-Step Iterative Shrinkage/Thresholding algorithm)結合了閾值迭代收縮算法(IST)和迭代加權收縮算法(IRS)的優點。根據IST算法，尋找最優化的ct的表達式為：

ct+1=(1-β)ct+βΨ(ct+ST(g-Sct))

(6)

其中：S是靈敏系數矩陣(即雅可布矩陣)；g是邊界電壓變化向量；ct為前一次迭代得到的離散電導率向量；Ψ為去噪函數[13]。

將IRS算法的迭代公式記為ct+1=solution{Atc=b}，At=λDt+STS，b=STg。Dt由ct和總變差函數Φ決定，是一個非負的對角陣。假設線性方程Ax=b，A為非負矩陣，則A可分解為A=C-R，C為易求逆的非負矩陣，則解可定義為：

x1=x0+β0C-1(b-Ax0)

xt+1=(1-α)xt-1+αxt+βC-1(b-Axt)

(7)

其中，α，β，β0都是算法的參數。

TwIST算法結合了IST算法良好的去噪性能及IRS算法處理嚴重病態性矩陣的有效性。

令C=I+λDt，R=I-STS，則A=λDt+STS。式(8)關于線性方程組Atc=STg的兩步迭代解為：

ct+1=(1-α)ct-1+(α-β)ct+βC-1(ct+ST(g-Sct))

(8)

將α置為1，用去噪函數Ψ代替矩陣C-1，即可得到TwIST的解：

c1=Γ(0)

(9)

ct+1=(1-α)ct-1+(α-β)ct+βΓ(ct)

(10)

Γ(c)=Ψ(c+ST(g-Sc))

(11)

(12)

3 仿真對比實驗

為了驗證上述算法的有效性，采用Matlab和EIDORS系統[15-16]建立如圖1所示的模型。建立半徑為15的圓形求解區域，調用有限元剖分軟件QMG。考慮到計算精度及收斂時間，在電流注入的邊界，這些場值較強的地方，三角剖分比較密集，而中間場值變化平緩的區域，三角剖分相對稀疏。三角剖分得到279個節點，492個單元。

圖1 有限元剖分圖

實驗采用16電極，全電極相鄰激勵模式。成像個數分別設置為一個、兩個與三個，成像位置分別設置在邊界區域、中心區域。將成像目標的電導率設為0.005S/m，圓域背景電導率設為0.002 5S/m，給邊界電壓設置40dB的噪聲。詳細的仿真結果如圖2所示。

將兩種正則化算法的重建圖像與設定的電導率分布情況進行比較，可以看出兩種重建算法均能夠對仿真模型設定的目標區域實現重建，但重建的質量卻不盡相同：TwIST算法所得到的重建圖像能夠較好地確定目標區域的位置、大小和形狀，且目標區域與背景的邊界清晰，圖像分辨能力強；而Tihonov正則化算法得到的重建圖像目標區域明顯偏大，邊界模糊不清，偽影較多。

圖2 仿真模型及成像效果比較

上述對比說明，采用TwIST算法后，重建圖像目標區域電阻率與背景區域的區別明顯提高，向目標區域的收斂集中程度進一步增強，反映出了TwIST算法較常規的Tikhonov正則化技術有更佳的重建能力。

4 結束語

在生物醫學應用中的電阻抗成像技術中，由于其常規的Tikhonov正則化重建算法偏重于解決穩定性問題，犧牲了成像邊界的分辨率，使得重建圖像與真實情況有較大差別。文中運用了TwIST算法對EIT正則化問題進行優化，重建結果表明該方法是有效的。與傳統Tikhonov正則化算法相比，該算法具有較好的分辨能力，能有效地將目標區域的電導率與背景區域區分開，所獲得的重建圖像質量有了一定的提高。利用稀疏性特征的兩步迭代閾值算法(TwIST)對后續EIT技術的研究提供了一種新思路。

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Optimization of Electrical Impedance Tomography Regularization Algorithm

LI Dong-ye1，KANG Bin2

(1.Institute of Electronic Science and Engineering，Nanjing University of Posts & Telecommunications,Nanjing 210003,China；2.Institute of Signal Processing and Transmission,Nanjing University of Posts & Telecommunications,Nanjing 210003,China)

Electrical Impedance Technology (EIT) is a kind of medical imaging technology taking the human’s conductivity distribution as the target.There are lots of advantages belonged to this technique such as non-invasive,no damage,real-time imaging,simple system structure and lower price.But there are still serious ill-posed in solving its inverse problem.So compared with the mainstream medical imaging technology,its imaging resolution is not good.Aiming at solving the low resolution and blurry boundaries in electrical impedance tomography where the traditional Tikhonov regularization is used,a new optimization regularization algorithm is proposed in this paper.It takes the total variation of the normalized measured voltage as the regularization function and takes account of the inhomogeneous conductivity’s sparse characteristics in electrical impedance image.The Two-step Iterative Shrinkage/Threshold (TwIST) algorithm is considered to solve the conductivity distribution.The performance of this new algorithm is tested through the different parts and different numbers of imaging targets in the analog domain.The simulation shows that the studied regularization algorithm for biomedical imaging application can significantly improve the image quality and boundary resolution.

electrical impedance tomography;regularization;inverse problem;two-step iterative shrinkage/thresholding algorithms

2015-06-18

2015-09-23

時間：2016-04-04

國家自然科學基金資助項目(60671065)

李冬曄(1991-)，女，碩士研究生，研究方向為電磁計算、生物電阻抗成像。

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20160505.0815.034.html

TP301.6

A

1673-629X(2016)05-0188-03

10.3969/j.issn.1673-629X.2016.05.041