軸系過盈聯接面形狀誤差的映射關系研究*

張鵬飛，王德倫，王　智

(大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連　116024)

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軸系過盈聯接面形狀誤差的映射關系研究*

張鵬飛，王德倫，王智

(大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連116024)

摘要：過盈聯接是軸系零件之間一種常見的配合形式。以軸系中軸與軸套的過盈聯接結構為對象，通過多個截面的誤差測試與曲面擬合描述過盈聯接面的形狀誤差，將形狀誤差等效為零件表面離散節點的實際位置相對于理想位置的偏移，采用有限元節點偏移構造實際軸與軸套過盈聯接結構的有限元接觸模型，分析配合面過盈量、形狀誤差以及裝配狀態等對軸套外圓柱面幾何特征的影響，建立過盈聯接結構形狀誤差的映射與傳遞關系，為軸系精度分析、軸系零件選配以及裝配工藝參數選擇提供基礎。

關鍵詞：過盈聯接；形狀誤差；有限元；誤差映射

0引言

過盈聯接是機械工程中一種常見且不可或缺的結構聯接形式，通常用作周向定位和傳遞扭矩。對于機床和精密類儀器儀表等，精度是機器性能的重要指標，機器的精度直接決定了機器的價值。由于零件的制造誤差及彈性變形，過盈聯接面在傳遞扭矩的同時，也傳遞了零件的幾何誤差特征，影響了系統的精度。研究過盈聯接面形狀誤差的映射關系，對軸系精度分析與設計具有重要意義。

國內有很多針對過盈聯接的研究。文獻[1-3]對過盈聯接的應力分布進行分析，沒有進一步對過盈聯接中變形進行分析；陳道禮[4]利用接觸單元和等效溫度載荷模擬孔與軸的過盈聯接，對零件的應力集中進行了分析，但該方法不能模擬零件的形狀誤差。楊新平[5]利用有限元研究了不同形狀誤差下圓柱過盈聯接表面的應力分布，但沒有對形狀誤差的映射進行分析。潘旭輝[6]利用有限元研究了單一截面中軸與軸套的形狀誤差映射關系，沒有建立配合面形狀誤差的空間表示方法及有限元模型中的表示方法。

本文以軸與軸套的過盈聯接結構為對象，以零件分截面誤差測量數據為基礎，通過曲線與曲面擬合構造出含形狀誤差的配合面，然后建立過盈聯接的有限元接觸模型，采用節點偏移的方法模擬零件配合面的形狀誤差，研究在不同過盈量、不同誤差形狀以及不同裝配狀態下軸與軸套過盈聯接時的誤差映射關系。

1零件形狀誤差及其描述

由于制造誤差的存在，加工后零件表面的實際形狀會與其理想形狀存在偏差，即零件形狀誤差。在過盈聯接結構中，零件表面的形狀誤差通過過盈聯接面映射傳遞到另一零件上，而使其產生變形，進而影響零件的精度。研究過盈聯接結構的配合表面形狀誤差映射關系，首先要正確的描述配合表面的實際輪廓形狀。

軸系零件的過盈聯接面一般為圓柱面。圓柱面的形狀誤差為零件實際圓柱面與理想圓柱面之間的偏差，故實際圓柱面可以表示為理想圓柱面與形狀誤差特征的疊加[7]，其方程如下：

S:r(θ,z)=r0(θ,z)+rμ(θ,z)

(1)

其中，r0(θ,z)表示理想圓柱面的矢量方程，rμ(θ,z)表示圓柱面形狀誤差特征矢量方程，θ、z為曲面參數。

圓柱表面誤差的測量[8]一般是通過測量圓柱若干截面的真實輪廓，再通過曲線與曲面擬合得到近似的真實表面。對于不同的z0值，方程S:r(θ,z0)表示實際軸不同位置的截面輪廓，截面輪廓可采用傅立葉級數擬合方程表示[9]。

r(θ,z0):r=

(2)

截面輪廓半徑r為位置角θ的函數。方程中，r0為截面理想圓的半徑，δ為截面實際輪廓的尺寸偏差，n為諧波階數，與an、bn、ω均為截面輪廓的擬合參數，其值綜合反映了截面輪廓的圓度誤差。以所有被測截面的輪廓曲線數據為基礎，通過曲面擬合得到實際零件表面輪廓。因此，方程(1)既可以描述圓柱面的形狀誤差也可以描述圓柱面的尺寸偏差。

以軸與軸套的過盈聯接結構為例，首先對軸的外圓柱實際輪廓面進行測量。取不同z值的軸截面測量其實際輪廓，提取各測點的誤差數據，以式(2)中傅里葉級數擬合方程擬合各截面形狀曲線，再通過曲面擬合得到圓柱面實際輪廓，如圖1a，表示軸外圓柱面的擬合輪廓；圖1b為軸中心截面的擬合輪廓曲線。

圖1　圓柱面的曲面擬合及截面的曲線擬合

2過盈聯接的有限元建模

利用ANSYS軟件進行有限元分析時，分析模型的形狀一般為零件的理想形狀，模型的尺寸為零件的公稱尺寸，即忽略了零件幾何誤差對分析結果的影響。節點偏移法是在有限元模型中對節點進行操作的一種方法，通過強制偏移零件表面節點的坐標位置來模擬零件的形狀誤差或尺寸偏差。根據上述形狀誤差的描述方法，在有限元模型中實現零件實際表面輪廓與節點坐標一一對應關系，模擬零件的形狀誤差和尺寸偏差，進而分析過盈聯接的形狀誤差映射。

本文以空心軸與軸套過盈聯接結構為例，研究過盈聯接面形狀誤差的映射關系，軸與軸套的基本結構參數如表1、表2所示。

表1　軸的基本結構參數 (單位:mm)

表2　軸套的基本結構參數 (單位:mm)

使用ANSYS的ApDL語言[10]完成有限元的建模過程。單元類型選用八節點單元Solid185，六面體掃略法劃分網格，網格徑向尺寸為1mm，周向尺寸為2°。通過節點偏移法模擬零件的形狀誤差和過盈量。過盈聯接是一種典型的非線性接觸問題，定義接觸類型為面-面接觸，接觸單元選3D 8節點面-面元CONTA174，目標單元選擇3D目標單元TARGE170。軸的外圓柱面為接觸面，軸套內孔面為目標面。軸與軸套配合過盈量為0.02mm時，有限元的網格劃分及計算結果變形云圖如圖2所示。

圖2　有限元模型網格劃分及計算結果

彈性力學中過盈配合厚壁圓筒過盈配合理論計算公式[11]有軸外半徑的徑向位移：

(3)

軸套內半徑的徑向位移：

(4)

過盈配合的壓力：

(5)

其中，δ0為配合的過盈量，r1為軸的內半徑，r2為配合表面半徑，r3為軸套外半徑；E為材料的彈性模量，λ為材料的泊松比。

改變軸與軸套配合的過盈量，分別用有限元及過盈配合理論公式計算軸套內孔面中間截面的變形并對結果進行比較如表3。由表可知，有限元計算結果與理論結果近似一致(誤差<2%)，故可用該有限元建模方法模擬零件之間的過盈。

表3　理論計算值與有限元計算值對比(單位:μm)

3圓柱度誤差評價與計算

圓柱度誤差是指實際被測圓柱面對其理想圓柱面的變動量，其誤差評定為使被測實際要素相對于理想要素的最大變動量為最小。圓柱度誤差評定主要依賴于擬合圓柱軸線的位置選取，根據軸線位置確定兩個同心包容圓柱，兩個同心圓柱的半徑差就是圓柱度誤差值。圓柱度誤差評定方法[12]主要有：最小區域法、最小二乘法、最小外接圓柱法、最大內切圓柱法等。

本文采用最小二乘法評定圓柱度誤差。該方法是要找到一圓柱面，使實際被測圓柱面上各點至該圓柱面距離的平方和為最小，則此圓柱面即為最小二乘圓柱面。設最小二乘圓柱面的軸線L方程為：

(6)

參數(a,b,c,m,n,k)決定了軸線的位置和方向。設圓柱實際表面的各測點坐標為pi(xi,yi,zi)，則測點pi到最小二乘圓軸線L的距離為：

(7)

根據最小二乘法的定義 ，目標優化函數為：

(8)

其中，r0為最小二乘圓柱面的半徑值。該優化問題屬于求解無約束條件非線性極小值，優化參數為(a,b,c,m,n,k)，可使用Matlab優化工具箱函數進行優化求解[13]。

被測圓柱面的圓柱度誤差為距最小二乘圓柱面軸線最遠點與最近點的距離差。

4形狀誤差與映射誤差之間的關系

研究不同過盈量、不同形狀的誤差軸與軸套的配合以及二者在不同配合狀態下，軸套外圓柱面的映射誤差與源誤差之間的關系。由于文章篇幅所限，在此只討論幾種典型形狀的誤差軸與軸套的過盈聯接。

4.1過盈量與映射誤差之間的關系

過盈聯接是軸系零件配合中一種常見的聯接方式。過盈本質上為配合面的實際尺寸相對其理想尺寸的偏差。以無形狀誤差的軸與軸套過盈聯接結構為例研究過盈量與映射誤差之間的關系，取配合后軸套外圓柱面節點的位移數據進行分析。

圖3　軸套外圓柱面半徑變化量與過盈量之間的關系

計算結果表明不同過盈量的過盈配合，軸套外圓柱面的圓柱度誤差均為0，但其半徑變化量隨過盈量改變，變化關系如圖3。由圖中可知，外圓柱面的半徑變化量隨過盈量的增大而增大，且呈線性變化關系。過盈聯接面對軸套外圓柱面的映射誤差表現為其半徑的變化量。

考古發現古閘下游中間部分為跌水消能，綜合對中孔閘墩上 “開平閘”石刻的分析，“永嘉水則”有另一用途：“水則”不僅規定了相應水位開閉閘門，同時也是蓄放水時開閉閘門順序的規則，即現代所謂的閘門操作規程。開啟水閘時先開中孔再開邊孔，關閉水閘時先關邊孔后關中孔，以避免對下游兩岸岸坡的沖刷。可見，“永嘉水則”的先進技術與現今水閘操作規程完全吻合，古人已熟練掌握了水閘運行管理技術，對防洪排澇調度和閘門啟閉操作都有較深的研究。

定義誤差映射系數

(9)

其中，δ為被映射零件的映射誤差，δ0為源誤差零件的誤差。誤差映射系數描述映射誤差與源誤差之間的大小關系，反映配合面的誤差映射程度。對于無形狀誤差的軸與軸套的過盈配合，誤差映射系數可表示為軸套外圓柱面半徑變化量與過盈量的比值。

由于軸套外圓柱面半徑變化量與過盈量呈線性變化關系，故不同過盈量下的映射誤差系數均為k0=0.7028。

4.2鼓形、錐形誤差軸的形狀誤差映射分析

軸類零件在加工時由于機床或零件剛度不足，會使加工后的軸帶有鼓形誤差或錐形誤差[14]，圖4為鼓形誤差軸和錐形誤差軸的軸截面形狀。

圖4　誤差軸截面形狀

誤差軸與軸套配合時，軸外圓柱面的形狀誤差通過過盈聯接面映射傳遞到軸套使其形狀發生改變。圖5為配合后軸套的有限元變形云圖，從圖中可知，軸套與鼓形軸配合后，軸套中部區域變形較其兩端區域變形大，軸套變形呈鼓形；軸套與錐形軸配合后，軸套一端區域變形較大而另一端區域變形較小，軸套變形呈錐形。即在過盈聯接結構中，映射誤差與源誤差具有同樣的形狀，過盈聯接面對誤差有復映的效果。

圖5　軸套有限元計算云圖

取鼓形軸與軸套配合的有限元計算結果進一步分析，軸套軸截面各點處映射誤差與源誤差之間的關系如圖6，計算各點處的誤差映射系數如圖7。可知鼓形誤差軸與軸套配合結構的邊緣處軸套外圓柱面的誤差映射系數最大，k=1.213，即映射誤差較源誤差大；配合中間區域的誤差映射系數近似相等，且k<1。

圖6　軸套軸截面映射誤差與源誤差之間的關系

圖7　誤差映射系數與軸套節點位置的關系

4.3棱圓誤差軸的形狀誤差映射分析

圖8　三棱圓、四棱圓示意圖

對有限元計算結果提取軸套外圓柱面節點位移，并按上述最小二乘法計算外圓柱面的圓柱度誤差，計算結果如圖9。

可知不同棱數的誤差軸與軸套配合，軸套外圓柱面的圓柱度誤差不同，過盈聯接面對外圓柱面的映射誤差表現為其圓柱度誤差。誤差軸形狀誤差值相同時(分析中軸的形狀誤差值為0.04mm)，誤差軸的棱數越多，軸套外圓柱面的圓柱度誤差越小。誤差映射系數可表示為軸套外圓柱面的圓柱度誤差與軸圓柱度誤差的比值。當棱數多于20時，軸套外圓柱面的圓柱度誤差變得很小，對應的誤差映射系數也極小，故可認為誤差軸對軸套外圓柱面沒有形狀誤差的映射。

圖9　軸套映射誤差與誤差軸形狀之間的關系

當軸外圓柱面與軸套內孔面均存在形狀誤差時，二者配合的相對位置不同，對外圓柱面的映射誤差也不同。以三棱圓形誤差軸(形狀誤差為0.05mm)與內孔面為三棱圓形(形狀誤差為0.02mm)軸套過盈聯接結構為例，研究不同配合角度下，軸套外圓柱面的映射誤差之間的關系。圖10為二者配合時棱邊夾角分別為0°、30° 、60°以及90°時外圓柱面的形狀誤差。

圖10　不同配合夾角的誤差映射

從圖中可知，不同的配合角度，軸套外圓柱面的形狀誤差也不相同。從圖中曲線的波峰(谷)數可知，不同配合角度下軸套外圓柱面均被映射為三棱圓柱形，但形狀誤差值不同。當配合夾角為0°時，外圓柱面的形狀誤差值最小，配合夾角為60°時，外圓柱面的形狀誤差最大，即合理的裝配方法可以對軸外圓柱面與軸套內孔面的形狀誤差起到誤差均化的作用。在實際裝配過程中，可通過調整軸與軸套的配合夾角而使軸套外圓柱面的映射誤差達到最小。

5結論

基于所建立的軸與軸套過盈聯接結構的有限元模型，對不同過盈量、誤差形狀以及裝配狀態下的誤差映射關系進行了研究，結果表明：

(1)通過有限元節點偏移法模擬零件的過盈配合，計算配合面的變形量與過盈配合理論計算公式計算結果近似一致(誤差≤2%)，證明可用此方法分析零件之間的過盈配合。

(2)棱圓形誤差軸與軸套配合時，棱數越多，軸套外圓柱面的映射誤差越小，當n超過20時可認為對外圓柱面無形狀誤差的映射。

(3)合理的裝配方法可以起到誤差均化的效果。即在軸與軸套的實際裝配過程中，可通過調整軸與軸套的配合夾角而使軸套外圓柱面的映射誤差達到最小。

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(編輯李秀敏)

Research on Geometrical Error Mapping of Interference Fit in Spindle System

ZHANG peng-fei，WANG De-lun，WANG Zhi

(School of Mechanical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian Liaoning 116024, China)

Abstract：Interference connection is a common type of parts fitting in spindle system. Taking the shaft and the sleeve interference coupling structure as objects, we made the shape error equivalent to the offset of the nodes which is relative to the ideal position, through the description of geometrical error for interference surface with the error test of multi-faces and surface fitting. The node-offset of FEM was applied to build the finite element contacting model which combines actual shaft and sleeve interference coupling structure, while the effect of geometrical error of fitting surfaces and interference quality on the geometrical characteristics of the sleeve surface was analyzed. In addition, the mapping and transitive relationship of geometrical errors for interference structure was also built. All these work provided based references for spindle accuracy analysis, and the selection of shafting parts and assembling process parameters.

Key words：interference coupling; geometrical error; the finite element; error mapping

中圖分類號：TH162;TG506

文獻標識碼：A

作者簡介：張鵬飛(1989—)，男，山東臨沂人，大連理工大學碩士研究生，研究方向為機床支承件結構優化設計及精度設計，(E-mail)zhangthen@126.com。

*基金項目：國家自然科學基金資助項目(51275067)

收稿日期：2015-03-30；修回日期：2015-04-16

文章編號：1001-2265(2016)01-0101-04

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.01.028