可調磁力減振鏜桿動力學模型參數優化

趙　康，羅紅波，李　偉

(四川大學 制造科學與工程學院，成都　610065)

?

可調磁力減振鏜桿動力學模型參數優化

趙康，羅紅波，李偉

(四川大學 制造科學與工程學院，成都610065)

摘要：針對內置式動力減振鏜桿因阻尼液在振動情況下易泄露和橡膠圈易疲勞失效而降低減振性能的問題，提出一種新型的可調磁力減振鏜桿。通過建立可調磁力減振鏜桿的動力學模型，得到一個二自由度的系統，在建立動力學模型運動微分方程后，采用效率較高的分支定界搜索法來優化函數，得到相對振幅的理論最小值和優化參數。由于減振鏜桿工作在一個較寬的頻域范圍，還需利用幅頻響應曲線在外界激振力頻率變化范圍內平均值最大值取得最小來修正優化參數。最后通過與同尺寸的內置式單減振鏜桿在頻域內的幅頻特性曲線對比，前者更小的振幅說明可調磁力減振鏜桿具有更好的減振性能。

關鍵詞：磁力減振鏜桿；動力學模型；參數優化；性能分析

0引言

鏜削加工大深孔時，為了減小鏜桿的顫振，提高鏜桿的加工精度，目前已有很多內置式動力單減振、雙減振鏜桿的研究，均有一定的減振效果[1-2]。但是這類內置阻尼液和彈性元件橡膠圈減振鏜桿，因阻尼液在振動情況下易泄露,設計阻尼值易被破壞和彈性橡膠圈易疲勞老化易被腐蝕等缺陷，導致減振的長久性和穩定性得不到保證，所以這里提出采用利用電磁場提供的剛度阻尼替代橡膠圈和阻尼液，從而克服這類內置式減振鏜桿的不足[3]。

磁力減振鏜桿由兩部分組成，一是機械系統，二是控制系統。磁力減振鏜桿的機械結構主要由鏜桿體、刀頭和減振系統組成。如磁力減振鏜桿的結構示意圖1所示，磁力減振鏜桿的減振系統是由一個減振塊4和減振塊兩端的鐵芯7、電磁鐵6、保護橡膠圈8和限位橡膠圈5組成。其中保護橡膠圈在鏜桿工作過程中不起支撐作用，而是由電磁鐵產生的磁場對減振塊產生剛度阻尼作用，橡膠圈只是在電磁鐵未通電即鏜桿停止工作時或電磁鐵工作產生異常情況下對減振塊起保護作用；為了簡化鏜桿結構和控制，減振塊軸向運動沒有加以電磁鐵控制，因為軸向振動對鏜削加工精度影響小，軸向振幅也不大，因此用限位橡膠圈限制減振塊的軸向位移是可行的。鏜桿鏜削加工時，減振塊鐵芯受到電磁鐵的電磁吸力，通過電磁鐵控制系統使減振塊懸浮在平衡位置，代替橡膠圈支撐減振塊，同時電磁場對減振塊的電磁吸力作用可以等效為橡膠圈和阻尼液的剛度阻尼作用。只要結構參數和控制參數設置得當，就可以使鏜桿具有很好的減振性能。

1.刀頭 2.堵 3.保護橡膠圈 4.減振塊 5.限位橡膠圈 6.電磁鐵 7.減振塊鐵芯 8.墊片 9.鏜桿體

圖1磁力減振鏜桿結構示意圖

1可調磁力減振鏜桿的動力學模型

選取磁力減振鏜桿的刀尖作為研究對象，鏜桿桿體的質量等效為一質量塊，用m1表示，減振塊用等效質量塊m2表示，研究點刀尖的剛度等效為一彈簧，剛度系數為k1，磁場對減振塊產生剛度、阻尼分別等效為k2、c2。這樣就可以簡化出磁力減振鏜桿的動力學模型，如圖2所示。

圖2　磁力減振鏜桿等效動力學模型

由圖2可知，磁力減振鏜桿由兩個系統組成，主系統m1、k1和減振塊系統m2、k2組成。主系統在外界激振力的作用下就會產生振動，而減振塊系統由于動力作用可以減小或消除振動。這是一個二自由度的系統，其自由振動是由兩種不同頻率的簡諧運動復合而成。這兩個頻率只取決于系統的彈性和慣性特性。系統在受到外界激振做強迫振動時，如果激振力的頻率與系統的固有頻率接近時就會發生強烈的振動。

當質量塊上受到外界激勵時，系統就不是二自由度系統的自由振動了。鏜桿在鏜削加工時，刀尖受到切削力的作用，此時系統是一個受迫振動狀態。假設作用在質量塊m1上的力為F1sin(wt),其中F1不為零，則圖2所示的動力學模型運動微分方程可寫為：

(1)

其中

由穩態振動疊加而成，系統的穩態響應與激振力頻率相同，但由于系統阻尼的存在，使得響應和激振之間存在相位角差，設方程(1)的解為：

(2)

由式(1)、(2)可解得未知數B1C、B1S、B2C、B2S，因此系統的振動方程可寫為：

(3)

式中：

φ1=tan-1-B1C/B1S；φ2=tan-1-B2C/B2S

由式(3)可知，系統的響應不僅取決于外界激振力的大小，激振力的頻率對系統的響應也有很大的影響。當激振頻率與任一固有頻率相接近時，振幅將趨近于無窮大，即產生共振。

減振鏜桿在鏜削加工時，最需要關注的是鏜桿刀尖的振幅值，此振動振幅值越小，減振鏜桿的減振性能越好。因此要求解主質量的振幅x1。由式(3)可知，只要求得B1即可知道主系統的振幅。

令：

α=ω1/ω2(α為質量塊2的固有頻率與質量塊1的固有頻率之比)

μ=ω1/ω2(μ為質量塊2與質量塊1的質量之比)

ζ1=c1/2m1ω1(c1為質量塊1受到的阻尼)

ζ2=c2/2m2ω1(c2為質量塊2受到的阻尼)

λ=ω/ω1(λ為外界激振力頻率與質量塊1固有頻率之比)

B0=F1/K1(B0為外界激振力幅值與質量塊1剛度之比，稱為靜位移)

并作如下代換[4]：

g=2λζ2

h=α2-λ2

p=λ4+(-1-α2-4ζ1ζ2-μα2)λ2+α2

q=(-2ζ2-2ζ1-2μζ2)λ3+(2ζ2+2α2ζ1)λ

根據運動微分方程(1)，可得減振鏜桿主系統的相對幅值為：

(4)

從上式可以看出，相對幅值S的含義是減振鏜桿刀尖在受到外界激振力時產生的振動幅值與刀尖受到與外界激振力幅值相等的靜力作用下產生的靜變形的比值。相對幅值可以表征刀尖在外界激振力的作用下振動幅值的大小，對于減振鏜桿而言，總是希望此值越小越好。要得到減振性能好的鏜桿，需要使減振鏜桿主系統的相對幅值S在滿足實際約束條件時取得最小值。由減振鏜桿主系統的相對幅值S表達式(4)可知，S與α、μ、ζ1、ζ2、λ這五個變量有關，求解S的最大值最小，即是求解這五個變量在一約束條件下的極大值問題。

2磁力減振鏜桿動力學模型的參數優化

磁力減振鏜桿系統動力學模型的參數優化問題可描述為：在給定變量α、μ、ζ1、ζ2的范圍內進行尋優，使得目標函數即減振鏜桿主質量的最大相對幅值最小。將其描述為數學模型為：

目標變量：α、μ、ζ1、ζ2；

優化目標：優化函數的最大值最小；

約束條件：0.6≤α≤1.5，0.025≤μ≤0.5，0.1≤ζ1≤1.0，0.1≤ζ2≤1.0。

約束條件是根據減振鏜桿的實際條件進行設置的，如果不加以約束，得到的優化值可能是最優的，但是如果按照這樣的優化參數值進行鏜桿設計很可能不符合實際，例如得到的參數值為負值，或者得到的參數值使減振鏜桿無法裝配等。

從此優化數學模型可以看出，優化函數S不是顯示表達，因此傳統的拉格朗日乘數法、擬牛頓法等求解極值方法無法進行求解。針對此二自由度系統的優化采用效率比較高的分支定界搜索法(branch and bound)[5]來優化函數。數學軟件Maple工具箱中有十分成熟的分支定界算法優化工具，可以自用它進行優化求解。在Maple中編寫好程序后，可以很快計算出優化參數。其中一組優化參數為：

α=0.79,μ=0.20,ζ1=0.09,ζ2=0.20

(5)

此時幅頻響應曲線如圖3所示，由圖3可知，當時ζ2=0.707，最大相對幅值為2.311。由于減振鏜桿的工作是在一個比較寬的頻域范圍，所以不能以某一頻率點的減振性能來代替頻率帶內的減振性能。因此對于此優化參數進行寬頻范圍內的減振評估，通常利用幅頻響應曲線在外界激振力頻率變化范圍內平均值最大值取得最小來修正優化參數。連續函數的平均值公式為：

(6)

圖3　優化參數時的幅頻響應曲線

令α、μ為定值，將ζ1、ζ2作為變量進行微調修正。從圖3可以看出系統的幅在λ=0.1~2的時候變化比較大，所以計算平均值的積分范圍設為(0.1,2)。將α=0.79、μ=0.20、ζ1=0.09、ζ2=0.20代入相對幅值函數(4)中，則優化目標函數為：

(7)

在Maple[6]中編寫好優化程序計算得到修正后的參數為：

α=0.79,μ=0.20,ζ1=0.09,ζ2=0.23

(8)

由此可得到修正后的幅頻響應曲線，將減振鏜桿的理論最優曲線和修正曲線畫在同一坐標系下，如圖4所示。

由圖4可知，當時λ=0.73，修正幅頻響應曲線的最大相對幅值為2.327。經計算得到優化幅頻響應曲線和修正幅頻響應曲線的平均值和最大值如表1所示。

圖4　修正幅頻響應曲線1與理論最優幅頻響應曲線2

α、μ、ζ1、ζ2SSmax修正曲線0.79,0.20,0.09,0.230.9434172.327理論最優曲線0.79,0.20,0.091,0.200.9439672.311

由表1可以看出優化幅頻響應曲線和修正幅頻響應曲線的平均值和最大值相差都不大，但是從圖4可知，當λ=1優化幅頻響應曲線相對幅值比修正幅頻響應曲線相對幅值大，而λ=1正是引起共振的頻率點，應該使此時的相對幅值盡可能小。因此，最終減振鏜桿的參數磁力減振鏜桿的優化參數為修正幅頻響應曲線對應的參數α=0.79,μ=0.20,ζ1=0.09,ζ2=0.23。

3可調磁力減振鏜桿減振性能分析

采用Ansoft Maxwell和Ansys Workbench相結合的方法可以對磁力減振鏜桿進行了磁-結構耦合進行仿真，分析鏜桿靜力學、動力學方面的性能。這里我們主要根據最終的優化參數在Ansys中采用模態疊加法(Mode Superposition)[6]對磁力減振鏜桿的作諧響應分析。

刀尖各方向振幅對加工精度和表面質量的影響，徑向最大，切向次之，而軸向幾乎可以忽略不計，因此徑向和切向這振幅是主要考慮的。磁力減振鏜桿刀尖徑向(X軸)和切向(Y軸)幅頻響應曲線如圖5、圖6所示。同時引用內置式單減振鏜桿[7]的徑向、切向幅頻響應曲線如圖7、圖8所示。此內置式單減振鏜桿所用減振系統剛度為0.68×106N/m，阻尼為1190N·s/m。

從圖5、圖6可以看到，磁力減振鏜桿刀尖徑向振幅最大值為2.26e-3mm，切向最大振幅值為1.35e-2mm，最大振幅取值都在第二階固有頻率22.14Hz附近。相對于采用橡膠圈和阻尼液提供減振系統剛度阻尼的某一內置式單減振鏜桿刀尖徑向振幅最大值7.69e-2mm、切向最大振幅值0.447mm來說，磁力減振鏜桿的徑向和切向最大振幅都有很大的降低，減振性能比較顯著。

減振塊振幅會在加工過程中變化，假設某個時刻控制系統調節流過電磁鐵線圈的電流為0.8A，經過求解，可得到磁力減振鏜桿刀尖徑向(X軸)幅頻響應曲線和切向(Y軸)幅頻響應曲線如圖9、圖10所示。從幅頻響應曲線可以看出在徑向最大振幅為5.09e-3mm，切向最大振幅為2.81e-2mm，可見磁力減振鏜桿在控制調節過程中刀尖振幅也不大，擁有良好的減振性能。

圖5　磁力減振鏜桿徑向(X軸)幅頻響應曲線

圖6　磁力減振鏜桿切向(Y軸)幅頻響應曲線

圖7　某內置式單減振鏜桿徑向幅頻響應曲線

圖8　某內置式單減振鏜桿切向幅頻響應曲線

圖9　磁力減振鏜桿徑向(X軸)幅頻響應曲線(0.8A)

圖10　磁力減振鏜桿切向(Y軸)幅頻響應曲線(0.8A)

4結束語

通過建立可調磁力減振鏜桿的一個二自由度的動力學模型，抽象出刀尖的相對振幅函數表達式，利用分支定界優化方法算得相對振幅最大值最小時的優化參數，α=0.79,μ=0.20,ζ1=0.09,ζ2=0.23，并且該組優化參數校驗可以看到相對振幅最小。在Ansys中對可調磁力減振鏜桿的諧響應分析，磁力減振鏜桿刀尖徑向振幅最大值為2.26e-3mm，切向最大振幅值為1.35e-2mm，相對于采用橡膠圈和阻尼液提供減振系統剛度阻尼的某一內置式單減振鏜桿刀尖徑向振幅最大值7.69e-2mm、切向最大振幅值0.447mm來說，磁力減振鏜桿的徑向和切向最大振幅都有很大的降低，減振性能比較顯著，說明可調磁力減振鏜桿在解決內置式動力鏜桿中橡膠圈和阻尼液自身材料存在的缺陷而影響鏜桿的減振性能的同時，也大大提高鏜桿的減振性能，也為鏜桿減振的繼續深入研究提供一定參考。

[參考文獻]

[1] 羅紅波, 李偉, 唐才學. 內置式雙減振鏜桿動力學模型參數優化 [J]. 四川大學學報:工程科學版, 2012,44(5):207-212.

[2] Lee D,HwangHuiyun,Kim J.Design and manufac-ture of a carbon fiber epoxy rotating boring bar[J].Composite Structures,2003,60(1):115-124.

[3] 陳可，李偉，羅紅波.基于Matlab的可調磁力減振鏜桿控制系統參數優化[J].組合機床與自動化加工技術，2014(3):101-103.

[4] 李紅梅. 基于有限元分析的內置式減振鏜桿研究[D].成都:四川大學,2011.

[5] 楊夷梅, 楊玉軍. 分支定界算法優化研究 [J]. 中國科技信息, 2008(21):42-43.

[6] Lee T, Schmitke C. Advanced Engineering calculation-ns and simulations[R]. Maple Soft product Applicat-ion, 2009:28-32.

[7] 唐才學. 數控車床內置式雙減振鏜桿研究 [D].成都:四川大學, 2010.

(編輯李秀敏)本刊歡迎訂閱!

歡迎在線投稿!

歡迎刊登廣告!

http:∥www.zhjcz.com.cn

parameters Optimization of Controllable Magnetic Damping Boring Bar’s Kinetic Model

ZHAO Kang,LUO Hong-bo,LI Wei

(School of Manufacturing Science and Engineering,Sichuan University,Chengdu 610065,China)

Abstract：For the vibration damping performance of built-in dynamic vibration boring bar wo-uld bereduced while damping liquid is easy to leak in the condition of vibration and the rubber ring is easy to fatigue failure, thecontrollable magnetic damping boring bar was co-nsidered. Through the establishment of kinetic model of controllable magnetic damping bori-ng bar, the two degree of freedom system can be concluded. After the differential equation-ns of motion of kinetic model is established, using branch and bound algorithm which hav-e high efficiency to optimize the function, and then the theoretical minimal value of the re-lative amplitude and the parameter optimizations were got. Because the damping boring bar- work in a wide frequency range, using the maximum of the average value of the amplitu-de frequency response curve in the scope of external excitation force frequency achieve min-imum to modify the parameters optimizations. Then compared the amplitude frequency char-acteristic curve with the built-in single damping boring bar with the same size in the frequen-cy domain, it can be seen that amplitude of the former is smaller ,which illuminates that thecontrollable magnetic damping boring bar has better damping performance.

Key words：magnetic damping boring bar; kinetic model; parameters optimization;performance analysis

中圖分類號：TH166;TG659

文獻標識碼：A

作者簡介：趙康(1991—)，男，四川遂寧人，四川大學碩士研究生，研究方向為計算機數控技術及工業設備自動化，(E-mail)foreverZK@yeah.net。

收稿日期：2015-02-10

文章編號：1001-2265(2016)01-0094-04

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.01.026