一種彈性折疊梁的剛度建模分析*

劉　斌，張彥斐，宮金良

(山東理工大學 機械工程學院，山東 淄博　255049)

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一種彈性折疊梁的剛度建模分析*

劉斌，張彥斐，宮金良

(山東理工大學 機械工程學院，山東 淄博255049)

摘要：剛度對微動平臺的驅(qū)動行程具有極大影響，為了有效提高微動平臺的行程范圍，提出一種彈性折疊梁代替?zhèn)鹘y(tǒng)的彈性薄板結(jié)構(gòu)。首先將整體結(jié)構(gòu)劃分為橫梁和豎直梁兩種不同單元，并建立相應(yīng)的剛度方程，然后和各個節(jié)點的力平衡方程相結(jié)合，得到單側(cè)結(jié)構(gòu)的剛度方程。再根據(jù)結(jié)構(gòu)的對稱性，建立另一側(cè)結(jié)構(gòu)的剛度方程。最后根據(jù)兩側(cè)結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)關(guān)系推導出彈性折疊梁的整體剛度矩陣。最后給出了數(shù)值算例，表明剛度建模方法在分析驅(qū)動載荷方向的變形時候偏差很小，但是其他方向的牽連變形精確度較低，因此應(yīng)以ANSYS分析結(jié)果為準。

關(guān)鍵詞：微動平臺；彈性折疊梁；剛度

0引言

驅(qū)動行程是微動機構(gòu)的重要設(shè)計評價指標，而各個環(huán)節(jié)的剛度都在一定程度上影響著驅(qū)動行程[1-3]。很多學者在這一領(lǐng)域進行了深入研究，如Gosselin[4]借助雅可比矩陣，建立了僅考慮主動關(guān)節(jié)彈性的剛度模型，提出了并聯(lián)機構(gòu)的剛度映射矩陣。以此為基礎(chǔ)，學者們考慮了機架及支鏈組件變形，對并聯(lián)機構(gòu)進行了靜剛度分析[5-7]。在分析的基礎(chǔ)上，很多學者研制了微動平臺樣機[8-9]。隨著應(yīng)用領(lǐng)域的逐步擴大，實際應(yīng)用的微動平臺對行程提出了更高的要求，因此如何對鉸鏈參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，創(chuàng)造新型柔性鉸鏈成為研究的熱點。

1彈性折疊梁的機構(gòu)描述

彈性折疊梁基于彈性薄板的微小形變，通過多層設(shè)計實現(xiàn)微小形變的累計達到大位移輸出的目的，既保證了運動精度，又降低了系統(tǒng)剛度，可以作為微動平臺設(shè)計的重要結(jié)構(gòu)單元，其平面結(jié)構(gòu)如圖1所示。彈性折疊梁由兩條關(guān)于y軸對稱的支鏈組成，z軸方向的柔性梁厚度為b，折疊梁的各處壁厚均相等。

圖1　折疊梁

由于結(jié)構(gòu)的對稱性，因此可以取彈性折疊梁的半結(jié)構(gòu)進行分析，具體結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖2所示。同時為便于分析，標志了結(jié)構(gòu)關(guān)鍵點進行單元劃分，主要包括橫梁和豎直梁兩類，其中點i與點i+1 (i=1,3,5,7)之間為橫梁，點i與點i+2 (i=2,3,6,7)之間為豎直梁，如圖3和圖4所示。

圖2　折疊梁左支鏈

圖3　橫梁單元

圖4　豎直梁單元

2彈性折疊梁支鏈的柔度模型

2.1支鏈中各柔性梁單元剛度方程

圖3中點i與點i+1之間橫梁單元的剛度方程可以表示為：

(1)

式中，

進一步得到：

(2)

圖4中豎直梁單元的剛度方程可由橫梁的單元剛度方程通過坐標變換得到，坐標變換矩陣為：

根據(jù)坐標變換矩陣及橫梁的單元剛度方程，點i與點i+2 (i=2,3,6,7)之間豎直梁的單元剛度方程為：

(i=2,3,6,7)

(3)

式中，

進一步得到：

(4)

圖2中點9處懸臂梁的剛度方程為:

F9=T-1kLTu9=k9u9

(5)

2.2支鏈中的力平衡方程

點i與點i+1之間橫梁的力平衡方程可表示為：

Fi=-(li,i+1A1+E)Fi+1(i=1,3,5,7)

(6)

式中，li,i+1為點i與點i+1之間的距離，E為3×3階單位矩陣，A1為力平衡系數(shù)矩陣，且有

點i與點i+2 (i=2,3,6,7)之間豎直梁的力平衡方程為：

(7)

式中，li,i+2為點i與點i+2之間的距離，A2為力平衡系數(shù)矩陣，且有

根據(jù)支鏈中各個單元的受力分析，節(jié)點i處作用力與反作用力關(guān)系為：

(8)

綜合式(2)、(4)和式(5)~(8)，可求解得折疊梁左支鏈的柔度方程為：

u1=c1F1

(9)

式中，

由式(9)，通過坐標變換可得折疊梁右支鏈的柔度方程：

(10)

3彈性折疊梁的剛度模型

對彈性折疊梁整體分析時，左、右支鏈末端的轉(zhuǎn)動角度Δθ相等，且左、右支鏈末端y向位移的差值Δy與兩支鏈末端間的距離d的比值和剛性梁的轉(zhuǎn)動角度的正弦值相等，即Δy/d=sin(Δθ)。由于轉(zhuǎn)角Δθ較小，則有Δy/d=Δθ。同時剛性塊連接也使得兩支鏈上端x向位移相等，根據(jù)上述分析及式(9)、(10)得：

(11)

由作用力與反作用力的關(guān)系及彈性折疊梁的整體受力情況可得：

(12)

根據(jù)左右兩支鏈間的力平衡關(guān)系可得：

F1=Kt1F

(13)

(14)

聯(lián)立式(9)、(10)、(13)、(14)得：

u1=c1Kt1F

(15)

(16)

由結(jié)構(gòu)變形分析可知，彈性折疊梁的位移為：

(17)

(18)

根據(jù)彈性折疊梁的柔度模型，即可得到對應(yīng)的剛度方程為：

F=kzu

(19)

4數(shù)值算例

對于圖1所示彈性折疊梁，給定主要結(jié)構(gòu)尺寸為l1=17mm，l2=16mm，h=1mm，z軸方向厚度為b=5mm，左右支鏈運動端間的距離d=6mm。材料彈性模量E=197Gpa，泊松比為0.25。對彈性折疊梁施加不同的力，可根據(jù)式(17)求得彈性折疊梁的輸出位移，并應(yīng)用ANSYS軟件建立彈性折疊梁的有限元模型并進行分析，得到施加不同力的情況下，彈性折疊梁的輸出位移，所得數(shù)據(jù)如表1所示。

由表1可知，當只有Fx作用時，其末端y向位移相對x向位移很小，y向位移可認為為零。當只有Fy向力作用時，其末端最大位移為y向。當只有力矩作用時，轉(zhuǎn)動角度較大，但其末端x向位移不能忽視。可見，當施加特定載荷時，對于主載荷方向的變形，理論計算結(jié)果和ANSYS分析結(jié)果比較接近，因此對于主功能方向的變形分析可以基于剛度模型進行，但是在分析其他方向的牽連變形時候，理論計算值比較小，但實際的ANSYS分析結(jié)果顯示變形不能忽視。

表1　不同外部載荷下彈性折疊梁的變形

5結(jié)論

為了有效提高微動平臺的行程范圍，提出一種彈性折疊梁結(jié)構(gòu)。首先將整體結(jié)構(gòu)劃分為橫梁和豎直梁兩種不同單元，并建立相應(yīng)的剛度方程，然后和各個節(jié)點的力平衡方程相結(jié)合，得到單側(cè)結(jié)構(gòu)的剛度方程。再根據(jù)結(jié)構(gòu)的對稱性，建立另一側(cè)結(jié)構(gòu)的剛度方程。最后根據(jù)兩側(cè)結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)關(guān)系推導出彈性折疊梁的整體剛度矩陣。最后給出了數(shù)值算例，表明剛度建模方法在分析驅(qū)動載荷方向的變形時候偏差很小，但是其他方向的牽連變形不能忽視。

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(編輯李秀敏)

Rigidity Modeling Analysis of a Kind of Flexible Folded Beam

LIU Bin,ZHANG Yan-fei,GONG Jin-liang

(School of Mechanical Engineering, Shandong University of Technology, Zibo Shandong 255049,China)

Abstract：Rigidity has a great influence on the drive travel of micro-positioning platform. In order to improve the range of micro-positioning platform, a kind of flexible folded beam is proposed to replace the traditional elastic thin plate structure. First, the whole structure is divided into two different elements, beams and carlings. The rigidity equation of the elements is also set up, then combined with the force balance equation of each node for achieving the rigidity equation of unilateral structure. Second, according to symmetry, the rigidity equation of the other side is also achieved. Finally, the whole rigidity matrix of flexible folded beam is deduced by the relationship of compatible deformation on the both sides. At the end of the thesis, a numerical example demonstrated that the rigidity modeling method has the tiniest deviation on the analysis of the deformation in the driven direction and a low accuracy in the relative deformation of other side, so the ANSYS analysis results shall prevail.

Key words：micro-positioning platform; flexible folded beam; rigidity

文章編號：1001-2265(2016)01-0036-03

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.01.010

中圖分類號：TH164;TG506

文獻標識碼：A

作者簡介：劉斌(1989—)，男，山東萊蕪人，山東理工大學碩士研究生，研究方向為微納機器人，(E-mail)570711500@qq.com；通訊作者：張彥斐(1977—)，女，河北衡水人，山東理工大學副教授，博士，研究方向為微納機器人領(lǐng)域的設(shè)計研發(fā)，(E-mail)1392076@sina.com。

*基金項目：國家自然科學基金項目(61303006)；山東省優(yōu)秀中青年科學家科研獎勵基金項目(BS2012ZZ009)

收稿日期：2015-03-17