不倒翁的動力學分析

黃開志 陳小亮 田祖安 丁劍平

(重慶科技學院數理學院，重慶 401331)

不倒翁的動力學分析

黃開志 陳小亮 田祖安 丁劍平

(重慶科技學院數理學院，重慶 401331)

為了潛在的工程應用以及為不倒翁類兒童玩具的設計計算提供參考，建立了不倒翁在圓形曲面上作純滾動時的動力學方程，給出了其作純滾動且能回擺的限制條件，分析了其穩定性.求出了其在水平面上作純滾動時主要動力學參數計算公式，借助軟件具體分析了一個不倒翁的運動特征，繪制了其主要動力學參數曲線.發現其角速度、角加速度和法向反力Fn隨初始擺角α0遞增，而切向摩擦力Ft則隨初始擺角α0遞減；當α0介于0與0.12rad之間時，擺動周期T與α0近似呈線性關系，且T≤1.01s；當α0超過0.12rad時，T與α0呈非線性關系，且T>1.01s；當α0趨近于π時，T 趨近于無窮大.

理論力學 ; 動力學 ; 不倒翁；臨界曲線

文獻[1]采用能量法分析了不倒翁的穩定性，同時得到了其在水平面上擺動時擺角和周期的近似解，對于不倒翁的其他主要動力學參數以及其在圓形曲面上的動力學情況，均未分析.

為了潛在的工程應用以及為不倒翁類兒童玩具的設計計算提供參考，本文擬對不倒翁的運動特性和主要動力學參數進行較系統的分析.

1 圓形面支承時的分析

1.1 動力學方程

圖1所示半徑為r的圓形不倒翁在半徑為R的圓形面支承上作純滾動，設其在支承面的最高點時y軸正好鉛垂，則Rφ=rθ，亦即

(1)

圖1 力學模型

擺角α滿足α=θ+φ，結合式(1)得

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

點O繞點O′作圓周運動，則

結合式(2)，上述二式變為

質心C相對于點O的加速度為

(6)

上式中，e為質心C與O點間的距離.

(7)

不倒翁作平面運動，由基點法得質心C的加速度滿足

aC=aO+aO C

上式沿坐標軸的投影滿足

不倒翁動力學微分方程為

由上述3式并結合式(3)～式(9)得

1.2 限制條件

不倒翁純滾動時滿足

Ft

其中fs為靜摩擦因數,考慮到式(11)、(12)，上式變為

(13)

不倒翁能回擺，其重力mg對支承點A之矩滿足

mgsinα·(rcosθ-e)

結合式(3)，上式變為

(14)

1.3 穩定性分析

以O′點為不倒翁的零勢能點，則其勢能

V=mg[(R+r)cosφ-ecosα]

結合式(2)，上式變為

(15)

(16)

(17)

2 水平面支承時的分析

2.1 求解

(18)

(19)

由式(18)，得周期

(20)

將式(18)、(19)分別代入式(11)、(12)并考慮到R=∞，得

將式(18)、(19)代入式(13)并令α=α0=αmax，且考慮到R=∞，得不倒翁純滾動的臨界曲線

(23)

考慮到R=∞，式(14)變為

e>0

(24)

由式(15)并考慮到式(24)和R=∞，得

α′=0或α′=π

(25)

由式(16)并考慮到式(24)、(25)和R=∞，得

不倒翁穩定平衡時，α′=0

由式(17)并考慮到式(24)、(25)和R=∞，得

不倒翁不穩定平衡時，α′=π.

2.2 算例

若取g=9.80665m·s-2，r=0.1m，m1=0.3kg，m2=0.2kg，則m=m1+m2=0.5kg，JC=0.0032kg·m2，e=0.04m.

將這些數據代入(23)，可得到圖2所示臨界曲線fs—αmax，該曲線和其右側切線fs=0.245將fs—α平面的Ⅰ象限分割成上下左右四個區域.當點(fs，α)在左區域內時，不倒翁將滑動；當點(fs，α)在其他區域內時，其作純滾動；當點(fs，α)在fs—αmax曲線上時，其處于臨界狀態.

圖2 α與fs的關系

從圖2不難發現：(1)當初始點(fs，α0)位于上區域內時，隨著擺角α的減小，點(fs，α)將通過上區域—臨界曲線—左區域—臨界曲線—下區域，即不倒翁將出現純滾動—臨界—滑動—臨界—純滾動的運動狀態；(2)當初始點(fs，α0)位于上區域與左區域交界處(fs，αmax)時，隨著擺角α的減小，點(fs，α)將通過臨界曲線—左區域—臨界曲線—下區域，即不倒翁將出現臨界—滑動—臨界—純滾動的運動狀態；(3)當初始點(fs，α0)位于左區域內時，隨著擺角α的減小，點(fs，α)將通過左區域—臨界曲線—下區域，即不倒翁將出現滑動—臨界—純滾動的運動狀態；(4)當初始點(fs，α0)位于左區域與下區域的交界處(fs，αmax)時，隨著擺角α的減小，點(fs，α)將通過臨界曲線—下區域，即不倒翁將出現臨界—純滾動的運動狀態；(5)若要其始終純滾動，則初始點(fs，α0)須在右區域或下區域內.

在圖2所示fs—αmax曲線的右區域取點(0.25,π)、(0.25,π/2)，在下區域取點(0.23,1.0)，分別代入式(18)～式(22)計算，即在式(18)～式(22)中分別令α0=π、π/2、1.0，并考慮到上述設定參數，借助軟件如Maple等可得到圖3～圖7.

圖與α的關系

圖與α的關系

圖5 T與α0的關系

圖6 Ft與α的關系

圖7 Fn與α的關系

從圖5發現：當α0介于0與0.12rad之間時，擺動周期T與α0近似呈線性關系，且T≤1.01s；當α0超過0.12rad時，T與α0呈非線性關系，且T>1.01s；當α0趨近于π時，T趨近于無窮大.

3 結語

在分析過程中忽視了機械能損失；若支承為下凸圓形面，則R取負值即可.

[1] 曹春梅,張曉宏.不倒翁的力學分析[J].物理與工程, 2002，12(1):10-11.

[2] 哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學(Ⅰ)[M].7版.北京:高等教育出版社，2009:271.

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DYNAMICS ANALYSIS OF DARUMA

Huang Kaizhi Chen Xiaoliang Tian Zu’an Ding Jianping

(School of Mathematics and Physics, Chongqing University of Science and Technology, Chongqing 401331)

In order to provide reference for potential engineering application and design and calculation of kid toys similar dearuma,we setablished the dynamics equation of pure rolling of daruma on a circular surface,gave the limiting conditions of its pure rolling and seing back,and analyzed its atability.The calculation fromula of main dynamics paramerters was solved when it pure rolled at horizontal plane surface,With the help of software,we concretely anayzed the motion characteristics of one daruma as an example,and draw its main dynamic parameters vurves.Our results found that its angular velocity,angular accelerationand normal force Fnincreased along wigh the increase of initial angular α0, but tangential friction force Ftdiminished along with the increase of initial angular α0, Whenα0is larger than 0.12rad, swing cycleTandα0are in nonlinear relationship, andT>1.01s. Whenα0tends to π,Ttends to infinity.

theoretical mechanics; dynamics; daruma; critical curve

2015-01-13

重慶科技學院本科生教育教學改革研究項目(CK2011B25)和研究生教育教學改革研究一般項目(YJG2014y008)資助項目.

黃開志，男，教授級高工，主要從事力學教學及研究.mocd361@163.com

黃開志 ，陳小亮 ，田祖安，等. 不倒翁的動力學分析[J]. 物理與工程，2016，26(5)：85-88.