三種坐標轉換模型的比較

宋世澤,鄭勇,王鼎蔚

(1.信息工程大學 導航與空天目標工程學院,鄭州 450001;2.北斗導航應用技術河南省協同創新中心,鄭州 450001)

三種坐標轉換模型的比較

宋世澤1,2,鄭勇1,2,王鼎蔚1,2

(1.信息工程大學 導航與空天目標工程學院,鄭州 450001;2.北斗導航應用技術河南省協同創新中心,鄭州 450001)

本文分別用羅德里格參數、歐拉角、四元數構造旋轉矩陣,進行坐標轉換,然后做出比較。文章對三種模型的誤差和效率都作出了實驗分析,結果表明,在沒有較好的初值情況下,羅德里格和四元數模型效率較高,但歐拉角和羅德里格模型的精度較高。因此,在沒有初值的情況下,建議優先選取羅德里格模型。

羅德里格參數;歐拉角;四元數;坐標轉換

0 引 言

在大地測量、攝影測量、和工程測量等應用中,經常用到坐標轉換,這就需要解算坐標轉換模型中的未知參數,其中關鍵的部分是解算構成旋轉矩陣的未知參數。

有多種方法可以構造旋轉矩陣,常用的三種方法為羅德里格參數、歐拉角和四元數法。這三種方法都有各自的特點。羅德里格參數法可以計算出較為精確的初始值,并且最后得到的誤差方程形式較為簡單,因此,比較適合用在相機檢校上,文獻[3-6]均利用羅德里格參數克服了相機檢校中旋轉矩陣的初始值不易獲取的問題。在有些應用領域,由于旋轉角直接給出,因此選用歐拉角構造旋轉矩陣更為簡單,例如在視頻全站儀測量中,旋轉角由全站儀精密測定,文獻[7-12]對此做了詳細闡述。四元數法具有直觀的物理意義,它是將空間某個基準坐標系繞一個向量僅僅做一次旋轉就可旋轉到目標坐標系,與羅德里格矩陣一樣,如果知道兩個坐標系下的3個以上公共點,就可以求解較準確的旋轉矩陣的初始值,文獻[15-17]給出了詳細闡述。

根據上述三種模型的各自的特點,應根據不同的工程應用背景,選擇合適的模型。現有文獻大多從大角度旋轉角初始值不易獲取,而選用羅德里格參數或者四元數法,但對于某些旋轉角已知的情況,如視頻全站儀,選用歐拉角模型是合適的。因此,單純從初始值是否容易獲取的角度比較三種模型是不合適的。

本文采用同一實測數據,使用一半數據作為實驗數據進行坐標轉換,另一半數據作為檢核,對比參數解算的結果及各自的精度。

1 三維坐標轉換模型

1.1 羅德里格參數

模型中共有7個參數:3個平移參數,3個旋轉參數和1個尺度因子。其中,3個旋轉參數可以構造旋轉矩陣中的9個相關的元素。通過羅德里格參數構造反對稱矩陣,從而轉化成旋轉矩陣[2]。

文獻[3]給出了采用羅德里格矩陣進行坐標轉換的方法:所有旋轉矩陣R,均可由反對稱矩陣Q和單位矩陣I表示,即:

R=(I+Q)(I-Q)-1,

(1)

其中

式中，(a,b,c)即為羅德里格參數,用以構造羅德里格矩陣。

Sh+S0=λ·R·SC,

(2)

令

(3)

式(1)變為

S=λ·R·SC.

Q矩陣有如下性質:

(I+Q)(I-Q)=(I-Q)(I+Q),

兩邊同乘以(I-Q)-1得

(I-Q)-1(I+Q)=(I+Q)(I-Q)-1=R,

(4)

代入式(3)得

(I-Q)S=λ·(I+Q)SC,

(5)

將上式展開后整理得

(6)

構建誤差方程

(7)

線性化得

(8)

將誤差方程寫成矩陣形式

(9)

未知參數的改正數為

(10)

單位權中誤差

(11)

未知參數的精度估計公式為

(12)

1.2 歐拉角

模型中共有7個參數:3個平移參數,3個旋轉參數和1個尺度因子。其中,3個旋轉參數就是三個歐拉角,可以構造旋轉矩陣中的9個方向余弦。

記

R中的各個元素是由三個歐拉角φ、ω、κ構成的方向余弦,本文選擇的旋轉軸順序為[4]

1) 繞Y軸順時針旋轉(逆著Y軸正方向看)φ角;

2) 繞X軸順時針旋轉(逆著X軸正方向看)ω角;

3) 繞Z軸順時針旋轉(逆著Z軸正方向看)κ角;

R與三個歐拉角φ、ω、κ的關系式為

a1=cosφcosκ-sinφsinωsinκ,

a2=-cosφsinκ-sinφsinωcosκ,

a3=-sinφcosω,

b1=cosωsinκ,

b2=cosωcosκ,

b3=-sinω,

c1=sinφcosκ+cosφsinωsinκ,

c2=-sinφsinκ+cosφsinωcosκ,

c3=cosφcosω.

同式(2)、式(3),坐標轉換公式為

S=λ·R·SC

將誤差方程線性化后得

(13)

參數估計、精度估計以及單位權中誤差公式為1.1節式(10)～式(12)。

1.3 四元數

模型中共有8個參數:3個平移參數,4個相關的旋轉參數和1個尺度因子,其中,4個旋轉參數就是四元數。

由四元數構成的旋轉矩陣為[5-6]

將上式代入式(3)并構建誤差方程

(14)

參數估計、精度估計以由式(10)、式(12),單位權中誤差公式為

(15)

2 數據處理

2.1 參數解算

本文的數據由徠卡TS50i圖像全站儀測得的370顆模擬星點,測量時間分別于2015年9月12日和2015年1月19日,采用雙讀數雙照準,角度互差小于5″,距離互差小于0.1mm．采用其中185顆星點作為公共點進行坐標轉換,另外185顆星點作檢核。表1示出了三種模型的解算的參數結果，圖1、圖2、圖3分別對應三種模型的三維坐標殘差圖。

表1 三種模型得到的尺度因子和平移參數

圖1 羅德里格參數模型殘差圖

圖2 歐拉角模型殘差圖

圖3 四元數模型殘差圖

2.2 誤差分析

本文主要討論坐標轉換模型帶來的偶然誤差和系統誤差。

由于坐標轉換模型使用的是相同的數據,因此殘差的離散度可以說明模型帶來的偶然誤差的大小。

將殘差帶入下式:

(16)

得到三種模型的三維坐標均方根誤差是一樣的:

m(x)=0.54mm; m(y)=0. 57mm;

m(z)=0. 50mm.

這說明三種模型引起的偶然誤差是一致的,這個結論和模型對應的殘差圖1～圖3是一致的。

此外,模型還有可能引起系統誤差,精度評價公式為

(17)

計算結果如表2所示

表2 三種模型對應的精度結果

從表2可以看出,羅德里格和歐拉角轉換模型轉換精度相等,說明這兩種模型不會引起系統誤差。很明顯,四元數模型含有系統誤差。

將圖3和圖1，圖2做比較,可以看出四元數模型x、y、z方向上的殘差有一個系統誤差。這與表2得出的結論是一致的。

2.3 效率分析

三種模型都需要經過迭代才能計算出精確的結果,表3給出了三種模型各自的迭代次數。

表3 三種模型的迭代次數

表3說明,羅德里格模型效率較高,四元數次之,歐拉角最低。這主要是由初值的精確程度決定的,羅德里格和四元數模型都能得到較為精確的初始值。

3 結束語

綜上分析，從解算精度分析,歐拉角和羅德里格模型精度較高,帶來偶然誤差和系統誤差較小,而四元數模型帶來系統誤差較大,這主要是由于參數之間的相關性引起的; 從效率上分析,在初始值不能事先給出的情況下,由于羅德里格容易獲得較為準確的初值,因此效率較高。

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The Comparison of Three Kinds of Coordinate Transformation Model

SONG Shize1，2,ZHENG Yong1，2,WANG Dingwei1，2

(1.InstituteofNavigationandAerospaceTarget,UniversityofInformationEngineering,Zhengzhou450001,China;2.BeidouNavigationTechnologyCollaborativeInnovationCenterofHenan,Zhengzhou450001,China)

This paper structures rotation matrix for coordinate transformation,respectively with rodrigo parameters, Euler angle, quaternion. And then make a comparison, the experimental results show that the precision of the three kinds of transformation model is consistent. Among them, the euler Angle model is simple to understand, but not simple to obtain relatively accurate initial value; because of more parameters, Quaternion model unfavorablely leads to convergence; Rodrigo parameter model can overcome the disadvantages of the two models above.

Rodrigo parameters; Euler angle; Quaternions; coordinate transformation

2016-09-10

10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.06.022

P228.4

1008-9268(2016)06-0110-05

宋世澤(1988-),男,河南焦作人,碩士生,從事大地測量、天文測量等應用。

鄭勇(1963-),男,福建長樂人,教授,博導,從事大地測量、天文測量等。

王鼎蔚(1993-),男,河南許昌人,碩士生,從事大地測量、天文測量等。

聯系人：宋世澤 E-mail: 1598697583@qq.com