在高中數(shù)學(xué)中如何進(jìn)行微積分教學(xué)

◆周建設(shè)

(山東省東營(yíng)市第二中學(xué))

在高中數(shù)學(xué)中如何進(jìn)行微積分教學(xué)

◆周建設(shè)

(山東省東營(yíng)市第二中學(xué))

微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，他的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過(guò)渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段。進(jìn)入新世紀(jì)，我們把微積分的內(nèi)容引入到了中學(xué)，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)。正因?yàn)槭莿倓傄M(jìn)的新內(nèi)容，所以如何進(jìn)行課堂教學(xué)，本人認(rèn)為應(yīng)該進(jìn)行一些探討。本文就新課標(biāo)對(duì)這部分內(nèi)容的要求與特點(diǎn)以及如何在課堂教學(xué)中講授這一章知識(shí)進(jìn)行了探討，以期獲得一些較為可行的教學(xué)方法。

教學(xué)大綱 微積分 數(shù)學(xué)教學(xué)

我國(guó)近20年間高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容一直相對(duì)穩(wěn)定，盡管教學(xué)大綱和教材也經(jīng)過(guò)了幾次修訂，但教學(xué)內(nèi)容仍然是代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何四大部分。然而，從2001年起，全國(guó)所有省市都已開始使用依照新大綱思想編寫的教材，在新教材中微積分、概率統(tǒng)計(jì)和向量這些在大學(xué)中重點(diǎn)學(xué)習(xí)的知識(shí)走進(jìn)了高中，這無(wú)疑給高中數(shù)學(xué)教師提出了新的課題。在新的形勢(shì)下，采用合理的教學(xué)策略有效地組織新內(nèi)容的教學(xué)，變得十分迫切。本文將探討一下，在高中數(shù)學(xué)中如何進(jìn)行微積分教學(xué)，如何貫徹微積分思想，以期獲得一些較為可行的教學(xué)方法。

微積分學(xué)可以說(shuō)是博大精深，高中學(xué)生不可能像大學(xué)生那樣來(lái)學(xué)習(xí)它，那么對(duì)我們的高中生來(lái)說(shuō)應(yīng)該怎樣學(xué)呢？高中教師又應(yīng)該怎樣教呢？我們的高考對(duì)這部分內(nèi)容又是怎樣要求的呢？下面我們就來(lái)討論一下這些問(wèn)題。

一、微積分進(jìn)入高中課堂并納入高考范圍的原由

微積分從本世紀(jì)初開始進(jìn)入中學(xué)并作為高考的重點(diǎn)，那么新世紀(jì)制訂并使用的新大綱，為什么要打破二十多年的穩(wěn)定局面，在課程設(shè)置上做如此大的改革呢？

這是由微積分學(xué)在數(shù)學(xué)以至整個(gè)自然科學(xué)中的重要地位所決定的。微積分學(xué)是人類思維的偉大成果之一，它的產(chǎn)生和發(fā)展被譽(yù)為“近代技術(shù)文明所產(chǎn)生的關(guān)鍵事件之一，它引入了若干極其成功的、對(duì)以后數(shù)學(xué)的發(fā)展起決定性作用的思想”。微積分的思想方法是17世紀(jì)產(chǎn)生的關(guān)鍵性的數(shù)學(xué)思想方法，不僅是學(xué)生以后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)以及許多數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)學(xué)生的解題能力也有很大的促進(jìn)作用。微積分作為一個(gè)強(qiáng)大的工具，也可以幫助我們解決一些用初等數(shù)學(xué)思想處理比較繁瑣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度、變力作功、曲線的切線與長(zhǎng)度、封閉曲線形的面積、立體體積等。從微積分學(xué)的創(chuàng)立至現(xiàn)在的三百年中，微積分學(xué)不僅對(duì)數(shù)學(xué)，而且對(duì)整個(gè)人類文明產(chǎn)生了不可估量的影響。而且我國(guó)進(jìn)行了二十多年的改革開放，教育也得到了很大發(fā)展，當(dāng)今不論教師的整體素質(zhì)還是學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，與二十年前相比已有了很大提高。所以學(xué)習(xí)微積分的初步知識(shí)，決不是高不可攀的，微積分知識(shí)進(jìn)入中學(xué)是可行的。

二、教學(xué)大綱對(duì)“微積分”部分的要求與特點(diǎn)

雖然新大綱仍然將微積分作為選修內(nèi)容，但卻是廣大希望進(jìn)入高校繼續(xù)深造的學(xué)生的“必修”功課。新大綱對(duì)這部分的要求總體上看，有如下幾個(gè)特點(diǎn)：

1.對(duì)微積分的定位比較好，充分考慮到學(xué)生的實(shí)際水平。沒(méi)有過(guò)多地涉及極限的理論知識(shí)，也沒(méi)有要求嚴(yán)格的論證，只需直觀認(rèn)識(shí)。例如選修Ⅱ只需讓學(xué)生借助幾何直觀理解連續(xù)函數(shù)有最大最小值的性質(zhì)，這樣既能對(duì)極限的一些重要性質(zhì)有所認(rèn)識(shí)，也不會(huì)因嚴(yán)格的論證望而卻步。但涉及到核心內(nèi)容“變化率的思想”，即引入導(dǎo)數(shù)時(shí)，大綱則沒(méi)有一味降低難度。因?yàn)樽兓实乃枷胧侨祟愃季S進(jìn)步的里程碑，是高中生學(xué)習(xí)微積分的價(jià)值所在——既為大學(xué)作鋪墊，也為日后不學(xué)微積分的學(xué)生提供理解變化率思想的機(jī)會(huì)。

2.重視微積分在中學(xué)階段的應(yīng)用。盡管選修Ⅰ和選修Ⅱ課時(shí)相差很大，但都用了足夠的課時(shí)講授導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(選修Ⅱ還有定積分的應(yīng)用)。因?yàn)槿绻徽剳?yīng)用，學(xué)生不僅學(xué)習(xí)該內(nèi)容無(wú)甚興趣，而且也不能對(duì)微積分有一個(gè)全面的了解。況且，在講授微積分的應(yīng)用時(shí)，也能加深學(xué)生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)其他知識(shí)的理解。比如，講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用有助于進(jìn)一步理解函數(shù)的變化狀態(tài)，從觀察基本函數(shù)的斜率開始，判斷它的單調(diào)性，下降、上升區(qū)間和極值。

3.教學(xué)大綱要求“通過(guò)微積分初步的學(xué)習(xí)，了解微積分學(xué)的文化價(jià)值”，說(shuō)明教師不僅應(yīng)講授微積分的基本知識(shí)和原理，還應(yīng)該讓學(xué)生了解微積分發(fā)展的社會(huì)背景及有關(guān)人物的資料，體會(huì)微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價(jià)值。形成一定的數(shù)學(xué)思維并能上升到哲學(xué)的高度。

三、高中數(shù)學(xué)課堂中組織微積分教學(xué)應(yīng)遵循的一些原則和策略

中學(xué)生與大學(xué)生的認(rèn)知水平不同，高中教師與大學(xué)教師的教學(xué)水平不同，所以微積分在高中課堂中的教學(xué)與大學(xué)中的教學(xué)是有很大區(qū)別的。本人結(jié)合在教學(xué)中學(xué)生學(xué)習(xí)微積分出現(xiàn)的困難，探索了一些較為可行的教學(xué)方案，總結(jié)起來(lái)有一下幾點(diǎn)：

1.不斷加強(qiáng)變量概念的教學(xué)，樹立以變量為思維對(duì)象的數(shù)學(xué)觀

由于學(xué)生在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中接觸的均為常量，即使在高中階段系統(tǒng)學(xué)習(xí)函數(shù)、自變量，并研究了一些基本函數(shù)的性質(zhì)和圖像，但其思維和認(rèn)識(shí)方式仍然比較習(xí)慣于常量，常量數(shù)學(xué)在頭腦中已根深蒂固，缺乏變量思維。但在學(xué)習(xí)極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分等概念時(shí)，沒(méi)有變量的思維是不行的。所以在組織教學(xué)時(shí)，需加強(qiáng)變量概念的教學(xué)，讓學(xué)生逐步熟悉和適應(yīng)變量，并能思考變化過(guò)程。

中學(xué)數(shù)學(xué)引入導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容使教學(xué)內(nèi)容增添了更多的變量數(shù)學(xué)，拓展了學(xué)習(xí)和研究的領(lǐng)域。增加這部分內(nèi)容，可以加強(qiáng)對(duì)考生的辯證思維的教育，使考生能以導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的變化率，為解決函數(shù)極值問(wèn)題提供更有效的途徑、更簡(jiǎn)便的手段，加強(qiáng)對(duì)函數(shù)及其性質(zhì)的深刻理解和直觀認(rèn)識(shí)。同時(shí)，使學(xué)生掌握一種科學(xué)的語(yǔ)言和工具，學(xué)習(xí)一種理性的思維模式。

2.要以直觀描述為主，鼓勵(lì)“合情推理”和“合情猜想”

3.防止微積分教學(xué)退化成僅讓學(xué)生記住一些公式和結(jié)論

考慮到高中生的實(shí)際水平，不需要在理論上過(guò)分要求嚴(yán)格。但無(wú)論是用直觀圖形引入還是給予一定的推理，都應(yīng)讓學(xué)生主動(dòng)的參與，引導(dǎo)學(xué)生觀察和發(fā)現(xiàn)圖形的“變化趨勢(shì)”或親自動(dòng)手進(jìn)行推導(dǎo)，這樣才有利于培養(yǎng)學(xué)生的“變量思維”，感受微積分的內(nèi)涵和與初等數(shù)學(xué)的差異。否則，如果為了純粹的“應(yīng)試心理”，微積分教學(xué)變成了讓學(xué)生在不理解的狀況下死記一些公式和結(jié)論，那么在高中教授微積分就失去了意義和價(jià)值，學(xué)生的能力也不會(huì)提高。

4.加強(qiáng)對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的訓(xùn)練

復(fù)合函數(shù)是高中學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，所以復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也將是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方，關(guān)鍵是有一些學(xué)生不會(huì)合理地引入中間變量，函數(shù)的復(fù)合過(guò)程中各個(gè)環(huán)節(jié)分別是什么樣的函數(shù)關(guān)系沒(méi)有搞清楚。對(duì)此，本人認(rèn)為應(yīng)先讓學(xué)生多做一些分解函數(shù)復(fù)合過(guò)程的練習(xí)，然后按照復(fù)合過(guò)程逐步計(jì)算出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，待分步動(dòng)作熟練之后再省略中間過(guò)程。

總之，如何進(jìn)行微積分教學(xué)在高中數(shù)學(xué)是一個(gè)全新的課題，相對(duì)于代數(shù)和幾何等經(jīng)典內(nèi)容已經(jīng)臻于完善的教學(xué)研究，微積分的教學(xué)研究還不成熟，處于摸索的階段。但也正因?yàn)槿绱耍接懳⒎e分的教學(xué)才更有價(jià)值和意義。微積分從新世紀(jì)已正式進(jìn)入中學(xué)，它作為人類文化的寶貴財(cái)富，正在武裝一代又一代的新人，終將成為世人皆知的常識(shí)。它那閃耀著智慧光芒的深刻思想，一定會(huì)哺育人類走向更高的歷史階段。