一類Stancu型算子的逼近性質

任美英

（武夷學院數學與計算機學院，福建武夷山354300）

一類Stancu型算子的逼近性質

任美英

（武夷學院數學與計算機學院，福建武夷山354300）

通過Bernstein多項式的基函數，引進一類Stancu型算子序列，并借助于連續模研究該算子序列的一些逼近性質，得到算子列的一個Korovkin型收斂定理和收斂速度的一些估計。

Stancu型算子列；K-泛函；光滑模；逼近性質

算子逼近是逼近論的研究熱點之一，有關算子序列的逼近問題已有許多的研究成果[1-5]。2012年，任美英[6]引進并研究了如下Bernstein型算子序列{Ln}n∈N：

其中f（x）是定義在[0，1]上的連續函數，x∈[0，1]，…，n-1，B（.，.）是Beta函數。

引進算子序列{Ln}n∈N的Stancu型變種，并研究該Stancu型算子序列的一些逼近性質。為此，構造Stancu型算子序列如下：

其中f（x），x，pnk（x）如上（1）中所述，β，γ是兩個實參數，滿足0≤β≤γ，k=1，2，…，n-1，B（.，.）是Beta函數。

為了研究的需要，首先復習幾個概念。

定義1設W2=｛g∈C[0，1]:g'，g"∈C[0，1]｝,對f∈C [0，1]和δ>0，Peetre K-泛函定義為

定義2對f∈C[0，1]和δ>0，f的連續模定義為，的二階光滑模定義為

從文獻[7]可知

其中C是一個正常數。

定理1?f（x）∈C[0，1]，n∈N，x∈[0，1]，及0≤β≤ γ，有上一致成立。

定理2?f（x）∈C[0，1]，n∈N，x∈[0，1]，及0≤β≤γ，有

推論1若f（x）∈LipMa，M>0,0

定理3?f（x）∈C[0，1]，n∈N，x∈[0，1]，及0≤β≤其中C是一個正常數，δn如定理2中所述。

注：本文中常數C與f，n，x無關，出現的地方不同，表示的數值可能不同。

1 幾個引理

為了定理的證明，有必要引入幾個輔助結論。

引理1[6]對Ln（tm；x），m=0，1，2，有

引理2對（ti；x），i=0，1，2，有

引理3對?n∈N，x∈[0，1]，及0≤β≤γ，有

證明：(i)由引理2可得，

(ii)由引理2可知，對x∈[0，1]，及0≤β≤γ，有

引理4?f（x）∈C[0，1]，n∈N，x∈[0，1]，及0≤β≤

證明：對?f（x）∈C[0，1]，n∈N，x∈[0，1]，及0≤β≤γ，由(2)式和引理2可得

2 定理的證明

定理1的證明：由引理2知，對,ei（t）=ti，i=0，1，2有因此,由Korovkin定理([8, Theorem 4.2.4])可得，對?f（x）∈C[0，1]，有在區間[0，1]上一致成立，定理證畢。

定理2的證明：由引理2知，

推論1的證明：讓f（x）∈LipMa，其中M>0,0

定理3的證明：對f（x）∈C[0，1]，n∈N，x∈[0，1]，及0≤β≤γ,定義

對上式右邊關于g∈W2取下確界，由定義1可得

[1]Eren?in A.Durrmeyer type modification of generalized Baskakov operators［J］.Appl.Math.Comput.,2011,218(8): 4384-4390.

[2]Verma D K,Agrawal P N.Convergence in simultaneous approximation for Srivastava-Gupta operators［J］.Math.Sci., 2012,6(1):1-8.

[3]Vinti G，Zampogni L.Approximation results for a general class of Kantorovich type operators［J］.Adv.Nonlinear Stud., 2014,14(4):991-1011.

[4]Ren M Y,Zeng X M.Exact orders in simultaneous approximation by complex q-Durrmeyer type operators［J］.J.Comput.Anal.Appl.,2014,16(5):895-905.

[5]Ren M Y,Zeng X M.Approximation of a kind of new type Bézier operators［J］.J.Inequal.Appl.,2015(412):1-10.

[6]任美英.一類Bernstein型算子的逼近性質［J］.武夷學院學報，2012，31（2）：1-4.

[7]Devore R A,Lorentz G G.Constructive Approximation[M]. Berlin：Springer,1993.

[8]Altomare F，Campiti M.Korovkin-Type Approximation Theory and Its Applications(De Gruyter Studies in Mathematics 17) [M].Berlin New York:Walter de Gruyter,1994.

（責任編輯：葉麗娜）

Approximation Properties of a Kind of Stancu Type Operators

REN Meiying
（School of Mathematics and Computer Science,Wuyi University,Wuyishan,Fujian 354300）

In this paper,a kind of Stancu type operators is introduced through the base functions of the Bernstein polynomials.By means of the modulus of continuity,some approximate properties of the operators are studied.A convergence theorem of Korovkin type is established.Some estimations for the rate of convergence of the operators are obtained.

O174.5

A文章標號：1674-2109（2016）12-0063-03

2016-08-10

國家自然科學基金（61572020）；福建省自然科學基金（2014J01021）。

任美英（1965-），女，漢族，教授，主要從事函數逼近論的研究。

Key woods:stancu type operators;K-functional;smoothness modulus;approximation properties