數學教學中CPFS結構的構建

閆曉芳，韓聯郡

（1.永城職業學院，河南永城476600；2.上海交通大學，上海200240）

數學教學中CPFS結構的構建

閆曉芳1，韓聯郡2

（1.永城職業學院，河南永城476600；2.上海交通大學，上海200240）

CPFS結構是喻平關于數學認知結構的原創性成果，在數學教學中具有重要的研究價值和實踐價值。文章結合數學教學實際，初步探討了建構學生的優良CPFS結構的策略和注意事項。

CPFS結構；數學；數學教學

數學具有獨特的應用價值、智力價值和文化價值，數學教育不僅具有傳授數學知識、進行邏輯訓練和培養科學精神的作用，也在發展高科技、培養高科技人才方面有著重要的地位和不可替代的作用。

數學學習心理學的研究表明：數學學習是一種特殊的心理活動過程，數學學習不僅包括數學知識、能力和方法的學習,而且還包括上述內容的產生、形成、發展、完善和如何應用等思維過程的學習。因此，相對其他課程，數學的學習要更為復雜和困難。當然，對待數學學習也不必過于悲觀。數學是一門邏輯性、結構性很強的知識體系。研究表明：數學學習中，如果能形成良好的數學認知結構，將會給數學學習帶來巨大的收益。因此，找出一種有效的理論來指導學生建構數學認知結構顯得尤為必要。喻平結合心理學理論和數學學習特點構建的CPFS結構理論在這方面做出了原創性的探索，對數學學習與教學有著重要的指導意義。

一、CPFS結構理論含義

CPFS結構是由概念域、概念系、命題域、命題系形成的結構，它是數學學習心理特有的認知結構。數學概念C的所有等價定義構成的圖式，叫做概念C的概念域（概念C不單指形式化定義，也包括概念的內涵、外延和心理表象等，即概念C本身也是一個完整的圖式）。概念域的形成是對概念更深刻而又全面的理解。概念系則是指存在著數學抽象關系的一組概念形成的知識網絡。與此類似，與一個命題等價的所有命題構成的圖式叫做這個命題的命題域；如果在一個命題集中，任意一個命題都至少與其他某一個命題存在“推出”關系，則稱這個命題集的圖式叫做這個命題的命題域。

CPFS結構可以看做一個數學知識網絡體系，各知識點（概念、命題）在這個網絡中處于一定位置，知識點之間具有抽象關系，而這些抽象關系保證了知識節點之間的穩定性和邏輯性，同時抽象關系之間又蘊含著思維方法，即CPFS結構中各知識點之間的連結包含著數學方法系統。

二、CPFS結構理論的理論價值和實踐價值

數學教學的一個主要目的就是使學生形成良好的數學認知結構，從而發展學生的數學思維能力。因此，數學認知結構的構建成了學界爭相研究的熱門課題。然而，縱觀已有的研究成果可以發現，現有的關于數學認知結構的研究多以思辨研究為主，而且研究大多局限于數學認知結構的外部探討，缺乏對其內部結構邏輯關系的刻畫，而關于數學認知結構模型的構建方面的研究則更少之又少。針對已有研究的不足，喻平在對數學知識分類和數學知識的表征進行深入探討的基礎上，構建了CPFS結構理論，豐富了數學認知結構的理論，為優良的數學認知結構的構建提供了有力的工具。此外，CPFS結構還具有其他數學認知結構模型不具備的特性：知識命題之間除了上、下位關系外，還包含“等價”關系。而“等價”正是數學語言轉譯及數學問題表征的關鍵，因此，CPFS結構也是對數學認知結構理論的創新和發展。

已有的理論研究和實證研究表明，CPFS結構在數學的學習與教學中具有多種實踐價值：1.數學概念圖在某種意義上是CPFS結構的一定程度的外顯化反應，CPFS結構是數學概念圖建構的心理根基。2.優良的CPFS結構既是解決數學問題的知識基礎，又利于學生合理、正確地表征問題，可以提高學生的解題效果和數學成績。3.CPFS結構兼具開放性和穩定性，利于豐富原有的數學認知結構或形成新的、更加完善的數學認知結構；優良的CPFS結構能促進學習者對知識的理解，為學生提供元認知方法，積累學生的數學活動經驗。

三、數學教學中CPFS結構的構建

學生數學學習的好壞，一個重要的判別標準就是是否建立了良好的認知結構。根據筆者的調查發現：數學成績不良的學生往往沒有數學知識結構的概念，其數學認知結構也大多混亂不堪；數學成績優秀的學生，雖然能夠認識到數學知識結構的價值，但往往缺乏主動建構數學知識結構的意識，其認知結構的表現形式一般也僅限于數學知識框圖等簡單、初級的認知結構。鑒于學生數學認知結構的現狀和CPFS結構對數學學習的重要意義，因此有必要在數學教學中引導學生構建良好的CPFS結構。

（一）傳授CPFS結構建構的方法

數學認知結構的構建包括數學知識意義的獲得和應用，是一種更高層次的意義獲得，無法通過直接灌輸獲得。此外，老師呈獻給學生的知識結構也只是老師自身的認知結構，由于種種客觀原因，老師的認知結構不一定就優于學生的認知結構。因此，欲使學生獲得優良的數學認知結構，需首先使其掌握建構優良數學認知結構的方法。然而，數學認知結構理論的傳授也不能僅限于CPFS結構，其他的如知識框圖、圖式理論、概念圖理論、思維導圖理論各有優點，都可以涉及，讓學生在應用中比較、鑒別，尋找到適合自己的建構模式。

（二）概念與命題教學中注重變式教學策略

概念與命題是CPFS結構中起固定作用的觀念，概念域和命題域是CPFS結構中的基礎組成部分，完善的概念域和命題域是構建良好CPFS結構的前提。變式教學是使學習者在頭腦中建構完善概念域和命題域的一種有效策略。此處的變式教學，一方面是指在教學過程中，針對概念和命題的不同表達形式或者錯誤表達形式設計教學問題或教學情境，從多角度展示概念和命題的內涵與外延，幫助學生更全面地理解、掌握數學概念與命題，體會蘊含其中的數學語言的轉譯方法和數學知識表征的等價轉換；另一方面是指借助已有概念和命題的變式，為新概念和命題設置教學腳手架，建立新舊知識間的意義聯系，在有層次推進教學活動的過程中拓展學生的CPFS結構。例如在對“函數在某一點處導數”的教學中，其教學流程簡記如下（時間：2課時）：

1.從學生已知的的“平均變化率”出發，利用極限的觀點，引導出“瞬時變化率”的概念。

2.回憶物理中求瞬時速度的方法，展示問題“已知物體做變速直線運動，其運動方程為S=s（t），求物體在t0∈[0，t]的瞬時速度？”探究其數學求解過程。

3.由“圓的切線”的定義引入“曲線的切線”的定義，展示問題“已知曲線y=f（x）過點P（x0，y0），如何求曲線y= f（x）在點P（x0，y0）處的切線斜率？”

4.總結導數概念的本質（變化率），展示問題“帶電粒子（電子、離子等）在時間段[0，t]內通過導線橫截面的電荷為Q=Q（t），求在時刻t0處的電流強度？”交由學生探究。

5.讓學生通過觀察、比較、概括的過程獲得函數y=f（x）在點x0處的導數概念與計算。

6.探討導數公式的不同變化形式，引入導函數的概念。

7.總結導數概念的相關知識，形成導數概念的概念域。

（三）在數學的應用中構建CPFS結構

數學學習重在應用，數學應用的過程既是數學學習的鞏固與提高，也是數學思維能力的訓練和培養。數學的CPFS結構不能憑空獲取，而只能在具體的數學活動中構建和完善。數學應用是數學活動經驗獲得的主要方式，也為建構和完善CPFS結構提供了具體的場景。

導數是高考的熱點之一，在數學問題解決中不僅簡便而且應用比較廣泛，它已成為研究和解決函數變化率、極值、最值和單調性問題以及曲線的切線問題、不等式的證明等眾多問題的一種必不可少的重要工具。下面仍然以導數為例：

1.學習極值、最值的概念。

2.回顧前面概念教學中導數的本質以及切線的定義，觀察極值點的一個鄰域內切線斜率的變化特點，同時分析函數值的變化特點，得出該極值點的一個鄰域內函數增長率的變化規律，結合切線斜率的求解方法，引導出導數求極值的方法，進而發現最值的導數求解方法，使學生在這個過程中充分感受到各概念之間的抽象關系，感悟數形結合和轉化的思想。

3.引導學生思考不等式證明與最值求解之間的關系，感受導數法證明不等式的奇妙之處，感悟轉化和函數的思想。

4.總結、反思，借助導數各種應用之間的抽象關系，使相互之間連接，形成有序結構，建構導數的概念系和命題系。

5.展示問題，在問題解決中感悟導數不同應用之間的抽象關系，豐富導數概念的CPFS結構，形成更為完整的CPFS結構。

（四）必需、夠用為基本要求

雖然可以假定數學存在著一個完美的大一統的知識結構，但要求學生的CPFS結構盡善盡美或者保持一致都是不現實的。數學認知結構是一種經過學生主觀建構改造的，它是數學知識與學生心理結構融合的結果，因而受到學生心理發展現狀的制約，并在不同個體之間存在著顯著差異。因此，建構適合學生個體心理特點的認知結構，是一個首先需要解決的問題。對此，筆者的做法是緊扣教材，以必需、夠用為基本要求，以概念、命題為核心，以運算、應用為主體，幫助學生構建基本的數學認知結構，重在提高認知結構的穩定性、清晰性與可利用性，盡量建構實用、精煉的CPFS結構，以適應不同層次的學生發展所需。

[1]喻平.數學學習心理的CPFS結構理論與實踐[M].南寧：廣西教育出版社，2008:127-136.

[4]喻平.個體CPFS結構與數學問題表征的相關性研究[J].數學教育學報，2003，12（3）:10-12.

[5]孫利,魏立平.構建基于CPFS理念下的數學理解[J].泰山學院學報，2012，34（6）:129-133.

G642

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1673-0046（2016）10-0099-02

河南省教育科學“十二五”規劃課題《CPFS結構在高職數學學習中的應用研究》（〔2015〕-JKGHYB-0718）