一個Sierpinski墊片的Hausdorff測度的準確值的計算

鄭冰蓉，李楚玲，許紹元

（韓山師范學院數學與統計學院，廣東潮州 521041）

一個Sierpinski墊片的Hausdorff測度的準確值的計算

鄭冰蓉，李楚玲，許紹元*

（韓山師范學院數學與統計學院，廣東潮州 521041）

研究了一個Sierpinski墊片的Hausdorff測度，利用自相似集Hausdorff測度的上限估計的有效方法，得到Sierpinski墊片的Hausdorff測度的一個上界，然后應用垂直射影的方法得到Hausdorff測度的一個下界，從而得到該Sierpinski墊片的Hausdorff測度的準確值.

Sierpinski墊片；垂直映射；Hausdorff測度

關于Sierpinski墊片的Hausdorff測度，許多數學工作者對此作了廣泛的研究[1-4].Hausdorff維數計算與Hausdorff測度估計的研究已取得了很大的進展，文獻[5]提供了運用質量分布原理來估算Sierpinski墊片的Hausdorff測度下限的方法，而文獻[1]則需要分多種情形討論，步驟繁瑣，并且計算復雜，容易出錯；文獻[2]采用構造遞推數列的方法來估計Sierpinski墊片的Hausdorff測度；文獻[4]則是根據質量分布原理，通過其質量可以由一條線段的長度來表示的方法，求出了所提供的分形集的測度.本文應用垂直射影的方式得到Hausdorff測度下限、應用自相似集的Hausdorff測度的上限，因此運用一些簡單的證明方法就得到文獻[4]所構造的分形集的Hausdorff測度的確切值.

1 預備知識

1.1 一個三分Sierpinski墊片的作圖

打開幾何畫板，單擊畫板右側的“線段直尺工具”，在空白的畫板上畫出一條大小合適的線段AB，再點擊“圓工具”，以方才線段的左端點為圓心，線段AB為半徑繪制一個圓，同理，以線段的右端點為圓心，相同半徑再繪制一個圓，兩圓相交于一點C.分別連接AC和BC，再點擊其中一個圓，點擊鼠標右鍵，選擇“隱藏圓”，按照上述步驟隱藏第二個圓，便得到一個等邊三角形ABC.其次，選擇“格式”選項卡中的“在軸上繪制點”，點擊線段AB，并在值中填入“”，點擊“繪制”按鈕，重復上述步驟，把值改為“”，即繪制出了線段AB的三等分點，同理可得三角形ABC三邊上的所有三等分點E,F,G,H,I,J，依次連接相鄰兩邊上距離最近的兩點，得到三個小等邊三角形.最后，選擇畫板左側的“縮放箭頭工具”，點擊A,E,F三點，并點擊“構造”選項卡的“三角形的內部”，給小等邊三角形填充顏色，同理，為另外兩個小三角形上色，則一個三分Sierpinski墊片的第一次變換作圖完成，如圖1（a），依次操作，得到圖1.

1.2 三分Sierpinski墊片的定義

如圖1（a）所示，將正三角形ABC的每一條邊平均分成三份，再連接各鄰近分點，就得到了3個邊長為原來邊長的正三角形，去掉原本等邊三角形中間六邊形部分，剩下的各頂點處的3個三角形，稱為一階基本三角形（如圖1（a）所示），其并集記為S1.接著對剛剛的3個一階基本三角形作相同的處理，得到32個二階基本三角形（如圖1（b）所示），其并集記為S2.又對二階基本三角形再作同樣的操作，得到33個三階基本三角形（如圖1（c）所示），其并集記為S3.

無限重復上述所描述的過程，得到一串的Sn(n=0,1,2,…):S0?S1?S2?…?Sn?…，因為每個Sn為緊集，所以是具有壓縮比為的Sierpinski地毯，記為F，其Hausdorff維度s=dimHF=log33=1.

一些基本概念、符號和已知結果見文獻[6].

定義1.2[6]設F?Rn，f:F→Rn為一映射，使得對常數L＞0和α＞0，滿足

則稱不等式（1）為F在Rn上的Lipschitz映射.

2 主要結果

定理2.1 設F是由單位三角形通過以上的方法得到的，構造的每一步是以三角形的頂點，繪制3個小三角形，每個小三角形的邊長為原來三角形邊長的，保留三個頂點處的三角形，則Hl(F)=1（見圖1（a））.

圖1 三分Sierpinski墊片

證明首先F的討論Hausdorff測度上限的估計，選取定義域為U實閉圓盤以A為中心，AB為半徑，如圖2，此時，U包含3個，故由文獻[7]中（13）式得

再利用垂直射影估計下限，用proj表示到x軸的垂直射影，垂直射影距離不會有所增加，即

所以，proj為Lipschitz映射，通過F的構造可知，F在x軸上的射影或“影子”，projF為單位區間[0,1]，應用（3）式得

因此，Hl(F)=1.

注1 本文分別應用自相似集的Hausdorff測度的求上限的有效方法，以及應用垂直射影這一方法來估算Hausdorff測度上限和下限，進而求得文獻[4]中所構造的Sierpinski墊片的Hausdorff測度的確切值，比文獻[4]中根據質量分布原理所給出的證明方法更加簡單便捷，更具有可行性.

圖2

[1]許紹元，周作領，蘇維宜.自相似集的質量分布原理與Hausdorff測度及其應用[J].數學學報，2010，53（1）：117-124.

[2]許紹元，朱傳喜.關于Sierpinski墊片的Hausdorff測度的一個注記[J].南昌大學學報，2004，26（2）：23-24.

[3]燕子宗，王章雄.Sierpinski墊片的一個新的Hausdorff覆蓋[J].荊州師范學院學報，2000，23（5）：15-17.

[4]鐘婷.一個Sierpinski墊片Hausdorff測度的初等證明[J].湘潭大學自然科學學報，2004，26（4）：6-7.

[5]FALCONER K.Fractal Geometry-Mathematical Foundations and Applications[M].New York：John Wiley and sons,1990.

[6]Kenneth Falconer.分形幾何數學基礎及其應用[M].北京：人民郵電出版社，2007.

[7]許紹元.關于自相似集的Hausdorff測度的一個判據及其應用[J].數學進展，2002，31（2）：157-162.

The Calculation of the Exact Value for Hausdorff Measure of Sierpinski Carpet

ZHENG Bing-rong，LI Chu-ling，XU Shao-yuan
（College of Mathematics and Statistics,Hanshan Normal Univeisity,Chaozhou,Guangdong，521041）

A Hausdorff measure of Sierpinski car pet was studied in this paper.First,we got a upper bound of Hausdorff measure of Sierpinski carpet by an effective method of lower bound for the simple fractal of Hausdorff measure.Then we got the upper bound of Hausdorff measure of Sierpinski carpet by the method of the Vertical mapping principle.Thus the exect value of this Sierpinski carpet was presented.At the same time, this method was more simple than others.

Sierpinski carpet;Vertical mapping principle;Hausdorff measure

O 174.12

：A

：1007-6883（2016）06-0012-03

責任編輯 朱本華

2016-06-26

國家大學生創新創業訓練項目（項目編號：201310578014）.

鄭冰蓉（1995-），女，廣東潮州人，韓山師范學院數學與統計學院2014級在讀本科生.許紹元為通訊作者.