一類具阻尼項的三階非線性泛函微分方程的振動性分析

林文賢

（韓山師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東潮州 521041）

一類具阻尼項的三階非線性泛函微分方程的振動性分析

林文賢

（韓山師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東潮州 521041）

作為機械、電子振蕩的數(shù)學模型——泛函微分方程的振動性研究在理論和實際中都有著重要意義.對于二階泛函微分方程的振動性研究已經(jīng)有了許多結(jié)果，但對于三階中立型泛函微分方程的振動性研究結(jié)果卻很少.利用廣義Riccati變換和積分平均技巧，研究一類具阻尼項的三階非線性泛函微分方程的振動性和漸近性，建立了該類方程的所有解振動或收斂于零的若干新的充分條件，推廣和改進了一些文獻中的結(jié)果.

三階中立型方程；阻尼項；振動性

1 引言

眾所周知，振動是系統(tǒng)的主要動力學性質(zhì)之一，在日常生產(chǎn)、生活中，振動現(xiàn)象屢見不鮮，如機械振動、聲帶振動、電磁振蕩、熱運動和原子運動等.由于振動的復(fù)雜性，人們往往通過簡化假設(shè)，建立相應(yīng)的數(shù)學模型，把復(fù)雜的振動問題用相對簡單的數(shù)學方法加以描述，這便是動力方程的振動理論.動力方程的振動理論是微分方程定性理論的一個重要分支，在控制工程、機械振動、生物制藥、力學等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價值.

1836年，Sturm在研究熱傳導(dǎo)問題時首次研究了二階動力方程的振動性.此后一個多世紀，微分方程的振動理論發(fā)展比較緩慢，直到20世紀七八十年代，微分方程的振動理論逐漸成為了國內(nèi)外學者研究的熱點；隨著研究的深入，研究的對象由線性微分方程拓展到次線性方程、半線性方程、超線性方程等情形，方程的階數(shù)由二階拓展到三階，再拓展到偶數(shù)階，由連續(xù)動力拓展到離散動力方程、時間尺度上的動力方程，而且研究的方程也由一般情形拓展到時滯方程、中立型方程、阻尼方程等情形.

急動度是描寫機械運動的一個重要的基本概念.文獻[1]介紹了位移對時間的三階導(dǎo)數(shù)——急動度的歷史背景，并考慮了其在凸輪和星形輪等間歇運動機械的設(shè)計等方面的應(yīng)用.急動度作為加速度隨時間的變化率，是變加速動力學的基本概念，它與三階微分方程密切相關(guān).

近年來，泛函微分方程的振動性和漸近性研究開始受到關(guān)注，出現(xiàn)了大量的研究論文和專著[1-22].而相對來說，三階微分方程的振動結(jié)果比較少見，最近的文獻可以參看文獻[23-33].

本文將考慮如下的一類具阻尼項的三階非線性中立型泛函微分方程

如果函數(shù)x(t)∈C1[Tx,∞),Tx≥t0，使得r(t)y″(t)∈C1[Tx,∞)且在[Tx,∞)上滿足方程（E），則稱x(t)為方程（E）的解.

本文僅考慮方程（E）滿足sup{|x(t)|:t≥T}＞0對一切T≥Tx成立的解.如果方程（E）的解有任意大的零點，則稱該解為振動的；如果方程（E）的解都振動，則稱方程（E）為振動的.否則稱方程（E）為非振動的.

2 若干引理

3 主要結(jié)果

定理1 設(shè)n＞1和（2）式成立.若存在函數(shù)ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)),使得

如果y(t)為(B)型，證明與定理1的第二部分一樣，故省略.定理3證畢.

注 當m(t)=0時方程（E）就是文獻[30]所研究的方程，因而本文的結(jié)論推廣和包含文[30]的結(jié)果.

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Oscillation Analysis of Certain Third-Order Neutral Nonliner Functional Differential Equations with Damping

LIN Wen-xian
（College of Mathematics and Statistics,Hanshan Normal University,Chaozhou,Guangdong,521041）

The research on oscillation for general mechanical and electronic vibration mathematical models，which are usually functional differential equations，has important implications in both theory and practice.There have been many results about the oscillation for second order functional differential equations，but there are few research results about the third order case.By means of the generalized Riccati transformation and integral averaging technique，this paper establishes several new oscillation criteria for certain third order functional differential equations with distributed delays，which generalize and improve some known results in the literature.

third-order neutral equations;damping terms;oscillation

O 175.10

：A

：1007-6883（2016）06-0001-07

責任編輯 朱本華

2016-09-14

廣東省高等教育教學改革項目（項目編號：GDJG20142396）；廣東省高等學校特色創(chuàng)新科研項目（項目編號：2014GXJK125）.

林文賢（1966-），男，廣東潮州人，韓山師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院教授.