混沌振子檢測微弱信號的抗噪聲能力研究

劉 燕 張翠俠 張明玉

（宿州學院，安徽 宿州 234002）

混沌振子檢測微弱信號的抗噪聲能力研究

劉 燕 張翠俠 張明玉

（宿州學院，安徽 宿州 234002）

使用混沌振子檢測微弱信號時,只要把含有已知頻率的待測信號加入一個對應于此頻率的、處于混沌臨界狀態的混沌系統中，該混沌系統的動力學行為就會發生很大變化，以此來判斷微弱信號的存在。往往輸入信號和噪聲同時作用于混沌系統，這就要求噪聲不能引起混沌系統狀態的改變。在此基礎上，重點從理論和數值仿真分析了噪聲對混沌振子系統狀態的影響。并提出了基于自相關方法和混沌系統相結合檢測微弱信號的新方法。

微弱信號；混沌振子；隨機噪聲；自相關方法

故障發生的早期，信號本身比較微弱，如果有噪聲的存在，更難提取特征信號。很多學者致力于小波消噪[1,2]、 Winger-Ville分布[3]， EMD[4,5]等方法的研究，如果采用上述線性信號分析方法進行早期故障診斷，非線性成分減少，不能夠真實反映非線性振動的特質。混沌振子理論針對非線性信號檢測提供了一種新的提取方法，文獻[6]提出了一種基于混沌振子和局域波的微弱信號檢測方法，并成功的提取轉子系統早期的故障信息。文獻[7]提出了基于經驗模態分解(EMD)和Duffing振子相結合的診斷方法，利用該方法能成功的檢測齒輪箱軸承故障。使用混沌振子來檢測微弱信號時,只要把同樣頻率的微弱信號作用于處于混沌臨界狀態的混沌系統中，該混沌系統的動力學行為可由混沌臨界狀態轉變成大尺度周期狀態，以此來檢測微弱信號。往往信號和噪聲是同時存在的，而噪聲又是隨機產生的，因此是否引起混沌振子的動力學行為發生改變決定了該檢測方法的準確性，目前還沒有文獻給出確定的結論。本文分別從數學模型和數值仿真兩方面研究噪聲對混沌振子系統臨界狀態的影響。并將傳統的時域檢測自相關方法結合混沌振子檢測微弱信號，有效的提高了信噪比。

1. 混沌振子的動力學形態

混沌振子檢測模型是通過Homels型Duffing方程[8]建立的，方程形式如下：

其中k為阻尼比，取k=0.5；-x+x3為非線性恢復力；fcos(wt)為內置信號。

令 t=ω0τ，并且當外部周期信號加入時，式(1)變為

式中：ω0為內置信號攝動力的頻率, ω1為被測周期信號的頻率，θ為被測周期信號的相位，N(t)為均值為0的隨機噪聲。

2. 噪聲對混沌振子狀態的影響

2.1 理論狀態下噪聲對Duffing振子混沌狀態的影響

假設方程（1）在混沌臨界狀態下解為x(t)，當加入均值為零、方差為σ2的白噪聲n(t)時，對解x(t)的擾動用 表示，那么式（1）表示為：

式(3)減去(1)式得：

由于Δx很小，略去Δx的高階項，令c(t)=1-3x2(t)可得:

將式(6)寫成矢量微分方程的形式

式中

式中，Φ是系統的狀態轉移矩陣，

為方程的零輸入解，將快速衰減為零。此時只考慮穩態時的特性，式(9)變成

均值

方差矩陣為

此時

通過分析可知，隨意分布的零均值噪聲不能使系統的原有運動軌跡發生變化，只將外圍軌道變的粗燥，當演化時間趨于無限長時，混沌系統對噪聲有一定的免疫力。而在我們實際檢測中，演化時間是有具體的數字的，所以，噪聲還是會對混沌系統產生一定影響，但總的來說，混沌系統已對噪聲信號體現出十分強的免疫力。

2.2 仿真研究噪聲對混沌振子系統臨界狀態的影響

通過改變白噪聲的強度來研究對Duffing振子臨界狀態的影響，結果如下表所示（表1）。采用計算步長h =0.02，數據長度n=9126，ω0=2×π×100，對式(2)進行離散化并采用4階Runge-Kutta法進行求解，計算得到混沌振子閾值fb=0.5665。

表1 噪聲對不同策動力值混沌陣子的影響a

從表1可以看出，噪聲方差不同，系統輸出可能是混沌狀態也可能是大尺度周期狀態，系統的狀態不確定，噪聲有可能引起系統的動力學行為發生變化。從f=0.5665和f=0.5662的數據發現，驅動值不一樣，系統的抗噪聲能力也不同，驅動力幅值越接近系統的臨界閾值，對噪聲越敏感。這是由于系統本身處于混沌很深的狀態，噪聲很難引起系統狀態的改變。從表1可以看出，數值仿真結果和理論結果有微小的差距，當用數學方程分析噪聲對混沌振子狀態的影響時，很多客觀因素考慮的不是很全面，致使結果不夠精確，總體來說，混沌振子系統對噪聲表現了很強的免疫力。

3. 混沌振子抗噪聲的能力

混沌振子對噪聲有極強的免疫力，但是混沌系統能夠接受最低信噪比是多少呢?下面通過仿真來分析。

取待測信號為：

式中：A為信號幅值；g為均值為0的高斯白噪聲方差。

將(13)帶入式(1)得：

當k=0.5,ω0=2×π×100rad/s,計算步長h=0.02, n=9126，計算得到混沌振子閾值fb=0.5665。令f=0.56 ，A=0.04，f +A ＞ fb 。當噪聲強度g=0時，振子相圖狀態是大尺度周期狀態，分別取噪聲強度g=0.6、0.7、0.8、0.9，觀察相圖的變化，結果如圖1所示。

圖1 不同噪聲強度下的混沌振子相圖

由圖1(a)和(b)圖可知，相圖仍然處于大尺度周期狀態，繼續增加噪聲強度，由圖(d)可知，相圖狀態發生很大的改變，振子由大尺度周期狀態轉變到混沌狀態，此時無法正確檢測微弱信號。

4. 自相關方法與混沌振子相結合檢測微弱信號

對于給定的信號，任何時刻的取值都具有很高的相關性，而對于隨機噪聲，相關性就比較差。自相關就是利用噪聲與噪聲、噪聲與信號之間的相關性比較差來提高信號的信噪比的。假設待檢測信號表示為：

則f(t)自相關函數為

其中：Rss(τ)為s(t)與s(t)自相關函數，Rns( τ)是n(t)與s(t)的自相關函數，Rnn(τ)是n(t)與n(t)的自相關函數。由于周期信號s(t)與隨機噪聲n(t)毫無關聯，其互相關函數為零，故

式中: τ為時移,上式中只要積分時間很長，Rnn( τ)就會衰減很快。但是工程實際中，積分時間不可能很長，所以還是會殘留一定量噪聲的。因此，由式(16)可知，將含噪信號經過自相關計算，輸入信號的頻率并沒有改變，只是信噪比提高了。信號的檢測流程如圖2所示。

圖2 檢測框圖

仿真分析：將沒有經過自相關處理的信號和經過自相關處理的信號分別輸入到混沌振子系統中，得到的結果如表2所示。

表2 自相關前后檢測結果比較

由表2可以看出，基于自相關和混沌振子的檢測方法，無論從仿真實驗還是理論分析，都充分表明了這一方法對噪聲是有很強的遏制能力且信噪比的門限較低。基于自相關和混沌振子的檢測方法能夠有效解決常規檢測門限高這一現象，因此將該方法運用到實際工作中, 將擁有十分可觀的發展前景。

5. 結論

（1）從數學模型和仿真究中證明了噪聲對混沌振子檢測微弱信號的影響，發現隨意分布的零均值噪聲很難使系統的原有軌跡發生變化。

（2）對于信噪比很低的微弱信號，采用自相關方法和混沌振子相結合，能夠提高對噪聲的抑制能力。

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Research on Anti-noise Ability of Chaotic Oscillator to Detect Weak Signals

Liu Yan, Zhang Cui-xia, Zhang Ming-yu
（ Suzhou University, Suzhou Anhui 234002,China）

When using the chaotic oscillator in weak signal detection, as long as the containing known frequency of the signal to the frequency in the chaotic critical state of chaotic system, dynamical behavior of the chaotic system will have great changes.Often the input signal and noise are simultaneously acting on the chaotic system, which requires that the noise can not cause chaos system state changes.For this reason, the influence of noise on the chaotic oscillator system is analyzed by theoretical and numerical simulation.It propose a new method based on auto correlation method and chaotic system to detect weak signal.

weak signals; chaotic oscillator; random noises; auto correlation method

T H133；TP 274

A

1672-0547(2016)05-0110-03

2016-09-19

安徽省高校自然科學研究項目(KJ2016A776)；宿州學院煤礦機械與電子工程研究中心開放課題(2014YKF16)

劉 燕(1987-),女,安徽宿州人,宿州學院機械與電子工程學院教師,碩士,研究方向：設備故障診斷。