正弦余弦算法-投影尋蹤水污染物總量分配模型

崔東文

(云南省文山壯族苗族自治州水務局,云南 文山 663000)

水污染物總量分配是水污染物總量控制制度的重要內容之一,科學、客觀的水污染物分配對于推進工業企業污染治理、調整產業結構、改善區域水環境質量、促進經濟社會發展方式轉變具有重要意義。常用于水污染物總量分配的方法有等比例分配法[1]、基尼系數法[2-3]、層次分析法[4]、分配指數法[5]、信息熵法[6]和組合賦權法[7]等。探索科學、客觀的水污染物分配模型及方法仍是當前國家實行水污染物總量控制制度的重要內容和研究熱點。投影尋蹤(projection pursuit,PP)是將高維數據投影到低維空間,并在低維空間進行數據分析研究的統計方法,其在克服維數禍根以及解決小樣本、超高維等問題中具有明顯優勢,在行業領域具有廣泛應用[8-9]。在水污染物分配中,PP模型最佳投影方向a的選取對于PP模型確定各水污染物分配指標的權重極為關鍵。目前,除遺傳算法(genetic algorithms,GA)[10-11]、粒子群優化(particle swarm optimization,PSO)算法[12]用于優化PP模型最佳投影方向a外,人工魚群(artificial fish swarm algorithm,AFSA)算法[13]、人工蜂群(artificial bee colony,ABC)算法[14]、混合蛙跳算法(shuffled frog leaping algorithm,SFL)[15]、蟻群優化(ant colony optimization,ACO)算法[16]、雞群優化(chicken swarm optimization,CSO)算法[17]等也嘗試用于PP模型最佳投影方向a的選取,并取得了較好的應用效果。然而,對于高維優化問題,傳統智能優化方法普遍存在早熟收斂和易陷入局部極值等不足。正弦余弦算法(sine cosine algorithm, SCA)是文獻[18]于2015年基于正弦余弦函數提出的一種新型優化算法,該算法通過創建多個隨機候選解,利用正弦余弦數學模型來求解最優化問題,能夠探索不同的搜索空間,有效避免局部最優,具有模型簡單、調節參數少、收斂速度快、全局尋優能力強等優點,在函數優化和工程設計領域得到初步應用[18]。

表1 水污染物分配指標體系

雖然PP模型在各行業領域均有廣泛應用,但在水污染物分配中的應用較少,尤其是在與新型智能算法相融合的水污染物分配中的應用更為少見。本文基于水資源稟賦條件、效率原則和尊重現狀原則選取水資源可利用量等10個水污染物分配指標構建SCA-PP水污染物分配模型,以云南省文山壯族苗族自治州(以下簡稱文山州)8縣(市)水污染物分配為例進行實例研究。主要做法為:①選取水資源可利用量、COD納污能力等10個指標構建水污染物分配指標體系;②采用6個典型10維測試函數對SCA算法進行仿真驗證,并與ACO算法、模擬退火(Simulated Annealing,SA)算法、文化算法(Cultural Algorithm,CA)、布谷鳥搜索(Cuckoo Search,CS)算法和ABC算法的仿真結果進行對比分析;③利用SCA算法優化PP模型最佳投影方向a,構建SCA-PP水污染物分配模型,確定云南省文山壯族苗族自治州8縣(市)水污染物分配權重,并計算各縣(市)COD和NH3-N的分配量。

1 水污染物分配指標體系

水污染物分配涉及區域內社會、經濟、水資源條件等多方面因素的影響和制約,屬多目標多層次決策優化問題。筆者遵循水資源稟賦條件、效率原則和尊重現狀的原則,并結合區域實際,選取10個指標構建水污染物分配指標體系。具體為:基于水資源稟賦條件選取水資源可利用量、COD納污能力、NH3-N納污能力3個指標;基于高效性原則選取城鎮污水處理率、二產比例和萬元產值廢水排污量3個指標;基于尊重現狀原則選取GDP、總人口、工業污水排放量和年度用水總量4個指標(表1)。

2 SCA-PP水污染物分配模型

2.1 PP模型

PP模型用于水污染物分配的簡要算法如下[8,17]。

a. 數據預處理。設水污染物分配數據集為{x(i,j)|i=1,2,…,n;j=1,2,…,m},為避免水污染物分配指標歸一化后出現0的情形,對于正向指標采用式(1)進行數據處理。

(1)

式中:x(i,j)、x*(i,j)分別為第i個區域第j個水污染物指標值及歸一化后的值;xmax(j)、xmin(j)分別為第j個水污染物指標的最大、最小值;n、m分別為區域總數及水污染物指標數目。

b. 構造投影指標函數。PP方法就是將m維數據{x(i,j)|j=1,2,…,m}綜合成a={a(1),a(2),…,a(m)}為投影方向的一維投影值z(i)。

(2)

式中,a為單位長度向量。

確定投影指標時,要求投影值z(i)的局部投影點盡可能密集,因此,構造投影指標函數為

Q(a)=SzDz

(3)

式中:Sz為投影值z(i)的標準差;Dz為投影值z(i)的局部密度。Sz、Dz的表達式參見文獻[8,17]。

c. 優化投影指標函數。將搜尋最優投影方向問題轉化為非線性最優求解問題,即:

(4)

d. 計算投影值。將最佳投影方向a代入式(2)，得到投影值z(i)。

2.2 SCA算法

一般來說,以群體為基礎的優化算法是通過一組隨機解以及更新策略而開始優化迭代過程,并利用目標函數進行反復評價,在保證足夠數的隨機解和優化步驟(迭代)條件下,算法可大大增加獲得最優解的概率。參考文獻[18],SCA算法提出以下位置更新公式:

(5)

(6)

通過式(5)、式(6)組合后的位置更新公式如下:

(7)

式中,r4為rand(0,1)隨機數。

SCA算法中4個主要參數為r1、r2、r3和r4。參數r1決定了下一空間位置區域(或移動方向),該區域或移動方向可以是候選解和目標解之間的任一空間或之外的空間;參數r2定義了在移動方向上應該移動的步長;參數r3提供了隨機選擇權,即隨機強調(r3>1)或淡化(r3<1)對所定義距離的影響;參數r4表示如何選擇在式(6)、式(7)中的正弦和余弦分量之間切換。

一種優秀算法應能夠平衡勘探和開采能力,以期遍歷搜索空間內所有區域,并最終收斂到全局最優。為了平衡SCA算法中正弦和余弦函數在搜索范圍內的勘探和開采能力,利用式(8)來調整參數r1的自適應變化策略。

(8)

式中:t為當前迭代次數;T為最大迭代次數;a為常數。

在理論上,SCA算法基于下述原因能獲得較好的優化性能:

a. 針對給出問題,SCA算法創建并改進一系列候選解,其本質有益于全局勘探和局部優化；

b. 在探索所定義的搜索空間之外的區域時,正弦和余弦函數返回一個大于1或小于-1的值；

c. 當正弦和余弦函數返回值在-1和1之間時,具有較好搜索前景的空間得到開發；

d. SCA算法在定義范圍內運用正弦和余弦函數順利地從勘探階段過渡到開發階段；

e. 在優化過程中,全局相對最佳的候選解被存儲為一個可變目標點而不丟失；

f. 在優化過程中,候選解總是在當前最佳候選解周圍更新他們的位置,并趨向于搜索空間中的最佳區域。

2.3 SCA-PP水污染物分配實現步驟

SCA-PP模型水污染物分配實現步驟可歸納如下:

a. 構建水污染物分配指標體系,利用式(1)進行指標一致性處理。

b. 確定目標函數。由于SCA算法是求解極小值,因此取式(4)的倒數作為目標函數,即以式(9)作為適應度函數:

(9)

c. 初始化算法參數。設置群體數目N、最大迭代次數M、常數a、參數r2、r3,搜索空間,設置算法終止條件,并在解空間內隨機初始化候選解空間位置Xij(i∈[1,2,…,N],j∈[1,2,…,D])。

d. 基于式(9)計算群體候選解的第一次迭代適應度值,找到并保存當前群體中最佳候選解。

e. 令t=2,利用式(8)計算參數r1,利用式(7)更新候選解位置。

f. 計算新候選解的適應度值,并與前次迭代最佳候選解的適應度值進行比較。若當前候選解優于前次候選解,則保存當前候選解為最佳候選解;否則,保存上次候選解為最佳候選解。

g. 判斷算法是否滿足終止條件,若滿足,則轉到步驟h;否則,令t=t+1,重復執行步驟f～g。

h. 輸出最優候選解適應度值及所處空間位置,最優候選解所處空間位置即為最佳投影方向a。

i. 將最佳投影方向a代入式(2)求得各縣(市)最佳投影值z′(i),將z′(i)歸一化處理即為各縣(市)水污染物分配權重,該權重乘以水污染物控制總量即為各縣(市)水污染物分配結果。

表2 基準函數

3 實驗仿真與結果分析

針對10維優化問題,采用6個典型10維測試函數(表2)對SCA算法尋優能力進行仿真驗證,求測試函數的極小值,并與ACO、SA、CA、CS和ABC算法的尋優結果進行比較,見表3和圖1。表2中Sphere、Schwefel 2.22函數常用于測試算法的收斂速度和收斂精度;Griewank函數常用于測試算法對全局與局部搜索能力的平衡性能;Quadric、Rastrigin函數常用于測試算法的全局搜索能力;Ackley函數常用于測試算法跳出局部極值的能力。實驗參數設置如下:SCA算法最大迭代次數T=1 000,群體數目N=50,常數a=2,參數r2=2πrand(),r3=2rand()。ACO算法最大迭代次數T=1 000,群體規模N=50,常量Q=1,最大信息素揮發系數ρmax=0.4,最小信息素揮發系數ρmin=0.1,最大信息量τmax=1,最小信息量τmin=0.1。SA算法最大迭代次數T=1 000,種群規模N=50,初始溫度T0=500,終止溫度Tend=0.001,溫度冷卻系數q=0.99。CA算法最大迭代次數T=1 000,群體規模m=50,根據標準知識產生的群體規模m′=50。CS算法最大迭代次數T=1 000,鳥窩位置數N=25、發現概率pa=0.25。ABC算法最大迭代次數T=1 000,種群規模SN=50,局部循環次數lc=60。

6種算法基于Matlab 2010a用M語言實現,對表2中6個測試函數重復進行20次尋優計算,并從最優值、最劣值、平均值、標準差4個方面進行評估。其中,尋優平均值反映的是算法在運行至最大迭代次數時可以達到的求解精度,標準差反映算法的收斂穩定性。

表3 函數優化對比結果

圖1 各函數測試尋優曲線

a. 從表3可知,對于Sphere、 Schwefel2.22函數,SCA算法尋優精度明顯優于ACO、SA、CA、CS和ABC算法,表現出較好的收斂精度和收斂速度;對于Griewank函數,SCA算法尋優獲得了理論最優值,尋優效果遠遠優于ACO、SA、CA、CS和ABC算法,表現出較好的全局與局部搜索平衡能力;對于Quadric函數,SCA算法除最優值尋優劣于CA算法外,其余尋優精度均優于ACO、SA、CA、CS和ABC算法;對于Rastrigin函數,SCA算法尋優獲得了理論最優值,尋優效果遠遠優于ACO、SA、CA、CS和ABC算法,表現出較好的全局搜索能力;對于Ackley函數,SCA算法除標準差劣于ACO、CA算法外,其余尋優精度同樣優于ACO、SA、CA、CS和ABC算法,具有跳出局部最優的良好性能。

b. 從圖1可見,SCA算法尋優效果明顯優于ACO、SA、CA、CS和ABC算法,具有較好的收斂速度、收斂精度和極值尋優能力。

上述比較表明,SCA算法利用正弦余弦數學模型來求解最優化問題,能夠探索不同的搜索空間,有效避免局部最優,具有模型簡單、調節參數少、收斂速度快、尋優精度高、全局尋優能力強以及收斂穩定性與收斂可靠性好等特點。

4 實例應用

4.1 研究區概況

云南省文山州位于云南省東南部,全州總面積31 456 km2,轄文山、硯山、西疇、麻栗坡、馬關、丘北、廣南、富寧7縣1市。境內河流分屬紅河流域和珠江流域,多年平均徑流深501 mm,水資源總量157.7億m3。依據《文山州“十三五”污染減排的重點、難點及思路對策研究》,到2020年云南省文山州COD和NH3-N排放總量控制在31 328 t、3 330 t以內,比2015年的32 977萬t、3 510萬t均減少約5%。為能科學、客觀地對水污染物進行分配,本文基于水污染物分配指標,利用SCA-PP模型將云南省文山州2020年水污染物排放控制總量分解到文山、硯山、西疇、麻栗坡、馬關、丘北、廣南、富寧7縣1市,為“十三五”云南省文山州實施更科學、合理的區域水污染物總量分配提供參考。云南省文山州所轄8縣(市)用于水污染物分配的指標見表4。

4.2 水污染物分配模型求解

根據SCA-PP水污染物分配模型實現步驟,采用式(1)歸一化后的各縣(市)指標構造投影指標函數,并利用SCA算法求解PP模型最佳投影方向(SCA算法搜索空間設置為[0,1],其余參數設置均同上)。將SCA-PP模型連續運行5次,進化過程見圖2,計算得到各水污染物分配指標5次最佳投影方向均為a=(0.250 5 0.123 9 0.109 1 0.396 6 0.383 2 0.416 3 0.380 9 0.200 1 0.373 70.328 3),5次最佳適應度值均為0.004 386 019 525 204 0。將此最佳投影方向代入式(2),得到8縣(市)水污染物分配的投影值z′(i)=(2.227 6 1.493 0 0.294 4 1.201 7 1.654 7 1.105 5 1.658 1 1.504 7),將z′(i)歸一化處理后即為8縣(市)水污染物分配權重,該權重分別再乘以2020年文山州COD和NH3-N排放控制總量31 328 t和3 330 t，即可得到文山州8縣(市)2020年水污染物分配量(表5)。

表4 云南省文山州所轄行政區水污染物分配指標數據

注:資料來源于2014年《文山州環境質量公報》《水資源公報》和《文山州水資源保護規劃》等。

圖2 SCA-PP 5次進化過程

表5 文山州8縣(市)2020年水污染物分配比例及分配量

從圖2及表5可以得到以下結論:

a. SCA算法連續5次運行均迭代至100次就收斂到了全局最優解4.386×10-3,且5次連續運行優化結果完全一致,再次驗證了SCA算法具有較好的收斂速度、全局尋優能力和穩健性能。

b. 從最佳投影方向優化結果來看,萬元產值廢水排污量、城鎮污水處理率、二產比例和GDP 4個指標權重最大,在0.380 9～0.416 3之間,其對水污染物分配影響也最大;其次為工業污水排放量、用水總量,權重分別為0.373 7和0.328 3;其余4個指標權重在0.109 1～0.250 5之間,對水污染物分配的影響相對較小。

c. 從SCA-PP模型水污染物分配結果來看,文山市水污染物分配比例最大,為20.00%,這是由于文山市是文山州經濟、政治、文化中心,且為州府所在地,其經濟、社會、工業等最為發達,理應承擔更大的水污染物削減任務。其次為經濟總量、人口規模及工業水平相對發達的廣南、馬關、富寧和硯山4縣,水污染物分配比例在13.40%～14.88%之間。其中,廣南縣在人口規模、年度用水量、水資源可利用量和城鎮污水處理率方面表現最為突出,水污物分配比例僅次于文山市;馬關縣工業相對發達,COD和NH3-N納污能力最大,水污物分配比例也相對較大;富寧和硯山分別在年度用水量、NH3-N納污能力、城鎮污水處理率和萬元產值廢水排污量、二產比例等效率方面表現突出。麻栗坡縣人口規模不大,但工業較為發達,在用水效率方面表現相對突出,水污染物削減比例為10.79%;丘北縣在水資源稟賦方面表現突出,水污染物削減比例為9.92%。西疇縣是文山州經濟總量、人口規模最小,工業水平最欠發達的區域,因此,水污染物分配比例最小,僅為2.64%。

當然,表4中水污染物削減指標均屬動態指標,在實際應用中應注意時適調整指標數據,以期獲得更加科學合理的水污染物分配結果。

5 結 語

本文基于水資源稟賦條件、效率原則和尊重現狀原則構建水污染物分配指標體系,提出SCA-PP水污染物分配模型,以文山州所轄8縣(市)水污染物分配為例進行實例研究,結果表明:

a. 選取的10個指標構建符合區域實際的水污染物分配指標體系,為“十三五”文山州開展區域水污染物分配提供參考和借鑒。

b. 通過6個典型10維測試函數對SCA算法進行仿真驗證,并與ACO、SA、CA、CS和ABC算法的尋優結果進行比較。結果表明,SCA算法尋優效果明顯優于ACO、SA、CA、CS和ABC算法,具有模型簡單、調節參數少、收斂速度快、尋優精度高、全局尋優能力強以及收斂穩定性與收斂可靠性好等特點,具有較好的應用前景。

c. 利用SCA算法搜尋PP模型最佳投影方向a,提出SCA算法與PP模型的融合方法及模型,不僅提高了PP模型的分配精度,而且為優化解決PP模型最佳投影方向提供了新的途徑。

d. 從實例水污染物分配結果來看,SCA-PP模型可以獲得更加科學合理的水污染物分配結果。在實際應用中,可根據各區域實際增加或減少水污染物分配指標,以及通過適調整指標數據,以獲得更科學合理且滿足各區域污染物削減任務的分配結果。本文提出的模型及方法具有通用性,有一定的參考價值。

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