關于冪級數的一點注記

張曉斌+韓穎

摘要：本文介紹了冪級數的概念及相關性質，并針對某類函數的冪級數展開進行了較詳細的解釋，有助于加強學生對該知識點的理解，同時也可供同行教師參考.

關鍵詞：高等數學;函數;冪級數

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2016）06-0186-02

冪級數是高等數學中的一個重要內容，也是一種有效的計算工具，它能應用于極限的求法、數項級數求和、定積分和積分的計算、解常微分方程，還能對泰勒級數、和傅里葉級數展開起著鋪墊的作用，而且用它解題往往思路清晰、邏輯清楚.

一、冪級數的概念

（一）冪級數

形如 ?a ?x ?或 ?a ?（x-x ?） ?的級數稱為冪級數，其中常數a ?，a ?，a ?，…，a ?…叫作冪級數的系數[1].為討論方便，我們這里只考慮 ?a ?x ?這種形式.

（二）收斂半徑與收斂區間

如果冪級數 ?a ?x ?不是僅在x=0一點收斂，也不是在整個數軸上都收斂，則必有一個完全確定的正數R存在，它具有下列性質：當|x|R時，冪級數 ?a ?x ?發散;當x=R或x=-R時，冪級數 ?a ?x ?可能收斂也可能發散.

正數R通常叫作冪級數 ?a ?x ?的收斂半徑.由冪級數在x=±R處的收斂性決定.

它在區間[-R，R）、（-R，R]或[-R，R]上收斂.這樣的區間叫作冪級數 ?a ?x ?的收斂域，而開區間（-R，R）稱為冪級數的收斂區間.如果冪級數 ?a ?x ?僅在x=0收斂，就規定R=0，如果冪級數 ?a ?x ?對一切x都收斂，則規定R=+∞.

（三）收斂半徑的求法

1.對于不缺項的冪級數 ?a ?x ?，

定理：設冪級數 ?a ?x ?的系數有 ? ?存在或者為+∞，則R= ? ?.

定理[2]：設冪級數 ?a ?x ?的系數有 ? ?=ρ存在或者為+∞，則

①當0<ρ<+∞時，有R=1/ρ.

②當ρ=0時，定義R=+∞.

③當ρ=+∞時，定義R=0.

2.對于缺項的冪級數，例如 ?a ?x ?，令u ?=a ?x ?，考慮

= ?=ρx ?，由正項級數比值審斂法，當ρx ?<1時，級數收斂，此時可得

①當0<ρ<+∞時，有R=1/ ?.

②當ρ=0時，定義R=+∞.

③當ρ=+∞時，定義R=0.

二、將函數展開成冪級數

如果f（x）在點x ?的某鄰域內具有各有階導數

f ′（x），f ″（x），f ？蓯（x），…，f ?（x），…，則稱冪級數f（x ?）+f ′（x ?）（x-x ?）+ ?（x-x ?） ?+…+ ?（x-x ?） ?+…為函數f（x）在x=x ?處展開的泰勒級數.特別地.取x ?=0得冪級數f（0）+f ′（0）x+ ?x ? ?+…+ ?x ?+…稱為函數的麥克勞林級數.

定理[1]：假設函數f（x）在x ?的某一鄰域具有各界導數，則f（x）在該領域內能展開成泰勒級數的充分必要條件是f（x）的泰勒公式中的余項R ?（x）當n→∞時的極限為0.

《高等數學》（第五版下冊，同濟大學應用數學系主編）第十一章第四節（P.222）給出了m=1/2及m=-1/2時（1+x） ?的二項展開式：

=1+ ?x- ?x ?+ ?x ?- ?x ?+…，x∈[-1，1]， （1）

=1- ?x+ ?x ?- ?x ?+ ?x ?+…，x∈（-1，1]. （2）

但是該教材并未指出上面兩個式子為何在端點處成立，下面我們給出證明.

證明：對于（1）式，左端 ?顯然在x=±1處連續，我們只需證明（1）式右端的冪級數在x=±1處均收斂即可.對于x=1，（1）式右端即

1+ ?- ?+ ?- ?-…=1+ ?（-1）

u ?，其中u ?= ?，顯然u ?>u ?且0

u ?=0，由萊布尼茲定理 ?（-1） ?u ?收斂，故（1）式右端的冪級數在x=1處收斂.

對于x=-1，（1）式右端即1- ?- ?- ?- ?-…=1- ?u ?，其中u ?= ?，此時

= ? ?= ? ?，正項級數比值審斂法失效.但是

u ? ?= ?· ?· ?· ?· ?· ?·…· ?· ?·

≤ ?· ?· ?· ?· ?· ?·…· ?· ?· ?= ?.

因此u ?≤ ?由正項級數比較審斂法的極限形式，得到 ? ?與p級數 ? ?的斂散性相同，從而 ?u ?收斂，也就是說（1）式右端的冪級數在x=-1處收斂.

對于（2）式，等式左端 ?在x=1處連續，但在x=-1處間斷，實際上x=-1是該函數的無窮間斷點.

對于x=-1，（2）式右端即

1+ ?+ ?+ ?+ ?+…=1+ ?u ?，其中u ?= ?，

u ? ?= ?· ?· ?· ?· ?· ?·…· ?· ?· ?·

≤ ?· ?· ?· ?· ?· ?·…· ?· ?· ?· ?= ?→0，故 ?u ?=0，但是u ? ?≥ ?· ?· ?· ?· ?· ?· ?·…· ?· ?· ?· ?= ?，故

u ?≥ ?· ?，而p級數 ? ?發散，故 ?u ?發散，也就是說（2）式右端的冪級數在x=-1處發散（和為+∞）.

對于x=1，（2）式右端即

1- ?+ ?- ?+ ?-…=1- ?（-1）

u ?，其中u ?= ?，

顯然u ?>u ?且 ?u ?=0，由萊布尼茲定理

（-1） ?u ?收斂，故（2）式右端的冪級數在x=1處收斂.從而完成了證明.

三、總結

本文介紹了冪級數的概念、性質等，并對教材中的一個問題進行了詳細的解答，也是本文的創新點，有助于學生加深對冪級數收斂性的理解，也可供同行教師教學時作為參考.

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]馬曉東，李淑娟.淺談冪級數的斂散性與函數的冪級數展開[J].中國科教創新導刊，2014，（15）：89-90.