在解題中品味數學思維

聞銀順　查曉四

數學是一門邏輯性較強的學科，教師在教學中應該注重學生數學思維的培養，促使學生在解題中更好地體會、品味數學思維，從而有效提升他們的數學思維能力。

一、引導學生采用多種多樣的方法解題，擴散他們的數學思維

在數學解題中，一道題目如果從不同的角度去分析，往往會有很多不同的解題方法。因此，教師應該引導學生采用多種多樣的方法解題，拓展學生的數學知識面，擴散他們的數學思維。如，這樣一道題目：甲乙兩地之間的距離為3000米，小紅騎自行車從甲地出發去乙地，小明騎自行車從乙地出發去甲地，經過5分鐘后兩人相遇。已知小紅騎自行車的速度為每分鐘200米，并且小明比小紅騎車速度快，問小明比小紅的騎車速度快多少？對于這樣的題目，學生通常都會想到兩種解法。解法1：由題目已知條件可以列出算式求出小明的騎車速度為[3000-（200×5）]÷5=400（米/分鐘），再用小明的騎車速度減去小紅的騎車速度就是小明比小紅的騎車速度快多少了，即：400-200=200米/分鐘；解法2：利用算式（3000÷5-200）-200求出答案為200（米/分鐘）。在此基礎上，教師可以引導學生列方程式進行解答，可以先假設小明每分鐘騎車行駛x公里，然后根據題目中的關系列出方程式：200×5+5x=3000。再解方程式得出x=400，而400-200=200就可以得出問題的答案；教師提問：如果直接假設小明每分鐘比小紅多騎行多少米可以列出方程式嗎？學生經過教師這樣的啟發，可以直接假設所要求的問題，也就是小明平均每分鐘比小紅快x米，列出方程式（200+x）×5+200×5=3000，直接解答方程式得出問題的答案。這樣一題多解，并不僅僅是為了解題，而是引導學生采用多種方式進行解題，幫助學生找到更多的解題思路，有效擴展并鍛煉學生的數學思維，同時提升了他們靈活運用數學知識解題的能力。

二、引導學生將題目中的問題進行有效轉換，創新學生的數學思維

數學習題中有很多題目比較繁瑣，關系也很不明確，這時候教師就應該引導學生仔細閱題，找出題目中的關鍵點所在，并對其進行有效轉換，或者選擇逆向的思維進行思考，找出解題思路。如，這樣一道題目：媽媽給了我84元零花錢。商店里巧克力豆9元/包，糕點鳳梨酥16元/包，餅干趣味多25元/包。問：（1）如果只買鳳梨酥，最多能買幾包？還剩多少元？（2）最多可以買多少包趣味多？剩下的錢買巧克力豆，能買多少包？（3）會不會有三種零食都買到了，而錢又剛好花完不剩的情況？這是一道簡單的生活例子的題目，學生在拿到這樣的題后，首先應該認真讀題，找出題目中的數量關系，才能更好地解題。第一個問題很簡單，學生也很快可以得出答案，84÷16=5余數為4，這就表明如果買鳳梨酥，最多可以買5包剩余4元。第二題同樣可以由題意得出84÷25=3，余數為9，而巧克力豆正好是一包9元，所以可以買1包巧克力豆而不剩余錢。第三個問題就有點復雜了，要想分別買有三種零食，又不能有剩余錢。這時候教師可以引導學生分別假設買到的巧克力豆、鳳梨酥和趣味多的包數分別為x、y、z，那么就可以列出9x+16y+25z=84，問題就是要求這個方程有沒有整數解。教師可以引導學生將這個問題轉換為拿所有的錢都去買巧克力豆、鳳梨酥和趣味多看最多可以買幾個，學生得出全部買巧克力豆，最多可以買9包，剩余3元；全部買鳳梨酥，最多可以買5包，剩余4元；全部買趣味多，最多可以買3包，剩余9元。而本題要求三種零食都要買，也就逆向可以得出0

三、引導學生靈活運用有效策略進行解題，提升他們數學思維的靈活性

在數學解題中，教師應該引導學生靈活運用一些有效的策略進行解題，如畫圖策略，訓練學生從不同的角度去思考問題，根據條件和問題靈活地轉換解題思路和方法，從而更好地提升學生數學思維的靈活性。如，這樣一道應用題目：某城市的體育場需要擴建，體育場原來長度為200米，擴建后將體育場的長度加寬了100米，最后體育場的面積增加了10000平方米。問：原來體育場的面積為多少平方米？學生在拿到題目后，很難快速得出解題的思路，為此，教師可以引導學生通過其他的策略方法把這些條件和問題更加清晰地表達出來，如列表或者畫圖，而學生普遍都覺得畫圖更加適合。教師就要求學生用長方形代表原來的體育場，讓學生嘗試用圖來表達題目中的條件和問題，先嘗試獨立畫，隨后在小組里補充交流，最后再全部進行交流。學生最后交流得到的圖形為：長方形代表原來的體育場，知道體育場長200米，先標上200米。接著長增加100米，上下兩條長都要增加100米，標上100米。這時面積增加10000平方米，增加的部分是這個小長方形（打上陰影），問題是求原來的長方形有多少平方米。并將問題標在原來的長方形中。教師提醒學生在畫圖時要按順序畫，把題中的信息都表示出來。然后引導學生根據自己所畫出的圖形，列式解答。而學生可以很快看圖列出式子10000÷100=100（米），得出這是增加部分的長度，也就是原來的寬，再用200×100=20000（平方米），得出原來體育場的面積。通過畫圖比較清晰地了解了題目的意思，就可以快速找到解題思路了，而畫圖的方法也是數學解題中經常會用到的一種策略，因此教師應該引導學生靈活運用一些數學策略進行解題，同時通過這種策略還能有效提升學生數學思維的靈活性。

四、引導學生結合題目正確列出方程式，加深學生的數學思維

數學習題中有很多文字表述比較復雜，條件也比較繁瑣，這時候教師就應該引導學生認真閱讀題目，找出題目中的關鍵所在，根據題目有效列出關系式，加深學生的數學思維，從而更好地進行解題。如，這樣一道題目：一個木桶中裝了100個兩種顏色的球，分別是白色球和紅色球，小明從木桶拿出來白色球的60%，紅色球的40%，木桶中還剩余30個球。求本來木桶中的白色球、紅色球的個數。當學生看到這個題目后，會覺得題目比較復雜，無從下手，于是引導學生結合題目中給出的關系，假設本來木桶中的白色大球和紅色小球數量分別為x和y，要求學生結合題目列出關系式，學生可以很快列出方程式：①100-60%x-40%y=30②x+y=100。由方程②可以得出x=100-y，并將其代入到方程①中，很快就可以得出x、y的值，也就是原來木桶中白色大球和紅色小球的個數。這道題目看似繁瑣，但是根據題目的意思列出正確的方程式，就可以很快地進行解題。因此在遇到這種應用題時，教師可以引導學生結合題意有效假設未知數，繼而正確列出方程式，有效解題，同時更好地強化學生的數學思維。

總之，學生數學思維的有效培養在數學學習中是非常有必要的，也是非常重要的，因此教師在數學教學中，應該通過一些有效的方式積極培養學生的數學思維，讓他們在解題中可以更好地理解、品味數學思維，從而有效提升他們的解題能力和思維創新能力，促進學生更加全面地發展。

（作者單位：安徽銅陵縣順安鎮第二小學）