分類思想在中學數學中的應用

馬書平

摘 要：解決數學問題時會有多種情況，常將它們進行分類，列舉了高中數學中常用的幾種分類形式，每個分類形式都列舉了案例，對照案例進行分析指導，從中找出解決問題的思維方法，從而達到融會貫通的目的。

關鍵詞：分類思想；中學數學；應用

在解決數學問題的時候，往往有多種思路和方法，對盡可能多的情況進行分析和整理，最終求得結果。在這個過程中先是逐步求解，進而綜合求解，這種方法就是分類討論法。這種方法邏輯性強，可以鍛煉學生的思維能力，是一種重要的高中數學思想。下面重點介紹幾類高中數學中常見的分類思想的應用。

一、由絕對值引起的分類討論

絕對值的相關問題，采用分類討論，最常用的方法是零點討論分類，并去絕對值號解答。

例：代數式的所有可能的值有（ ）

A.2個 B.3個 C.4個 D.無數個

分析：1.本題中的a，b皆不能為0。

2.絕對值包含有未知數，而且沒有給出取值范圍，那么就要根據各種情況進行分別討論，將所有情況分類討論，從而得出答案。

二、由不等式引起的分類討論

例：解不等式≥x。

這種無理不等式，首先需要去根號，然后轉化為有理不等式，那么根據不等式的原理，當兩邊同時為正的時候，不等號方向不會改變。那么據此分析此題的運算分類方法，并對x的取值進行分類。

三、由等比數列的前n項和公式引起的分類討論

例：已知等比數列的前n項之和為Sn，前n+1項之和為Sn+1，公比q>0，令Tn=，求Tn。

分析：對于這類問題的計算，要根據q進行分析，分q為1或者q不為1兩種情況。

當q=1時，Sn=na1；當q≠1時，Sn=。

另外，由于當q<1時，qn=0，而已知條件中q>0，

故還需對q再次分類討論。

四、由排列組合問題引起的分類討論

例如，某車間里有10名工作人員，其中4人只能做車工，有3人只能做鉗工，其余的人兩種工作都會。那么如果選擇其中6人，并且保證車工和鉗工人數一樣，都是3個人，那么一共有多少種方案。

如果先考慮鉗工的選擇方案，根據題意可得一共有C36種選

法。但是這樣選擇的話，并不確定所選人員中有幾人是車鉗工都可以做的，那么也就不清楚剩下的人中有幾個人會做車工，所以車工的人員選擇就不能確定。同理，如果先考慮車工，那么鉗工的選擇同樣會出現這樣的結果，因此，需要我們針對兩種工作都能做的工人進行分類討論。

（1）選出的6人中都只會做一種工作；（2）選出的6人中包含1名兩種工作都會的；

（3）選出的6人中含2名兩種工作都會的；（4）選出的6人中含有3名兩種工作都會的。

五、由大小關系引起的分類討論

大小關系在數學中最常見，其他很多數學知識都是以大小關系為基礎進而演化出來的。因此在進行分類討論的時候，一定要注意涉及其中的參變數。

例：已知集合A={x|x2-（2a+1）x+a2+a-2≤0}，B={x|x2-x-2<0}，求A∩B。

分析：集合B易求，集合A中含有參數a，既要考查不等式是否有解及解的情況，又要考查A與B的交集。

六、由直線在坐標軸上的截距引起的討論

例：已知直線經過點（3，2），且在兩坐標軸上的截距相等，求這條直線方程。

很多學生做題出錯，往往是不會審題，看完題目就設直線的截距式方程，然后帶入數值求解，但是很多學生可能會忽略這種方程式的條件限制。即，直線在兩坐標軸上有截距且不為零。而再看本題，題干中提到了截距相等，那么都為0這種結果很多學生就忽略了。所以如果正規解答，要分類討論。

七、由圓錐曲線的統一定義引起的分類討論

例：設k∈R，方程（8-k）x2+（k-4）y2=（8-k）（k-4）表示什么曲線？

分析：容易想到把方程變形為=1，但這種變形需要k≠4，且k≠8，而且k-4與8-k的正負會引起曲線類型的不同，因此對k∈（-∞，+∞）要進行分類：k∈（-∞，4），k=4，k∈（4，8），k=8，k∈（8，+∞），又注意到k-4=8-k>0與k-4≠8-k（k-4>0且8-k>0）表示的曲線是不一樣的，因此還應有一個“分界點”，即k=6，故恰當的分類為（-∞，4），4，（4，6），6，（6，8），8，（8，+∞）。

總之，分類討論這種數學思想在數學學習中有非常重要的作用。

好好利用分類討論，不僅可以總結知識，提高學習效率，更能培養學生的邏輯思維習慣，為解決其他問題打下思維基礎。在解題過程中，巧妙利用分類方法，可以保證結果正確合理。但是也不能盲目套用，還是要根據題目有的放矢地選擇解題方法。在普遍性中關注特殊，在特殊中歸納普遍，這樣才能使學習效果實現最大化。

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編輯 趙飛飛