實驗模態分析快速計算方法與應用研究

謝小平， 姜　彪， 雷　飛

(1.湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙　410082； 2.常州湖南大學 機械裝備研究院，常州　213164)

?

實驗模態分析快速計算方法與應用研究

謝小平1,2， 姜彪1,2， 雷飛1

(1.湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙410082； 2.常州湖南大學 機械裝備研究院，常州213164)

實驗模態分析是振動與噪聲學科在工程中求結構動力學特性的一種非常重要的應用，它通過外加激勵的實驗方法通過被測結構的輸入和輸出信號求解基于模態坐標的動力學參數[1]。但實驗模態分析一般采用離線的方法即依據某一段完整數據進行模態參數識別，數據獲取后實驗終止。動力學系統在外界復雜激勵長時間作用下不但產生振動，而且會產生局部疲勞和動力學參數變化，離線方法無法對該過程進行預測和分析。在線模態分析依據不斷更新數據進行模態參數識別，并根據結構動力學參數的變化進行預警，同時主動采取措施進行補救，對大型裝備特別是重卡的狀態監測和疲勞實驗分析具有重要作用[2]。

當前實驗模態分析研究主要以離線模式進行模態分析為主，缺少對在線分析進行深入理論研究和工程實現，國內外一些學者也對在相關領域進行了一些前期研究工作。

徐良等[3]使用樣條函數對從GPS得到的位移信號進行數值微分，得到精確的速度和加速度信號，并使用ITD方法進行模態分析；李枝軍等[4]對懸索橋進行在線模態分析，對系統整體設計、測點布置方案、與離線方法的比較與改進進行詳細的闡述，最后通過結構動力特性的變化說明在線方法的有效性。上述研究均采用峰值檢測方法，雖然可靠和效率較高，但只能對局部實模態進行識別，有一定局限性。肖祥等[5]、Tasker等[6]將研究重點放在在線工作模態分析上，對依據不間斷數據進行特征矩陣重組和快速計算進行深入研究并取得良好效果。但依靠外界自然激勵的工作模態分析一般只適應于大型建筑橋梁等低頻系統而不適用于重卡駕駛室等較高頻率系統。

通過以上的分析，需要建立完整的研究方法和技術手段實現快速實驗模態分析，為在線模態分析打下基礎。本文提出模型降階和參數優化相結合的方法實現實驗模態參數的快速識別并應用于重卡駕駛室中，取得良好效果。

1基于間接模型降階方法的系統特征矩陣縮減

間接模型降階方法是在解決某些大型問題過程中將實際數據組成的矩陣寫成有利于縮減的形式并采用數值分析方法進行矩陣降階的過程。此類方法在數值分析過程中是一種常用方法，一般稱為間接模型降階方法。其簡單實用，矩陣形式由具體分析方法所確定[7]。

1.1系統模型與特征矩陣建立

模態分析的系統模型反映系統輸入輸出狀態和誤差分布，也是模態參數識別的基礎[8]。本文模型重點考慮了激勵傳遞路徑上的誤差分布情況，并結合輸入輸出狀態進行簡化處理。設系統經過快速傅里葉變換(FFT)得到實際用于計算的信號為F(ω)，輸入誤差為NI(ω)。系統輸出端信號為X(ω)其中測量誤差為NX(ω)。圖中上下標[m]和[Ni]分別表示第m次和第Ni個輸入端、第No個輸出端的采樣數據。系統自由度為No×Ni，傳遞函數為H(ω)。

頻域實驗模態分析中，可以認為輸入和輸出噪聲由于產生機理不同可作為互不相關的白噪聲。將傳遞路徑和誤差項進行簡化得到如圖1所示簡化模型。根據上圖得到系統傳遞函數的矩陣表達式為：

X-NX=H(F-NI)

(1)

H=(X-NX)/(F-NI)

(2)

圖1　頻域簡化模型Fig.1 The frequency domain simplified model

依據以上所得誤差模型，采用最小二乘復頻域法(LSCF方法，以下稱為原有模態參數識別方法)對全自由度全采樣數據進行模態參數識別。根據最小二乘法在頻率響應函數離散樣本點的基礎上建立起來系統特征方程[9]。

假設不同自由度的分母多項式相同而分子多項式不同，把頻率響應函數H(ω)在頻域上離散化并寫成分子分母多項式的參數模型為：

k=1…Ns

(3)

式中:β和α分別為分子和分母多項式系數。Ts為采樣時間間隔。k代表系統自由度，總自由度為輸出和輸入通道數之積Ns=No×Ni。r為多項式階數，最大計算階數為p，大于或等于系統階數ps。總頻率離散點數(數據量)Na與每行數據量Nf和階數p的關系為Na=Nf(p+1)。

(4)

式中:wk為權函數，

Φk(ωNf)=-Γk(ωf)Hk(ωf)

進一步展開得到系統特征方程，其簡化形式如式(5)所示。

(5)

式中:J為由頻率響應函數離散樣本點系統特征矩陣[(NfNs)×(Ns+1)(p+1)](行數和列數用×分隔)，并且符合間接模型降階法的特點，即J作為雅可比矩陣適應于下一步系統參數求解。θ為p階待識別的參數[(Ns+1)(p+1)×1]。

1.2特征矩陣模型降階

對于式(5)的求解可以轉化為對方程[Γ,Φ-ΔΦ]=0求解的過程。對J進行QR分解得到[8]：

(6)

式(6)右側對R22進行奇異值分解得到R22=USVH，其中S的奇異值σp對應V的特征向量vp即系統分母多項式θA。采用該QR分解方法浮點數計算量為2Ns3p2Nf。本文提出奇異熵增量準則確定和降低模型計算階次，提高了以奇異值分解為核心的模態參數識別效率。

奇異譜分析是從有限長的觀測序列中提取信息，并基于這些信息預測模型的數值分析方法。奇異譜可表示為：

(7)

式(7)采用奇異譜評估每個大于0的奇異值在整體中的所占比例。由于式中進行了求和運算，使整體隨機噪聲得到大幅度的衰減。

申農(Shannon)在信息論中把熵作為一個隨機事件的不確定性或信息量的度量。根據概率分布函數定義以下信息熵為；

(8)

(9)

(10)

當奇異熵增量導數值趨于零時，對應的奇異譜階次可認為是計算階次。

2系統參數綜合優化與縮減

2.1特征矩陣參數優化問題提出

通過以上分析可知，間接模型降階法實現了降低存儲空間、提高計算效率的目的。但計算效率是否還有繼續提高的潛力，采用怎樣的方法進行實現成為以下分析的重點。

在以上采用間接模型降階法對特征矩陣縮減后，J由正規矩陣K代替進行矩陣運算，使規模為[Jθ]∈(NNs)×(Ns+1)(p+1)×(Ns+1)(p+1)×1的運算轉化為[Kθ]∈(Ns+1)(p+1)×(Ns+1)(p+1)×(Ns+1)(p+1)×1的運算。對以上計算過程的分析認為計算效率有進一步提高的空間，原因如下：

(1) 雖然模態參數識別是依據降階后的矩陣進行運算，但在線分析根據不斷刷新的數據進行計算時的主要運算量取決于Nf，因為每行數據量Nf?p，而原有特征矩陣盡量采用更多的數據構成每行數據量，所以具有在保持計算精度的情況下進一步縮減的潛力。

(2) 階數p決定求解正規特征矩陣得到模態參數的計算效率，它的確定是模態分析中的一個難點。p必須大于等于系統階數ps，ps采用以上奇異熵增量準則確定，Nf和p的大小實際取決于所選取樣本的的各態歷經性，即樣本信息是否滿足參數識別的要求，但單純從信號的性質入手無法得出具體的樣本選取的大小。

(3) 對于系統自由度Ns而言，各自由度對各階模態參數和振型的影響是不平衡性、非連續和非平穩的。確定主要模態參數或振型貢獻度的闕值，在誤差控制的基礎上對某些貢獻度小于闕值的自由度可以進行縮減。

綜上所述，系統有進一步縮減的潛力。由于快速模態分析對計算效率有很高要求，本文提出采用優化的方法對特征矩陣進行縮減。在構造的設計模型基礎上，對表征特征矩陣的大小和影響計算效率的參數采用優化設計模型進行表達，以原有精確模態參數為標桿設定控制方程，確定優化設計步驟，采用全局遺傳算法進行參數優化。

2.2基于綜合參數優化的特征矩陣縮減

根據以上分析，優化問題的思路為在保持計算精度的同時分類處理參數，進行靈敏度分析，縮小參數范圍，提高優化的可信度。優化問題求解的具體實施步驟如圖2所示。

圖2　優化問題求解的具體步驟Fig.2 The steps for solving optimization problems

由于模態分析的計算規模和計算量遠小于有限元分析，每次求解原問題的時間均小于30分鐘，因此不采用實驗設計與代理模型方法，在簡化分析流程的同時提高了優化精度。根據上一小節分析結果計算效率主要取決于特征矩陣J和正規特征矩陣K的大小，兩者的大小由f、r、k決定。設定優化過程每自由度特征矩陣Γ的大小為ζ=r×f，小于總離散點數Na，Γ的數據由頻率響應函數樣本點構成。同時根據多體動力學的特點，在單點激勵情況下，自由度k大于等于系統階數ps。綜上所述系統參數空間可表示為：

(11)

根據參數空間的描述，優化問題的設計模型可表示為：

優化目標：最小化(minimize)

z(x)=t=z(f,r,k∈)

約束條件(subject to)：

(12)

式中:x代表參數變量，目標函數z(x)為計算時間最小；ps為系統階數，一般由穩態圖進行確定；r的上限可由N和具體算例決定；ζ=r×f≤N表示總的樣本數量的約束條件。優化方法的實施需通過控制方程來實現，選擇反映計算結果的關鍵變量與誤差范圍構成控制方程對優化迭代過程進行控制。由于LSCF方法求得的模態參數解空間包括最終參數模態頻率、阻尼比和過程參數友矩陣特征值等不同表現形式。由于金屬結構作為研究對象阻尼比很小，容易受到噪聲的污染導致出現較大的變化，友矩陣特征值也包含阻尼比的信息。模態頻率是結論中最重要的信息，以它作為控制參數設定控制方程為：

eωd≤e,ford=1…dd,1≤dd≤ps

(13)

式中:e為誤差區間，應根據具體問題區別設置。d為主要關心的頻域范圍內的階數，一般小于系統階數。優化問題中的步長設置中，r為2，其它為1。

2.3系統自由度綜合縮減

系統輸出自由度No(在激勵輸入Ni確定時代表系統總自由度)在以上參數優化問題中是一個獨特的參數。實驗模態分析中由于數據采集通道數的限制使得輸出自由度數量受到限制。同時為了為描述物體整體形狀和關鍵部位的振動，自由度數會相應增加覆蓋整個物體并在關鍵部位相應增加。為了提高模態參數識別的計算效率，可以對自由度即傳感器位置進行優化，該優化策略如圖3所示。把研究對象分為形狀規則和不規則兩種物體制定相應優化。無論是否進行有限元模態分析，規則物體的主要模態振型的研究對象為前幾階整體彎曲或扭轉模態，所以自由度一般為等間距安排。同時依據物體大小、自由度間距情況和是否存在優化的需求進行判斷是否進一步優化。

圖3　差異化策略下自由度優化實施步驟Fig.3 Freedom optimization steps under different optimiz

復雜不規則物體自由度優化步驟中首先明確是否進行了有限元模態分析。當已得到有限元模態分析結果時首先進行振型分析，前幾階主要模態振型較大處在傳感器位置安排中必須得到體現。同時自由度的安排也必須照顧到形狀的節點如3個面的焦點上用以驗證有限元分析的正確性。但即使如此也不能保證所有自由度都對最終的結果產生有效的影響，與沒有進行有限元模態分析相同，必須進行相應的靈敏度分析，提高優化效率。靈敏度分析可按照下式進行。

(14)

3快速計算方法在重卡駕駛室中的應用

3.1實驗與分析對象

實驗對象和動態數據采集系統如圖4所示，其中對象為原基礎車型[10]的改進車型。系統包括4塊PXI-4472，共32通道。實驗采用電磁激振器對采用輪胎支撐的駕駛室白車身進行激振，激勵信號為猝發隨機信號。根據該車型形狀特征，參考有限元分析結果，結合用戶意見采用3軸加速度傳感器，選擇60個測點180個自由度，比原基礎車型模態實驗增加22個測點和66個自由度。由于通道數量的限制，采用7次采樣，采樣頻率f=1 024 Hz。為使得離線分析中模態分析精確更高，為參數優化提供參考標準和精確的控制方程，取3次每次16 s信號的平均值，進行N=8 192點快速傅里葉變換，頻率分辨率為0.125 Hz，遠大于模態頻率最小間隔。

根據奇異熵增量準則確定系統階數ps=15，Nf≈N/(p+1)=512，根據所有180個自由度的所有頻域數據組成系統特征矩陣，采用最小二乘復頻域法進行模態分析，得到精確的模態參數分析結果，其模態振型如圖5(a)所示。取前8階100 Hz以下模態頻率和阻尼比如表2所示。

圖4　某重卡駕駛室白車身與動態數據采集系統Fig.4 A heavy truck cab and dynamic data acquisition system in modal experiment

3.2綜合參數優化過程

優化目標：計算時間最小化(minimize)

f(x)t=f(r,j,k∈)

約束條件：

16≤r≤48∈even

r≤f≤512

16≤k≤180

ωd≤e,ford=1…8

(15)

圖5　某高端最終車型駕駛室白車身模態分析優化過程Fig.5 Modal analysis and optimization process to cab BIW of the high-end final model

根據上節關于自由度縮減的方法，對于駕駛室白車身這種復雜結構在已獲得有限元分析結果的基礎上設定靈敏度分析閾值為α1=90%和α2=90%，進行靈敏度分析后自由度從180縮減至168，主要包括左右車門周圍、后圍側部等處。所得到第一階模態振型如圖5(c)所示。

根據全局遺傳算法對整型變量進行優化，采用二進制編碼方式，種群大小為80，變異率為0.15，交叉率為0.85。迭代數為89時優化過程停止，得到如表1所示的優化計算結果。

表1　計算效率比較

表2　某高端最終車型駕駛室白車身不同模態分析方法計算結果比較

3.3優化結果對比分析

從表1可知快速識別方法的計算效率提高了約8.5倍，自由度、計算階數、每行數據量分別降低了21.1%、43.8%、58.6%。同時取樣間隔不變，原有頻率分辨率是比較合適的。優化后的模態振型如圖5(d)所示。

將模態參數快速識別的結果去除剛體模態，得到如表2所示選取前8階模態頻率和阻尼比，并與原有模態參數識別方法求解得到的精確模態參數和有限元模態參數進行對比如表2所示。實驗模態分析得到的第1階模態振型頻率為32.4 Hz，振型為鼓包上下振動，和有限元仿真結果的頻率32.53 Hz非常接近，但模態振型不完全一致。有限元仿真模態振型主要是駕駛室前圍左右振動。我們認為對實際車型的駕駛室中部鼓包處所應增加的橫向加強梁位置靠后，導致第一階模態振型出現較為嚴重鼓包。應該將橫向加強梁往車頭方向前移25 mm，結論和剛度分析一致。

4結論

本文詳細闡述了采用模型降階和參數優化相結合的方法實現實驗模態分析快速計算的理論推導過程，并將該方法應用于重卡駕駛室白車身中。根據對實驗結果的分析，并且和有限元分析結果進行對比，指出該方法是正確和有效的。

參 考 文 獻

[1] 馬驪凕，朱智民，安占飛,等.轎車白車身模態分析[J]. 振動與沖擊，2013，32(21):214-218.

MA Li-ming, ZHU Zhi-min, AN Zhan-fei, et al. Modal analysis of a car BIW[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(21):214-218.

[2] Bart P, Herman V D A, Patrick G. The PolyMAX frequency-domain method: a new standard for modal parameter estimation[J]. Shock and Vibration. 2004, 11(3/4):395-409.

[3] 徐良，江見鯨，過靜珺. 基于樣條函數的在線時域實驗模態分析[J]. 中國礦業大學學報, 2002, 31(5): 390-393.

XU Liang, JIANG Jian-jing, GUO Jing-jun. On-line time domain experiment modal analysis based on spline function[J]. Journal of China University of Mining & Technology, 2002, 31(5): 390-393.

[4] 李枝軍，李愛群，韓曉林.潤揚大橋懸索橋在線模態分析系統的設計與實現研究[J]. 振動與沖擊, 2008, 27(6): 32-35.

LI Zhi-jun, LI Ai-qun, HAN Xiao-lin, et al. Design and realization of online modal analysis system for run Yang Suspension Bridge[J]. Journal of Vibration and Shock, 2008, 27(6): 32-35.

[5] 肖祥，任偉新. 實時工作模態參數數據驅動隨機子空間識別[J]. 振動與沖擊, 2009,28(8):148-153.

XIAO Xiang, REN Wei-xin. Improved data-driven stochastic subspace identification of online operational modal parameters[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009,28(8):148-153.

[6] Tasker F, Swales A, Beltsville M D. Online structural damage detection using subspace estimation[J]. Aerospace Conference, IEEE, 1999, 2: 173-179.

[7] Gallivan K, Vandendorpe A, Van Dooren P. Model reduction of MIMO systems via tangential interpolation[J]. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2005, 26(2): 328-349.

[8] 管迪華,彭會,范成建. 輪胎模態試驗分析的研究[J]. 汽車工程, 2005, 27(6):1-6.

GUAN Di-hua, PENG Hui, FAN Cheng-jian. A research on tire modal testing analysis[J]. Automotive Engineering, 2005, 27(6):1-6.

[9] Peter V. Frequency domain system identification for modal analysis [D]. Brussels, Belgium: Vrije Universiteit, 2002.

[10] 謝小平,韓旭,陳國棟,等.某商用車駕駛室白車身模態分析[J].湖南大學學報:自然科學版，2010, 37(5):24-30.

XIE Xiao-ping, HAN Xu, CHEN Guo-dong, et al. Modal analysis of commercial vehicle cab’s body-in-white[J]. Journal of Hunan University:Natural Sciences, 2010, 37(5):24-30.

第一作者 謝小平 男，博士，實驗師,1978年2月生

摘要：提出聯合模型降階和智能參數優化的方法實現實驗模態分析的快速計算。在最小二乘復頻域法中采用間接模型降階法實現系統特征矩陣的降階。將決定參數識別效率的特征矩陣進行參數化描述并應用遺傳算法對優化模型參數進行全局優化和縮減。采用差異化綜合策略重點對自由度進行分步優化和縮減。對重卡駕駛室白車身進行實驗模態分析快速計算方法的應用并證明新方法對計算效率提高的有效性。該方法為實現連續不間斷激勵下系統結構動力學特征在線檢測和診斷打下了堅實基礎。

關鍵詞：實驗模態分析；快速計算方法；模型降階；差異化綜合優化；重卡駕駛室

Fast calculation method experimental modal analysis and its application

XIEXiao-ping1,2,JIANGBiao1,2,LEIFei1(1. The State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan University, Changsha 410082, China;2. CZ-HNU Institute of Machinery Equipment, Changzhou 213164, China)

Abstract:A method combining the model order reduction and its parameters optimization was proposed to achieve the rapid calculation for experimental modal analysis. The indirect model reduction method was used in least square complex frequency domain to achieve the order reduction of system characteristic matrix. An optimization model was established based on the parametric description of the characteristic matrix. The system’s degrees of freedom were optimized and reduced using the differential integrated comprehensive optimization strategy. The genetic algorithm was used to obtain the global optimization and reduction of parameters. The application of the fast calculation method in the experimental modal analysis of a heavy truck cab’s body-in-white proves the effectiveness of the method and the improvement in computational efficiency. The method establishes a solid foundation for online detection and diagnosis of structural dynamics characteristics under continuous excitation condition.

Key words:experimental modal analysis; fast calculation method; model order reduction; differential integrated optimization strategies; heavy-duty truck cab

中圖分類號:TH113.1

文獻標志碼：A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.24.008

通信作者姜彪 男，碩士,1989年10月生

收稿日期：2014-08-01修改稿收到日期：2014-12-19

基金項目：國家自然科學基金重點項目(11232004);博士學科點專項科研基金(20130161130001)