(1)
圖1分布式WSN的拓撲結構
證明：
(2)
證畢
(2)無線傳輸能量消耗模型
參考文獻對于無線通信而言，其能量消耗包括接收和發送信息的能量消耗，本文采用[12]的能量模型，如圖2所示。 為了對比方便，先給出[1]建立的E-G密鑰預分配方案的模型整體能量消耗，如下：
圖2 無線傳輸能量消耗模型示意
已知節點接收一個k字節的數據包消耗的能量為Er，發送一個k字節的數據包消耗的能量為Et。
Er=lk
(3)
Et=lk+μkd4
(4)
式中，lk表示發射和接收器所消耗的能量，μkd4表示在傳輸過程中放大器所消耗的能量，d>100 m。
lk=kEelec
(5)
Eelec表示數據包只含一個字節時發射和接收器消耗的能量。
μk=kεmp
(6)
εmpd4為數據包只含一個字節時在傳輸過程中放大器所消耗的能量。
1三種密鑰預分配方案簡述
1.1集中式密鑰預分配方案
本方案中，兩個普通節點(A,B)間建立通信需向KDC發送請求，由KDC分別給兩個節點分配密鑰Ka、Kb。兩個節點在得到密鑰之后建立連接，用一次性的會話密鑰KS來保護傳輸的數據，并通過A的主密鑰Ka、B的主密鑰Kb相互進行身份的驗證，以保證通信的安全。同時通信過程中利用臨時交互號N1、N2來確認數據在傳輸過程中是否被改變。具體過程如圖3所示。(其中IDA、IDB分別為A、B的標志。)
圖3 密鑰預分配過程
1.2基于二元對稱多項式的密鑰預分配方案
該方案的特點在于其密鑰不再由KDC分發到節點上，而是由保存在節點中的二元t次對稱多項式[10]產生。其大致過程為：在已部署的節點當中選取節點A和B，節點A向B廣播一個信號，B向A返回一個信號，節點A、B根據信號的內容及二元對稱多項式的性質f(IDA,IDB)=f(IDB,IDA)來確定是否建立會話密鑰。據此本文可以建立密鑰分配模型，模型如圖4所示。
圖4 密鑰預分配模型
2密鑰預分配方案的能量消耗分析
2.1集中式密鑰預分配方案能量消耗分析
根據引言中的(1)、(2)，定理1以及1.1中對于密鑰集中式預分配方案的過程分析，我們推導出集中式密鑰預分配方案的能耗模型。
定理2：集中式密鑰預分配方案一個周期內網絡消耗的總能量：
(7i+6)(Et2+Er2)+i(Et3+Er3)]}
(7)
證明：
1、 每一步驟中消耗的能量
設ID號為k1位的數據包，密鑰為k2位的數據包，隨機數為k3位的數據包。對應發射和接收數據時的能量消耗分別為：Et1，Er1；Et2，Er2；Et3，Er3。
每一步驟消耗的能量分別為E1n，E2n，E3n，E4n，E5n，E6n。
每次發射必對應一次接收，則每一步消耗的能量與跳數的關系為：
E1n=[2(Et1+Er1)+(Et3+Er3)]n
(8)
E2n=6(Et2+Er2)n
(9)
E3n=[(Et1+Er1)+(Et2+Er2)]n
(10)
E4n=2(Et2+Er2)
(11)
E5n=2(Et2+Er2)
(12)
E6n=2(Et2+Er2)
(13)
由1.1對于密鑰分配過程的分析可得步驟4、步驟5、步驟6消耗的能量與跳數n無關。
2、不同跳數對應的能量及總能量
(1) 若第1跳的一個節點與KDC建立聯系，只需直接向KDC發送數據即可。能量消耗為：
E1=Et2
(14)
則第1跳上所有節點與KDC建立一次聯系的能量消耗為：
(15)
(2)若第n跳的一個節點與第(n-1)跳上的一個節點建立聯系(n-1)，由式(8)～式(13)可得：
En=E1n+E2n+E3n+E4n+E5n+E6n=
[2(Et1+Er1)+(Et3+Er3)]n+6(Et2+Er2)n+
[(Et1+Er1)+(Et2+Er2)]n+
2(Et2+Er2)+2(Et2+Er2)+2(Et2+Er2)=
3n(Et1+Er1)+(7n+6)(Et2+Er2)+n(Et3+Er3)
(16)
則第n跳上所有節點與第(n-1)跳(n>1)上的節點建立一次聯系的總能量消耗為：
(7n+6)(Et2+Er2)+n(Et3+Er3)]
(17)
證畢
2.2基于二元對稱多項式的WSN 密鑰分配方案能量消耗分析
根據密鑰預分配過程的分析，我們發現在密鑰建立的過程中有兩個部分進行了能量消耗：計算部分和通信部分。
2.2.1通信部分的能量消耗
定理3單次密鑰分發通信能量消耗E0為：
E0=2(lk1+lk2)+(μk1+μk2)d4
(18)
證明：
計算通信能量消耗需要知道通信次數及通信量。由圖3可知該方案建立通信密鑰需通信2次，即單次密鑰建立需要發送2次數據，接收2次數據。
假設節點A向節點B廣播時發送k1字節的數據包，節點B向節點A發送k2字節的數據包。那么，節點A發送信號消耗的能量為Et1接收信號消耗的能量為Er2；節點B發送信號消耗的能量為Et2，接收信號消耗的能量為Er1。
Er1=lk2
(19)
Et1=lk1+μk1d4
(20)
Er2=lk1
(21)
Et2=lk2+μk2d4
(22)
因此單次密鑰建立耗能為：
E0=Er1+Et1+Er2+Et2=2(lk1+lk2)+(μk1+μk2)d4
(23)
證畢
定理4在分布式WSN的拓撲結構中，依據定理1和定理3可以得到無線傳感網絡通信消耗的能量為:
ECOMM=WE0
(24)
式中，W為密鑰分發的次數，E0為單次密鑰分發消耗的能量。
證明：
(1)每一跳消耗的能量En
1)第1跳上的所有節點和KDC之間存在初始密鑰，不需要密鑰的再次產生。
2)第2跳上所有節點與第1跳建立一次密鑰的能量消耗為E2：
E2=w2E0
(25)
第2跳上的節點需和第1跳上的節點建立w2次通信密鑰，已知建立單次通信密鑰耗能為E0，總能量消耗為w2E0。
3)以后的每一跳與前一跳建立一次密鑰的能量消耗規律均與第2跳一致。
4)第n跳上所有節點與第n-1跳建立一次密鑰的能量消耗為En。
En=wnE0
(26)
式中，wn為第n跳上的節點和第(n-1)跳上的節點建立會話密鑰的次數，E0為建立單次會話密鑰的能量消耗。
(2)通信部分總耗能ECOMM
由以上分析可知：
(27)
wn為第n層節點建立會話密鑰的次數，設總次數為W，且：
(28)
又因為所有節點只有第一層不需要建立通信密鑰，則建立通信密鑰的次數W為：
(29)
則：
(30)
證畢
2.2.2公式計算能量消耗
定理5運算一次公式所消耗的能量為：
(31)
證明：
由t次二元對稱多項式定義可知二元對稱多項式需運算1.5t2+4.5t-2次乘法，t次加法，即：
(32)
相對于乘法而言加法的耗能Eplus非常小，忽略不計可得：
(33)
式中，Emul為運算一次乘法所消耗的能量，
(34)
證畢
定理6在分布式WSN的拓撲結構中，依據定理1和定理5可以得到無線傳感網絡公式計算能量消耗為：
Ecount=2WEf
(35)
式中，W為密鑰分發的次數，Ef為單次密鑰分發計算消耗的能量。
證明：
由建立密鑰分配的過程可知，每次加密需進行兩次公式運算，即：
(36)
(2)公式計算耗能Ecount
總共需要進行W次密鑰分配，即需要進行W次公式計算，可得：
(37)
根據式(29)、式(33)、式(35)可得計算部分消耗的總能量為：
(38)
證畢
2.2.3整體耗能
將通信部分消耗的能量和計算部分的能量加在一起得到總的能量消耗：
E=ECOMM+Ecount=
(39)
3實例分析
En=N[E0+(1-pr)En0+
(1-pr)n0(1+3plocal)En1+
(1-p)n0plocalpmEn2]
(40)
在確定無線傳感器網絡的規模下，進行能耗的分析。
在實際應用中2 000個節點算節點數比較多的情況，因此本文選取100、500、2 000個節點，來考慮這些情況的節點能量消耗，E-G方案、集中式密鑰預分配方案、基于二元對稱多項式的密鑰預分配方案的能量消耗情況如表2所示。
表2 不同方案在節點數不同時對應的能耗(N=3)
通過表2內容的對比，可以發現對于整體而言節點數目的增加對節點的平均能量消耗并不是很大；其次，基于二元對稱多項式的密鑰預分配方案的能量消耗相對于其他兩個方案而言要少一些。
本文在節點均勻分布密鑰分發中心(KDC)在網絡中心情況下，對集中式密鑰預分配方案、基于二元對稱多項式密鑰預分配方案進行了能耗分析。在同樣的條件下，建立起了密鑰分配模型，根據模型推導出了能量消耗公式，對此進行了舉例說明并與E-G方案進行了比較。在分析過程中本文發現與E-G方案及集中式密鑰分配方案相比，基于二元對稱多項式的密鑰預分配方案的通信次數最少，通信耗能最少，最節能。
4結語
本文在網絡拓撲結構為圓形分布，KDC在圓心的位置，傳感器節點被隨機均勻分配在通信區域內，節點間的通信均采用多跳的方式的情況下,對集中式密鑰預分配方案、基于二元對稱多項式密鑰預分配方案進行了能量消耗分析。本文首先明確了能量消耗模型的適用范圍，建立了網絡拓撲結構模型，并在模型中做出了在無線多跳網絡中，KDC到目的節點之間的路徑是由多跳組成的，該路徑上的中間節點充當轉發節點，節點能夠感知到其周圍節點和KDC并有足夠的能量將消息發送給KDC等設定。其次，建立了密鑰預分配模型并進行了具體分析。通過對密鑰預分配過程的每一步進行具體分析，并結合傳感網絡能量消耗模型，得到了密鑰預分配過程中每個步驟消耗的能量。再將每一步的能量消耗與整個傳感器網絡相結合，可推出整體的能量消耗公式。最后，本文據此對基于二元對稱多項式的密鑰預分配方案、E-G方案和集中式密鑰預分配方案進行了仿真分析及方案對比分析，結果表明：基于二元對稱多項式的密鑰預分配方案的通信次數要少于集中式密鑰預分配方案和E-G方案，因此在密鑰預分配過程中基于二元對稱多項式的密鑰預分配方案的通信耗能最少，與此同時，其計算消耗的能量遠小于通信消耗的能量，因此基于二元對稱多項式的密鑰預分配方案的能量消耗最少，最節能。
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程璇曄(1994—)，女，本科，主要研究方向為光電信息處理；
張曉堃(1994—)，女，本科，主要研究方向為光電信息處理；
吳援明(1966—)，男，博士，電子科技大學光電信息學院副院長、教授，主要研究方向為光電信息處理。
Energy-Consumption Analysis of WSN Key Pre-Distribution Scheme
CHENG Xuan-ye, ZHANG Xiao-kun, WU Yuan-ming
(School of Optoelectronic Information,University of Electronic Science and Technology
of China,Chengdu Sichuan 610054,China)
Abstract：In WSN (Wireless Sensor Network), different key pre-distribution schemes would result in different energy consumptions of the whole network and of each sensor node. Insufficient energy of sensor,may,in a certain degree,restrict the development and application of WSN key pre-distribution. Energy consumption of centralized key distribution scheme and key distribution scheme based on symmetric bivariate polynomial is analyzed, and the two models of energy consumption are built up under the network topology in which KDC(Key Distribution Center)is in the center of the network and nodes are uniformly distributed around it.In addition,theoretical analysis and simulation verification are done, and comparative analysis with E-G scheme indicates that the key distribution scheme based on symmetric bivariate polynomial consumes the least energy.
Key words：WSN; centralized key pre-distribution scheme; key distribution scheme based on bivariate symmetric polynomial; energy consumption
作者簡介：
中圖分類號：TP393
文獻標志碼：A
文章編號：1002-0802(2015)12-1415-06
收稿日期：2015-07-09；修回日期：2015-10-25Received date:2015-07-09；Revised date：2015-10-25
doi:10.3969/j.issn.1002-0802.2015.12.019
