人民幣匯率的均值回復檢驗及Hurst指數計算

甄宗政

摘要：布雷頓森林體系的瓦解使得全球貨幣匯率進入浮動匯率階段，貨幣匯率不再是固定不變的，而是有市場因素決定，匯率風險逐漸進入人們的視線。而外匯期權作為應對匯率波動風險的一種金融衍生工具，被很多企業和公司所認知。但是人民幣匯率期權發展時間較晚，國內外對此研究并不是很完善，本文考慮到人民幣匯率形成機制中的均值回復情況，利用回歸分析法進行均值回復檢驗，并在此基礎上借鑒已有文章利用R語言編程計算出人民幣對美元匯率的Hurst指數。以期能夠為人民幣外匯期權的定價提供一些借鑒意義。

關鍵詞：均值回復檢驗；Hurst指數；人民幣匯率；R語言

中圖分類號：F832.6 文獻識別碼：A 文章編號：1001-828X（2016）001-000-02

一、研究背景及意義

隨著世界經濟的快速發展，金融市場也在不斷創新。20世紀70年代布雷頓森林體系瓦解之后，人們漸漸注意到匯率風險的重要性。尤其是在全球化不斷加深的今天，跨國公司和跨國交易已經成為世界經濟體中日益普遍的存在。為了規避匯率風險，外匯期權便應運而生，為進行兩種貨幣交易的經濟主體提供了一種良好的規避匯率風險的工具。

中國作為當今世界第三大經濟體，經濟的持續高速發展和境外投資的加速使得人民幣對其他貨幣的交易日益頻繁，尤其是近期人民幣納入一籃子貨幣之后，極大的促進人民幣金融衍生產品的快速發展。人民幣外匯期權具有規避人民幣匯率波動風險和完善人民幣匯率形成機制的重要作用。[1]而要想對人民幣外匯期權正確定價，就必須要充分的認識人民幣匯率的波動情況。本文在前人研究的基礎上，結合人民幣自身特點，對基于分數布朗運動的人民幣匯率進行均值回復檢驗，并利用R語言編程計算出模型中的Hurst指數。

二、基于分數布朗運動的人民幣外匯期權定價模型[2][3][4]

1.基本假設

（1）兩個國家貨幣匯率波動服從分數布朗運動

μ表示對數外匯價格的期望率

（2） rd、rf分別表示國內和國外的無風險利率，且為已知常數；

（3） σ為波動率，是常數

（4）不存在交易費用和稅收

（5）市場是中性的，不存在套利機會。

（6）此處考慮的外匯期權為外匯現貨歐式期權，且為交易所交易的外匯期權品種。

2.引入分數布朗運動的人民幣外匯期權定價模型

假設兩種貨幣之間的匯率滿足方程（2-1），（2-2），

（2-1）

（2-2）

進一步結合分數ITO引理、Hida空間轉換、Wick積分等進行推導可得歐式看漲外匯期權的價格，如公式（2-3）所示。

（2-3）

通過上述公式，我們可以看出影響外匯期權定價的幾個重要參數為即時匯率S、執行價格K、到期時間T、國內無風險利率rd、匯率的預期收益率μ、匯率的波動率σ、Hurst指數。其中前4個參數均為在外匯期權合同簽訂時就非常明確的確定了的。而其他的參數雖然在理論上都是固定的值，但是我們無法從現實中直接得到，只能根據人民幣匯率的波動情況進行計算的出的，如何是的計算出的參數數值更加的貼近于實際數值就顯得尤為重要。匯率的預期收益率μ和匯率的波動率σ都已經有了較為成熟的計算方法，本文希望通過檢驗和計算得到更加真實的Hurst指數，以便為人民幣外匯期權的定價提供一定的參考。

三、人民幣匯率的均值回復檢驗

均值回復通俗的講就是金融資產的價格往往圍繞其價格的平均值進行波動，這一現象普遍的存在于股票、匯率、利率等金融資產當中。2005年，人民幣匯率不再盯住單一的美元，而是參照一籃子貨幣，根據市場供求關系，形成更富有彈性的浮動匯率機制[5]。下面運用回歸分析法對人民幣匯率是否具有均值回復現象進行檢驗。

1988年，Fama和French[6]共同研究了用回歸分析法檢驗多期對數收益序列的自回歸性質。他們通過建立線性回歸模型來判斷資產的價格是隨機運動的還是被暫時成分所影響亦或者兩者同時影響資產的價格波動，即具有均值回復趨勢。下面是對該方法的簡單介紹，具體內容請參考原文獻。

假設t時刻匯率的自然對數為p（t），可分解為隨機運動成分q（t）和暫時成分z（t），即可以用公式（3-1）表示。

p（t）=q（t）+z（t）（3-1）

q（t）=q（t-1）+μ+η（t）（3-2）

公式（3-2）中，μ表示預期漂移項，η（t）表示白噪聲。

用R（t， t+T ）表示從時刻t到時刻t+T之間匯率的對數收益率，如公式（3-3）所示。

R（t， t+T ）= p（t+T ）- p（t）（3-3）

接下來在收益期T相同的情況下，以R（t， t+T ）為因變量，以R（t-T， t ）為自變量，做一元線性回歸，計算回歸方程的斜率。根據Fama和French的分析，如果資產價格具有均值回復過程，那么R（t， t+T ）對R（t-T， t ）的斜率會形成U型，斜率會隨著T的增大而減少，一直減少到接近-0.5，然后逐漸增加并回到0.通過對2005年匯改之后到2015年1月份人民幣對美元的月度數據進行回歸分析，我們能夠得到在不同收益期T下自回歸方程的斜率。并利用Excel將得到的斜率數據繪制成圖3-1，我們可以直觀的看出，利用人民幣對美元匯率的月度數據計算得到的回歸方程的斜率軌跡呈現出U型。所以可以證明人民幣匯率的波動具有均值回復性質。

四、Hurst指數及R/S估計

Hurst指數具有發現時間序列數據中存在的超長周期性，所以在分數布朗運動中，Hurst指數的估計是最重要的一個環節。一般認為，如果時間序列數據服從標準布朗運動，那么Hurst指數為0.5；若該指數不等于0.5，那么我們認為該時間序列數據服從分數布朗運動。在此情況下，若Hurst指數介于0.5到1之間，我們認為時間序列數據遵循有偏隨機游走過程；當0

計算思路如下：

1.對已有的時間序列進行如下處理，形成一個新的對數序列Ri，以消除時間序列的短期自相關性。

2.將處理后的時間序列Ri劃分為A個長度為H的子區間Im，并計算出每個子區間的均值Xm、標準差SIm、組內極差RIm。

3.每一個RIm均由對應的SIm進行標準化，則R/S定義為：。

4.不斷增加H的長度，并重復1-3步驟，直到，以log（A）為解釋變量，log（R/S）為被解釋變量，通過Hurst推出的關系我們可以得到如下線性回歸方程：

log（R/S）=log（c）+Hlog（A）+ε（4-1）

Hurst推出的關系為：

我們取在中國人民銀行得到的從2009年1月5日到2015年1月5日的人民幣對美元匯率日中間價進行分析，利用上述方法，先將原始數據進行對數一階差分處理，消除短期自相關性，再將處理之后得到的數據帶入模型，我們得到人民幣對美元匯率的Hurst指數為0.446414，這個數據小于0.5，表明序列是反持續性的（粉紅噪聲）即均值回復過程。這與第三節中進行的均值回復檢驗得到的結果是相符的。

參考文獻：

[1]張光平.人民幣衍生產品[M].第三版.北京：中國金融出版社， 2012：980-983.

[2]Black F，Scholes M.The Pricing Of Options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy，1973，3.

[3]Garman M，Kohlhagen.Foreign currency Option Values[J].Journal of Internation Money and Finance，1983，23：1-7.

[4]王凱.基于分數布朗運動的外匯期權定價模型及實證研究[D].重慶：傅強，2008：4.

[5]付瓊.中國經濟發展中的人民幣匯率制度[M].北京：中國金融出版社，2013：8-9.

[6]Fama E，French K.Permanent and Temporary Components of Stock prices[J].Journal of Political Economy，1988：246-273.

[7]韓海波.赫斯特指數（Hurst）指數及在Excel中的實現[J].數量經濟研究，2006（4）：52-54.