基于改進(jìn)灰色GM(1，1)模型的高速公路路基沉降預(yù)測(cè)

劉建威，鐘澤湘

(1.長沙市規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限責(zé)任公司, 湖南 長沙 410007；

2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

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基于改進(jìn)灰色GM(1，1)模型的高速公路路基沉降預(yù)測(cè)

劉建威1，2，鐘澤湘1

(1.長沙市規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限責(zé)任公司, 湖南 長沙 410007；

2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

摘要:有效預(yù)測(cè)高速公路路基沉降的發(fā)展趨勢(shì)，可以提高道路維修效率，降低事故發(fā)生率。根據(jù)路基沉降影響因素和特性，提出一種改進(jìn)的GM(1,1)預(yù)測(cè)測(cè)算法。采用自動(dòng)尋優(yōu)定權(quán)的方法優(yōu)化傳統(tǒng)GM(1,1)模型的背景值，采用最小二乘法優(yōu)化初值，有效克服背景值與初值選擇的盲目性，并能保證較高的精度。分別對(duì)長湘高速某段和壟茶高速某段路基沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)試驗(yàn)，本文算法預(yù)測(cè)誤差均值分別為2.12%和1.38%，方差比為0.137和0.146，精度等級(jí)達(dá)到一級(jí)。

關(guān)鍵詞：路基沉降；改進(jìn)；灰色預(yù)測(cè)

用高速公路路基沉降的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)道路維修養(yǎng)護(hù)進(jìn)行科學(xué)管理，合理配置維修資源，可降低維護(hù)成本，提高維護(hù)效率，進(jìn)而可降低交通事故發(fā)生率，保障乘坐舒適度[1-2]。因而把握路基沉降的發(fā)展規(guī)律并進(jìn)行預(yù)測(cè)具有十分重要的意義[3-4]。高速公路路基沉降的形成和發(fā)展通常受到地質(zhì)因素，載荷因素，自然氣候因素等共同影響[5-6]，這些影響因素通常無法有效量化,因此造成路基沉降趨勢(shì)的隨機(jī)性和復(fù)雜性[7]。國內(nèi)外學(xué)者對(duì)道路路基沉降預(yù)測(cè)做了大量研究。三和雅史等[8]認(rèn)為路基沉降數(shù)據(jù)服從Logistic分布，用概率分布特征值法建立了預(yù)測(cè)模型。Daniel[9]使用卡爾曼濾波方法對(duì)路基沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。劉文豪等[10]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和雙曲線的混合模型對(duì)高速公路路基沉降預(yù)測(cè)建立了模型。陳善雄等[11]提出了一種路基沉降預(yù)測(cè)的三點(diǎn)修正指數(shù)曲線法，通過三點(diǎn)法修正灰色預(yù)測(cè)得指數(shù)曲線，從而提高預(yù)測(cè)精度。曾鼎文等[2]將優(yōu)化重構(gòu)背景值函數(shù)法用于湖南省高速公路路基沉降預(yù)測(cè)。陳亭[12]綜合了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和雙曲線擬合法對(duì)蘭許高速軟土路基沉降預(yù)測(cè)做了研究。但是，目前建立的高速公路路基沉降預(yù)測(cè)算法大多對(duì)路基沉降的影響因素沒有全面考慮，或者算法冗雜不易實(shí)現(xiàn)，從而影響了預(yù)測(cè)精度。灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，隨機(jī)變量都是在一定范圍內(nèi)變化的灰色量，故原始數(shù)據(jù)可以作為灰色量，將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一次累加處理，所得數(shù)據(jù)將呈一定規(guī)律變化，從而可以進(jìn)行預(yù)測(cè)。這種算法可將復(fù)雜離亂的原始路基沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理成具有一定規(guī)律的序列。由于是針對(duì)沉降監(jiān)測(cè)結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，從而避免了分析路基沉降復(fù)雜的成因，同時(shí)算法簡潔清晰，可以保證一定的精度。但是，傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型本身存在一定局限性，從而對(duì)精度有所影響。本文在分析傳統(tǒng)灰色GM(1,1)求解過程的基礎(chǔ)之上，指出了GM(1,1)模型的不合理之處，并加以改進(jìn)，使該模型達(dá)到了更高的道路路基沉降預(yù)測(cè)精度。

1GM(1，1)模型分析及其改進(jìn)

X(0)={x(0)(k1),x(0)(k2)，…，x(0)(kn)}定義為一預(yù)測(cè)對(duì)象的原始數(shù)據(jù)監(jiān)測(cè)采樣序列，若ki-ki-1恒定，則稱該序列為等間距序列。

為建立灰色預(yù)測(cè)模型，對(duì)該數(shù)據(jù)序列進(jìn)行一次累加：

X(1)={x(1)(k1),x(1)(k2)，…，x(1)(kn)}

其中，

=X(1)(k-1)+X(0)(k)

(1)

那么，對(duì)X(1)可以建立白化微分方程：

(2)

其中，a和u分別為發(fā)展灰數(shù)和內(nèi)生控制灰數(shù)。這個(gè)方程的解為：

(3)

i=2,3,…,n

(4)

令

Z(1)(ki)=μX(1)(ki)+(1-μ)X(1)(ki-1)

(5)

那么，Z(1)(k)稱式(2)背景值；μ稱權(quán)系數(shù)。

通常，μ取0.5，那么，

(6)

那么，式(2)的離散化形式為：

X(1)(ki)-X(1)(ki-1)+aZ(1)(ki)=u

(7)

上式的最小二乘法求解結(jié)果為

(8)

Yn=(X(0)(k1),X(0)(k2),…,X(0)(kn)T)

求得a之后則易得u。

式(3)離散化有：

(9)

為求解常數(shù)c，需要選定一個(gè)初值，令

(10)

代入式(9)有

(11)

(12)

自此，X(0)的預(yù)測(cè)序列可全部求出。

通過分析灰色GM(1,1)模型及其求結(jié)過程，發(fā)現(xiàn)存在下列問題：

第一，在GM(1,1)模型中，背景值假定為一次累加序列的緊鄰等權(quán)生成，即取μ=0.5。但理論上卻無法證明μ=0.5時(shí)，此模型精度會(huì)達(dá)到最優(yōu)。

第二，將X(0)(k1)作為求解白化微分方程的初值，即假定擬合曲線一定會(huì)過初值所在的點(diǎn)。但是，按照最小二乘法原理，擬合曲線卻并不一定通過原始數(shù)據(jù)中的某一點(diǎn)，所以將原始數(shù)據(jù)中的第一點(diǎn)作為求解白化微分方程的初值是沒有意義的。

針對(duì)以上問題，對(duì)GM(1,1)模型進(jìn)行改進(jìn)，流程如圖1所示。

先取μ=0，代入式(7)有，

X(1)ki-X(1)(ki-1)+aX(1)(ki-1)=u

(13)

其最小二乘解：

(14)

Bu=0可由μ=0時(shí)代入式(5)求出。

(15)

最小。

圖1　改進(jìn)模型流程Fig.1 Process of the model improving

計(jì)算式(9)的累減式，可以得到實(shí)測(cè)序列的估計(jì)方程：

=c·(1-ea)·e-ak

(16)

令C=c(1-ea)，代入(9)式與(16)式中有：

(17)

(18)

令

將式(17)代入，有

(19)

(20)

此時(shí)，這個(gè)模型的精度最高。將C代入式(17)和(18)，即可求得預(yù)測(cè)值。再用式(15)計(jì)算出在該權(quán)重下的S值。

此后，在此基礎(chǔ)上增加一個(gè)大于0的微小增量，如以0.001為增量逐次增加直到μ=1為止。在這種情況下我們可以得到1 000個(gè)權(quán)值，取S最小者對(duì)應(yīng)的權(quán)值作為最佳權(quán)值。最終以此權(quán)值作為改進(jìn)GM(1，1)模型的權(quán)值。自此，最優(yōu)權(quán)值和初值已全部取得。

2預(yù)測(cè)模型的精度檢驗(yàn)

設(shè)原始序列：

X(0)(k)={x(0)(k1),x(0)(k2)，…，x(0)(kn)}

模型所生成的序列：

那么可以定義殘差序列：

ε(0)(k)=(ε(1),ε(2),…,ε(n))

指標(biāo)c越小越好，表明S1越大S2越小，表明原始數(shù)據(jù)方差大(離散程度大)而殘差方差小(即離散程度小)。指標(biāo)p越大越好，表明殘差與殘差均值之差小于給定值0.674 5S1的比較多。評(píng)價(jià)表如表1。

表1　精度評(píng)價(jià)表

3路基沉降預(yù)測(cè)結(jié)果算例分析

3.1　長湘高速k118+420路基沉降預(yù)測(cè)分析

以湖南省長湘高速k118+420處非等時(shí)間間隔路基沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為例：采用YT-DG-0140單點(diǎn)沉降計(jì)(量程：400 mm，分辨率：0.1 mm)以沉降板法對(duì)該處路基沉降進(jìn)行監(jiān)測(cè)，監(jiān)測(cè)試驗(yàn)均在天氣情況良好(晴，空氣濕度較小)的條件下進(jìn)行，監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)共14組，采集歷時(shí)397 d，對(duì)此作為歷史數(shù)據(jù)[2]進(jìn)行預(yù)測(cè),取這14個(gè)實(shí)測(cè)路基沉降值與預(yù)測(cè)值對(duì)比，如圖2所示。

圖2　長湘高速k118+420路基沉降預(yù)測(cè)值實(shí)測(cè)值對(duì)比Fig.2 Comparison of prediction value and measuredvalue for subgrade settlement of Changxiang expressway

表2　長湘高速k118+420處2種算法

由圖2可見，本文算法所得路基沉降預(yù)測(cè)值和實(shí)際監(jiān)測(cè)值相比，較好地反映了路基沉降的發(fā)展趨勢(shì)。本文算法與文獻(xiàn)[2]算法的結(jié)果比較見表2，誤差均值由4.14%減少到2.12%。

3.2　壟茶高速k28+200左1.5 m處路基沉降預(yù)測(cè)分析

取壟茶高速k28+200左1.5 m處路基沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為歷史數(shù)據(jù)[2]，同樣采用沉降板法，YT-DG-0140單點(diǎn)沉降計(jì)對(duì)該處路基沉降進(jìn)行監(jiān)測(cè)，試驗(yàn)天氣條件均良好。以共10組，采集時(shí)間為378 d，取其實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，見圖3。

由圖可見，與長湘高速k118+420處類似，本算法達(dá)到了較好的預(yù)測(cè)精度。對(duì)比文獻(xiàn)[2]的算法，見表3，相對(duì)誤差均值由1.72%降低到1.38%。

圖3　壟茶高速k28+200左1.5 m路基沉降預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比Fig.3 Comparison of prediction value and measured value for subgrade settlement of Longcha expressway

表3　壟茶高速k28+200左1.5 m處2種算法

對(duì)長湘高速k118+420處和壟茶高速k28+200左1.5 m處路基沉降的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行精度檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果見表4，精度等級(jí)達(dá)到一級(jí)。

表4　精度檢驗(yàn)結(jié)果

4結(jié)論

1)通過構(gòu)建基于背景值優(yōu)化和權(quán)值選擇的改進(jìn)GM(1，1)模型，對(duì)高速公路路基沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)，考慮到路基沉降的發(fā)展趨勢(shì)和影響因素，與之前的預(yù)測(cè)算法相比，精度有所提高。

2)基于自動(dòng)尋優(yōu)的思想，反復(fù)比對(duì)，提出了一種尋找最佳權(quán)值的算法。

3)對(duì)傳統(tǒng)的GM(1,1)模型進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種優(yōu)化的預(yù)測(cè)方法，對(duì)解決各領(lǐng)域內(nèi)廣泛存在預(yù)測(cè)擬問題具有一定的使用價(jià)值。

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(編輯蔣學(xué)東)

Prediction of expressway subgrade settlement based on animproved gray prediction model

LIU Jianwei1，2, ZHONG Zexiang1

(1.Changsha Planning & Design Institute Co.,Ltd, Changsha 410007, China；

2.School of Givil Engineering, Gentral South University, Changsha 410075, China)

Abstract:The effective prediction of the development trend of expressway subgrade settlement can improve road maintenance efficiency and reduce the accident ratio.According to the subgrade settlement factors and features, this paper presents an improved forecasting method.The automatic optimization method was used to chose the background value and the least square theory is used to improve the initial value.In the prediction test of two examples, the results indicate that the means of the relative errors are 2.12% and 1.38%, the ratios of mean-square are 0.137 and 0.146, and the precision grade is I.

Key words：subgrade settlement; improved; gray prediction

通訊作者：劉建威(1979-)，男，湖南雙峰人，高級(jí)工程師，從事道路與橋梁設(shè)計(jì)研究；E-mail：jdf199198@163.com

收稿日期：2015-04-09

中圖分類號(hào)：U440

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-7029(2015)06-1369-05