基于改進灰色GM(1，1)模型的高速公路路基沉降預測

劉建威，鐘澤湘

(1.長沙市規劃設計院有限責任公司, 湖南 長沙 410007；

2.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

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基于改進灰色GM(1，1)模型的高速公路路基沉降預測

劉建威1，2，鐘澤湘1

(1.長沙市規劃設計院有限責任公司, 湖南 長沙 410007；

2.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

摘要:有效預測高速公路路基沉降的發展趨勢，可以提高道路維修效率，降低事故發生率。根據路基沉降影響因素和特性，提出一種改進的GM(1,1)預測測算法。采用自動尋優定權的方法優化傳統GM(1,1)模型的背景值，采用最小二乘法優化初值，有效克服背景值與初值選擇的盲目性，并能保證較高的精度。分別對長湘高速某段和壟茶高速某段路基沉降進行預測試驗，本文算法預測誤差均值分別為2.12%和1.38%，方差比為0.137和0.146，精度等級達到一級。

關鍵詞：路基沉降；改進；灰色預測

用高速公路路基沉降的監測數據對道路維修養護進行科學管理，合理配置維修資源，可降低維護成本，提高維護效率，進而可降低交通事故發生率，保障乘坐舒適度[1-2]。因而把握路基沉降的發展規律并進行預測具有十分重要的意義[3-4]。高速公路路基沉降的形成和發展通常受到地質因素，載荷因素，自然氣候因素等共同影響[5-6]，這些影響因素通常無法有效量化,因此造成路基沉降趨勢的隨機性和復雜性[7]。國內外學者對道路路基沉降預測做了大量研究。三和雅史等[8]認為路基沉降數據服從Logistic分布，用概率分布特征值法建立了預測模型。Daniel[9]使用卡爾曼濾波方法對路基沉降監測數據進行預測分析。劉文豪等[10]采用神經網絡和雙曲線的混合模型對高速公路路基沉降預測建立了模型。陳善雄等[11]提出了一種路基沉降預測的三點修正指數曲線法，通過三點法修正灰色預測得指數曲線，從而提高預測精度。曾鼎文等[2]將優化重構背景值函數法用于湖南省高速公路路基沉降預測。陳亭[12]綜合了神經網絡法和雙曲線擬合法對蘭許高速軟土路基沉降預測做了研究。但是，目前建立的高速公路路基沉降預測算法大多對路基沉降的影響因素沒有全面考慮，或者算法冗雜不易實現，從而影響了預測精度。灰色系統理論認為，隨機變量都是在一定范圍內變化的灰色量，故原始數據可以作為灰色量，將原始數據進行一次累加處理，所得數據將呈一定規律變化，從而可以進行預測。這種算法可將復雜離亂的原始路基沉降監測數據進行處理成具有一定規律的序列。由于是針對沉降監測結果進行數據預測，從而避免了分析路基沉降復雜的成因，同時算法簡潔清晰，可以保證一定的精度。但是，傳統的灰色GM(1,1)模型本身存在一定局限性，從而對精度有所影響。本文在分析傳統灰色GM(1,1)求解過程的基礎之上，指出了GM(1,1)模型的不合理之處，并加以改進，使該模型達到了更高的道路路基沉降預測精度。

1GM(1，1)模型分析及其改進

X(0)={x(0)(k1),x(0)(k2)，…，x(0)(kn)}定義為一預測對象的原始數據監測采樣序列，若ki-ki-1恒定，則稱該序列為等間距序列。

為建立灰色預測模型，對該數據序列進行一次累加：

X(1)={x(1)(k1),x(1)(k2)，…，x(1)(kn)}

其中，

=X(1)(k-1)+X(0)(k)

(1)

那么，對X(1)可以建立白化微分方程：

(2)

其中，a和u分別為發展灰數和內生控制灰數。這個方程的解為：

(3)

i=2,3,…,n

(4)

令

Z(1)(ki)=μX(1)(ki)+(1-μ)X(1)(ki-1)

(5)

那么，Z(1)(k)稱式(2)背景值；μ稱權系數。

通常，μ取0.5，那么，

(6)

那么，式(2)的離散化形式為：

X(1)(ki)-X(1)(ki-1)+aZ(1)(ki)=u

(7)

上式的最小二乘法求解結果為

(8)

Yn=(X(0)(k1),X(0)(k2),…,X(0)(kn)T)

求得a之后則易得u。

式(3)離散化有：

(9)

為求解常數c，需要選定一個初值，令

(10)

代入式(9)有

(11)

(12)

自此，X(0)的預測序列可全部求出。

通過分析灰色GM(1,1)模型及其求結過程，發現存在下列問題：

第一，在GM(1,1)模型中，背景值假定為一次累加序列的緊鄰等權生成，即取μ=0.5。但理論上卻無法證明μ=0.5時，此模型精度會達到最優。

第二，將X(0)(k1)作為求解白化微分方程的初值，即假定擬合曲線一定會過初值所在的點。但是，按照最小二乘法原理，擬合曲線卻并不一定通過原始數據中的某一點，所以將原始數據中的第一點作為求解白化微分方程的初值是沒有意義的。

針對以上問題，對GM(1,1)模型進行改進，流程如圖1所示。

先取μ=0，代入式(7)有，

X(1)ki-X(1)(ki-1)+aX(1)(ki-1)=u

(13)

其最小二乘解：

(14)

Bu=0可由μ=0時代入式(5)求出。

(15)

最小。

圖1　改進模型流程Fig.1 Process of the model improving

計算式(9)的累減式，可以得到實測序列的估計方程：

=c·(1-ea)·e-ak

(16)

令C=c(1-ea)，代入(9)式與(16)式中有：

(17)

(18)

令

將式(17)代入，有

(19)

(20)

此時，這個模型的精度最高。將C代入式(17)和(18)，即可求得預測值。再用式(15)計算出在該權重下的S值。

此后，在此基礎上增加一個大于0的微小增量，如以0.001為增量逐次增加直到μ=1為止。在這種情況下我們可以得到1 000個權值，取S最小者對應的權值作為最佳權值。最終以此權值作為改進GM(1，1)模型的權值。自此，最優權值和初值已全部取得。

2預測模型的精度檢驗

設原始序列：

X(0)(k)={x(0)(k1),x(0)(k2)，…，x(0)(kn)}

模型所生成的序列：

那么可以定義殘差序列：

ε(0)(k)=(ε(1),ε(2),…,ε(n))

指標c越小越好，表明S1越大S2越小，表明原始數據方差大(離散程度大)而殘差方差小(即離散程度小)。指標p越大越好，表明殘差與殘差均值之差小于給定值0.674 5S1的比較多。評價表如表1。

表1　精度評價表

3路基沉降預測結果算例分析

3.1　長湘高速k118+420路基沉降預測分析

以湖南省長湘高速k118+420處非等時間間隔路基沉降監測數據為例：采用YT-DG-0140單點沉降計(量程：400 mm，分辨率：0.1 mm)以沉降板法對該處路基沉降進行監測，監測試驗均在天氣情況良好(晴，空氣濕度較小)的條件下進行，監測數據共14組，采集歷時397 d，對此作為歷史數據[2]進行預測,取這14個實測路基沉降值與預測值對比，如圖2所示。

圖2　長湘高速k118+420路基沉降預測值實測值對比Fig.2 Comparison of prediction value and measuredvalue for subgrade settlement of Changxiang expressway

表2　長湘高速k118+420處2種算法

由圖2可見，本文算法所得路基沉降預測值和實際監測值相比，較好地反映了路基沉降的發展趨勢。本文算法與文獻[2]算法的結果比較見表2，誤差均值由4.14%減少到2.12%。

3.2　壟茶高速k28+200左1.5 m處路基沉降預測分析

取壟茶高速k28+200左1.5 m處路基沉降監測數據作為歷史數據[2]，同樣采用沉降板法，YT-DG-0140單點沉降計對該處路基沉降進行監測，試驗天氣條件均良好。以共10組，采集時間為378 d，取其實測值與預測值進行對比，見圖3。

由圖可見，與長湘高速k118+420處類似，本算法達到了較好的預測精度。對比文獻[2]的算法，見表3，相對誤差均值由1.72%降低到1.38%。

圖3　壟茶高速k28+200左1.5 m路基沉降預測值與實測值對比Fig.3 Comparison of prediction value and measured value for subgrade settlement of Longcha expressway

表3　壟茶高速k28+200左1.5 m處2種算法

對長湘高速k118+420處和壟茶高速k28+200左1.5 m處路基沉降的預測結果進行精度檢驗，檢驗結果見表4，精度等級達到一級。

表4　精度檢驗結果

4結論

1)通過構建基于背景值優化和權值選擇的改進GM(1，1)模型，對高速公路路基沉降進行預測，考慮到路基沉降的發展趨勢和影響因素，與之前的預測算法相比，精度有所提高。

2)基于自動尋優的思想，反復比對，提出了一種尋找最佳權值的算法。

3)對傳統的GM(1,1)模型進行了改進，提出了一種優化的預測方法，對解決各領域內廣泛存在預測擬問題具有一定的使用價值。

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(編輯蔣學東)

Prediction of expressway subgrade settlement based on animproved gray prediction model

LIU Jianwei1，2, ZHONG Zexiang1

(1.Changsha Planning & Design Institute Co.,Ltd, Changsha 410007, China；

2.School of Givil Engineering, Gentral South University, Changsha 410075, China)

Abstract:The effective prediction of the development trend of expressway subgrade settlement can improve road maintenance efficiency and reduce the accident ratio.According to the subgrade settlement factors and features, this paper presents an improved forecasting method.The automatic optimization method was used to chose the background value and the least square theory is used to improve the initial value.In the prediction test of two examples, the results indicate that the means of the relative errors are 2.12% and 1.38%, the ratios of mean-square are 0.137 and 0.146, and the precision grade is I.

Key words：subgrade settlement; improved; gray prediction

通訊作者：劉建威(1979-)，男，湖南雙峰人，高級工程師，從事道路與橋梁設計研究；E-mail：jdf199198@163.com

收稿日期：2015-04-09

中圖分類號：U440

文獻標志碼：A

文章編號：1672-7029(2015)06-1369-05