基于隨機(jī)性復(fù)雜系統(tǒng)中捕食者模型穩(wěn)定點(diǎn)的討論

李洪明

（呼倫貝爾學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 內(nèi)蒙古 海拉爾 021008）

基于隨機(jī)性復(fù)雜系統(tǒng)中捕食者模型的參數(shù)估計檢驗(yàn)和系統(tǒng)穩(wěn)定性、可靠性分析研究，在很多領(lǐng)域通常都是在建立了相關(guān)的微分方程模型基礎(chǔ)上進(jìn)行的。諸如工程、物理、生物、化學(xué)、醫(yī)藥、生態(tài)、社會學(xué)、環(huán)境科學(xué)、人類科學(xué)、金融保險等相關(guān)領(lǐng)域微分方程模型都能發(fā)揮著重要的作用。在研究實(shí)際問題時，人們首先將問題數(shù)學(xué)化，各因素變量化。進(jìn)一步在研究各因素的相互影響關(guān)系時，就常常會聯(lián)系到某些變量的變化率或?qū)?shù),最后通過研究實(shí)際問題中各因素的變化規(guī)律，以及各因素間的相互關(guān)聯(lián)性所得到變量之間的關(guān)系就是我們所建立的微分方模型。然而，它反映的卻是變量之間的間接關(guān)系,要得到直接關(guān)系,還需要進(jìn)一步求解這一微分方程模型，對參數(shù)估計檢驗(yàn)和系統(tǒng)穩(wěn)定性、可靠性分析。因此，在如此廣泛的實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)研究參數(shù)估計就顯現(xiàn)其所擁有重大的實(shí)用價值和科學(xué)意義。

食餌獨(dú)立生存時以指數(shù)規(guī)律增長，且食餌的相對增長率為r1，即x′=rx，而捕食者的存在使食餌的增長率減小，于是x(t)滿足方程：

其中系數(shù)a反映捕食者掠取食餌的能力。

由于捕食者離開食餌無法生存，且它獨(dú)立生存時死亡率為d，即y′=-dy，而食餌的存在為捕食者提供了食物，相當(dāng)于使捕食者的死亡率降低，且促使其增長。設(shè)這種作用與食餌數(shù)量成正比，于是y(t)滿足方程：

其中系數(shù)b反映食餌對捕食者的供養(yǎng)能力。

方程(1)、(2)是在自然環(huán)境中食餌和捕食者之間依存和制約的關(guān)系，這里設(shè)有考慮種群自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡單的模型。

加入種群自身的阻滯作用，加入Logistic項(xiàng)，模型為：

據(jù)p為主對角線元素之和的相反數(shù)，q為其行列式的值，得：

平衡點(diǎn) p q 穩(wěn)定條件P1N ( 1)( 1,0)r-rσ-122-rrσ 2σ<1 1 -)2(21 P(N1σ 1(+ N(1)22-1)21+σσ,)121+σσ 1σ2 r1 1(+ r(σ-)σ+σσ 1)+221 112 rr1+12(1)(2-1)1 σ σ+σσ 12 2σ>1 P0)3(,0-r +1 r 2- 不穩(wěn)定r1r2

反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)模型：

若β、m=0，可得到經(jīng)典具反應(yīng)擴(kuò)散項(xiàng)的Lotka-volterra食捕模型，

解的存在性定理：

證明 設(shè)是邊值的主特征值，對應(yīng)特征函數(shù)為Ψ ＞ 0，正規(guī)化，maxΩΨ=1取有，其中ω，χ滿足：

模型中使用的函數(shù)F1,F2分別為：

那么，T(c;ω,)χ是X上的緊可微算子，若則 G 為 c1的函數(shù)，當(dāng)時，有G(c; 0,0) =0，這正是（6）的正解。

據(jù)此方法，我們可以得到隨機(jī)性復(fù)雜系統(tǒng)中特定食捕模型的解，這個解恰為實(shí)際問題中的一個平衡點(diǎn)。

然而，它的穩(wěn)定性與可靠性又顯得尤為突出，現(xiàn)就平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和可靠性進(jìn)行。

針對P3( 0,0)；由p=-r1+r2，q=-r1r2，且r1>0,r2>0,于是q<0,故P1(N1,0)是不穩(wěn)定的。