自適應卡爾曼濾波在建筑物變形監測中的應用

楊昌民 崔 兵 張忠強

（河北大學 建筑工程學院，河北 保定071000）

1 引言

隨著我國經濟的快速發展，工程建設的進程也日益加快。對工程建筑物的規模、難度等提出了更高的要求。大型建筑物或構造物的安危直接關系到我國經濟的生產進程。以及由于我國早期建筑工程質量參差不齊，為了避免造成重大安全事故，對于大型建筑物或構筑物及早期的一些建筑物進行變形監測并對監測數據進行分析處理就顯得尤為重要。卡爾曼濾波是當前應用較廣的一種動態數據處理方法，它具有最小方差無偏性，在進行參數估計時不需要儲存大量的監測數據。它通過建立狀態方程和觀測方程來描述系統的動態過程，依據濾波增益矩陣的變化，從監測數據中定量識別和提取有效信息，修正狀態參量，無需存儲各個不同時時刻的監測數據，便于實時數據處理。本文結合某磚混結構建筑物的監測資料，研究了建筑物變形的卡爾曼濾波模型，利用方差補償自適應卡爾曼濾波處理監測數據，在建筑物的變形工作性態分析的應用中取得了較好的效果。

2 自適應卡爾曼濾波模型

卡爾曼濾波可以實現對動態監測數據的實時處理，但是它對數學模型和噪聲的先驗知識有很強的依賴性，但在許多條件下，它們是未知的或近似已知的，或只是部分已知的。使用不準確的模型和噪聲統計特性設計卡爾曼濾波模型就會增加狀態估計的誤差，嚴重的可能引起濾波發散。為了克服這一缺點，學者們提出了自適應卡爾曼濾波。

自適應卡爾曼濾波有基于多模型方法的自適應卡爾曼濾波、基于神經網絡的自適應卡爾曼濾波、基于模糊邏輯的自適應卡爾曼濾波等。本文采用方差補償自適應卡爾曼濾波，它是利用預測殘差對動態噪聲的協方差向量進行修正，能計算出更接近實際的狀態向量。它的公式推導過程如下：

當不考慮具有確定性輸入時，離散線性系統的卡爾曼濾波模型的狀態方程和觀測方程為：

上式中，k=1，2，3，… ；Xk為tk時刻的狀態向量；Φk，k-1為第k-1期到第k期的狀態轉移矩陣；Ωk-1為第k-1期動態噪聲向量；Γk-1為第k-1期動態噪聲的系數矩陣；Lk為第k期觀測向量；Bk為第k期觀測向量的系數矩陣；Δk為第k期觀測噪聲向量。

｛Ωk｝和 ｛Δk｝ 為互不相關的零均值白噪聲序列，即

其中，DΩk為動態噪聲方差，DΔk為觀測噪聲方差，δkj為Kronec ker-δ函數。

設標準卡爾曼濾波的狀態一步預測方程為

預報誤差協方差陣為

狀態濾波方程為

濾波誤差協方差陣為

并不是每次都要把照片拍得絕對清晰銳利，選擇更慢的快門速度、在曝光過程中平移相機或變焦，可以讓世界呈現出不同的效果。

假定 ｛Ωk｝和 ｛Δk｝ 為正態序列，X 0為正態向量。定義i步預測殘差為

則Vk+i的方差陣

式中：r=1，2，…，N；k=1，2，…，n；上標k+i，r表示與k+i，r有關。假定DΩr-1Ωr-1在觀測時間段tk+1，tk+2，…，tk+N上為常值對角陣，并記diag DΩΩ= （）T.

其中：ηk+i為零均值隨機變量，i=1，…，N。令

（12） 式是關于diag DΩΩ的線性方程組。當N≥r時，有唯一解。記diag DΩΩ的LS估計為

3 濾波初值的確定

對于一個實際工程問題而言，濾波前系統的初始值是不能夠精確得到的，一般只能給出一個近似值。而實際工程中要求結構的變形都是微小變形，如果給定的初始值誤差較大，那么得到的濾波值也會有較大的誤差，會較大程度影響濾波結果及預測值，因此合理的確定濾波模型的初始值是十分重要的。

對于變形監測的初值問題，可通過以下方法確定：

因為此變形體動態系統維數為2，觀測系統維數為1，故將觀測點的位置X和變化速率X·作為狀態參數。其初始狀態向量和方差陣可通過監測的前兩期觀測成果來確定。可把前兩期的觀測點均值X作為初始位置參數X 0，其相應的方差陣為初始位置方差陣。取前兩期的平均變形速率Δt-1（ X 2 -X1） 為初始變形速率參數。其他噪聲的方差陣DX 0根據經驗給定，一般由初始協方差陣DΔ0根據經驗給出DΩ0，觀測噪聲方差陣和系統噪聲通常為單位矩陣。這種方法適用于變形監測觀測時間間隔比較段，連續性的自動化監測系統。

4 應用實例及結果分析

以河北大學某5層磚混結構建筑物為研究對象，通過在建筑物西北角一層的關鍵墻體部位上布置光纖位移計，來對該樓的使用現狀進行分析。

此次位移監測采用光纖光柵多（單）點位移計，傳感器類型：光纖光柵式，型號：BSILGS600，標準量程：25-100mm，精度：0.3%FS，靈敏度：0.1%FS，工作溫度：-30～80℃，鉆孔尺寸：≥75mm（單點／50mm）。

4.1 濾波初值的選取

根據建筑變形觀測等級要求，三等變形觀測（二等水準）的動態噪聲方差陣DΩk=2，觀測噪聲的方差陣DΔk=0.5，觀測值時間間隔取其初值Δt=1。然后以裂縫變形監測點的位置及裂縫變形速率為狀態參數，根據前兩期觀測數據確定初始值：X 0= ［0.4687，0.00215］T。

4.2 結果分析

通過MATLAB軟件平臺實現方差補償自適應卡爾曼濾波的程序，用其前15期實測數據進行擬合，后5期作為預測值，得到實測數據的濾波值及預測值如下表所示。

表1 kalman濾波模型建模結果

表2 Kalman濾波預測值

通過表1和圖1可以看出，對原始監測數據建立自適應卡爾曼濾波模型，得到的濾波值與原始監測數據曲線的變化趨勢非常接近，說明方差補償自適應卡爾曼濾波模型能夠較好的模擬狀態向量的變化規律。由于通過濾波可以得到監測點的運動狀態，并能對監測點未來的運動狀態進行預測，表2中給出了Kalman濾波的預測值，圖2是隨后5期的預測值與原始監測值的對比曲線，從圖2可以看出，預測值與原始監測值曲線走勢基本一致。由表1和表2還可以看出，殘差的最大值0.0160mm，最小值為0.00027mm。而且殘差有正有負，表現出很強的隨機性。

5 結論

通過方差補償自適應卡爾曼濾波在建筑物變形監測中的應用進行分析，得出以下幾點結論：

（1）自適應卡爾曼濾波是一組遞推計算公式，濾波模型通過不斷的預測修正，根據新的觀測數據隨時更新濾波值，有利于實時處理觀測數據，把參數估計與預報有機結合起來，因此，離散性卡爾曼濾波特別適合變形監測數據處理分析。

（2）自適應卡爾曼濾波值與原始觀測值曲線走勢基本一致，誤差滿足建筑變形觀測等級要求，說明Kalman濾波動態模型能夠較好的模擬狀態向量的變化規律。

（3）運用卡爾曼濾波進行預測，也有較好的效果，但是一定時候與實際監測值有一定的區別，因為初始值的選取對其影響較大，以及觀測期數較少，對于預測也有一定影響。如果能準確的選取初始值，Kalman濾波在預測建筑物變形方面也是有不錯效果的。