秩虧自由網序貫平差在變形監測中的應用

張 磊 沈 震 高 山

（1.安徽理工大學，安徽 淮南232000）

1 引言

在實際的生產中很多情況下數據的采集都是分期進行的，如控制網的改擴建、分期布網以及分期完成的變形監測等。那么針對分期采集的數據采取什么處理方式成了一個亟需解決的問題，采用傳統的整體平差方法顯然會大大增加工作質量進而影響工作效率，測量平差與誤差理論得到了很大的發展，并在經典平差的基礎上提出了序貫平差（逐次相關間接平差）。序貫平差利用前期平差結果，達到與前期一起整體平差同樣的結果。針對無起始數據的情況也提出了秩虧自由網平差原理與方法，解決了經典自由網平差不適合處理的工程變形監測、地殼變形監測網、地表沉陷和GPS等的數據處理。那么當變形監測分期完成時，就需要結合秩虧自由網平差和序貫平差兩種數據處理方法，本文針對這一情況總結了秩虧自由網序貫平差方法［5］。

2 秩虧自由網偽觀測平差原理

在經典測量平差中，必須有足夠的起算數據，即以已知的起算數據為基礎，將控制網的基準固定在已知數據上，所以經典平差的基準為固定基準。當控制網中沒有必要的起算數據或者起算數據不足時，稱為秩虧自由網。秩虧自由網的法方程系數陣N奇異，即N=0，故N的凱利逆N-1不存在，法方 程有無 窮解［1］［2］。下 面將討論如何解決這個問題。

其中R（A）=t＜u，d=u-t，相應的誤差方程為

秩虧自由網平差的函數模型是具有系數陣秩虧的間接平差模型，隨機模型仍是

按最小二乘原理，在VTPV=min下，由（2）式可組成法方程為

基準條件，也就是所選的u個參數間存在的d個約束條件，這就是基準秩虧所致，在變形監測布設水準網中d=1，即u=t+1，有一個基準條件。

附加的基準條件（5）應與法方程（4）線性無關，等價于滿足下列條件

因N=ATPA，故亦有

聯合解算式（2）與（5），即是附有限制條件的簡介間接平差問題，在

條件下得法方程為

在水準網中滿足式（7）和R（S）=d的S一組基礎解，其具體形式可取為

整理可得秩虧自由網平差公式：

單位權中誤差為

3 序貫平差原理

序貫平差也叫逐次相關間接平差，它是將觀測值分成兩組或者多組，按組的順序分別做相關的間接平差，序貫平差有一套規律很強的遞推公式。便于計算機工作，用途十分廣泛［1］。

將觀測值L分成Lk-1和Lk，權陣分別為Pk-1和Pk，設這兩組觀測值不相關，則有

而n=nk-1+nk，nk-1＞t，t為必要觀測數。

當參數之間不存在約束條件時，其誤差方程為

將式（15）單獨平差，得

將式（15）、（16）聯合結算，可組成法方程為

其解為

由式（18）上式為

故式（21）為

由矩陣反演公式知

J陣稱為卡爾曼濾波增益矩陣或稱序貫平差的增益矩陣。

4 工程實例

安徽礦某礦區沉陷區布設如圖1所示水準網，第一期觀測了h1=0.478m、h2=-1.283m、h3=-0.638m、h4=0.531m、h5=0.910m，第 二期觀測了h6=-1.641m、h7=-0.737m、h8=-0.204m。路線長s1=2km、s2=2km、s3=2km、s4=4km、s5=4km、s6=4km、s7=2km、s8=4km，以4km觀測高差的權為單位權。設HA=x1、HB=x2、Hc=x3、HD=x4、HE=x5、HF=x6，根據以往觀測經驗取個點近似高程為x1=20.187m、x2=20.669m、x3=19.384m、x4=18.743m、x5=19.276m、x6=18.543m，求X和QXX。

誤差方程為

第一次平差可得

由題意可知，第一期水準網5個未知點，故

聯合結算式（27）、（29）、（30）、（31）、（32）以及式（33）可得

第二次平差誤差方程為

由式（34）、（35）組成法方程

由題意知第二期觀測誤差方程為

故有

上述結果聯立式（36）可得

由題意可知，第二期水準網6個未知點，故

利用偽觀測法秩虧自由網平差原理，設

則

5 結論