基于壓縮感知的分布式MIMO成像雷達網格失配問題研究

張海龍，陸廣華，于　慧，王東進

(中國科學技術大學 中國科學院電磁空間信息重點實驗室,　合肥 230027)

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基于壓縮感知的分布式MIMO成像雷達網格失配問題研究

張海龍，陸廣華，于慧，王東進

(中國科學技術大學 中國科學院電磁空間信息重點實驗室,合肥 230027)

摘要：在基于壓縮感知的分布式多輸入多輸出(MIMO)成像雷達系統中，若成像目標不在事先劃分的網格點上，即存在網格失配(Off-Grid)偏差時，成像結果將急劇惡化，文中針對該問題，分別在Off-Grid偏差一階和二階近似下提出了行之有效的解決方法。文中首先建立了系統存在Off-Grid偏差時的回波模型，在理想劃分網格點的基礎上，將Off-Grid偏差看作未知數，分別進行一階和二階Taylor展開，建立擾動模型，分析Off-Grid偏差對成像結果的影響，最后給出了一種采用欠定系統局灶解法(FOCUSS)和約束總體最小二乘(CTLS)方法聯合估計目標位置和散射系數的算法。與傳統的基于壓縮感知的成像方法相比，文中所提出的算法能夠很好地解決網格失配問題，提高目標的反演精度。計算機仿真結果驗證了所提方法的有效性。

關鍵詞：分布式多輸入多輸出雷達；壓縮感知；網格失配；欠定系統局灶解法；約束總體最小二乘

0引言

多輸入多輸出(MIMO)雷達是近幾年提出的一種新體制雷達，正吸引著越來越多的學者的注意[1]。MIMO雷達采用多個發射天線和多個接收天線，并且不同于傳統的相控陣雷達發射相干波形，MIMO雷達發射正交波形，接收端通過匹配處理來恢復各發射信號分量[2]。MIMO雷達有集中式和分布式兩大類：集中式MIMO雷達可以利用波形分集處理，提高雷達的抗截獲性能和雜波背景中探測低速、弱目標的能力；分布式MIMO雷達可以通過大間距布陣形式獲得空間分

集增益，提高對起伏目標的檢測性能[3]。在本文中，本文將重點研究分布式MIMO雷達。

當發射機和接收機數目受限時，波數域的覆蓋范圍是不完整的，若仍采用基于匹配濾波的傳統成像方法將得不到好的成像效果[4]。在大多數的成像雷達應用場景中，目標散射點往往是稀疏分布的，也就是說，實際散射點的數目遠小于潛在的散射點數目。目前很多學者致力于研究MIMO成像雷達的稀疏恢復技術[5-7]，比如正交匹配追蹤算法(OMP)和基追蹤算法(BP)。一般地，壓縮感知(CS)將稀疏恢復問題表示為y=Φx+e，其中x表示散射系數，y表示接收回波，Φ表示感知矩陣，e表示成像過程增加的噪聲。我們的

目的是得到x的最稀疏的解，即x中的非零元素個數最少的解。采用CS技術，利用目標散射點的稀疏性，可以得到較好的成像效果[8]。

現有的大多數稀疏恢復算法都要求所有的散射點精確地位于事先劃分好的離散網格點上，但是當散射點不在事先劃分的網格點上，即存在網格失配(Off-Grid)偏差時，稀疏恢復性能將會受到嚴重影響[9]。在MIMO雷達成像中，由于散射點分布在連續場景中，所以即使所劃分的離散網格點很密集，Off-Grid問題還是存在的。使用密集的網格點劃分可能會減輕失配的程度，但是對于Off-Grid目標成像問題，這不是一個好的補救措施，因為密集的網格點劃分會顯著地增加感知矩陣的列相關性，違背可靠稀疏恢復所要遵循的限制等距條件(RIP)[10]?，F在已經有一些學者致力于研究感知矩陣的失配問題，并將其研究成果應用到波達角(DOA)的Off-Grid問題估算當中。ZHU等[11]提出了一種稀疏總體最小二乘的方法(S-TLS)來緩和矩陣失配問題，但是該方法效率較低并且耗時較長。HAN等[12]提出了更快更穩定的算法，總體最小欠定系統局灶解法(TLS-FOCUSS)和同步下降欠定系統局灶解法(SD-FOCUSS)，并將SD-FOCUSS算法應用到DOA多次測量矢量(MMV)當中。YANG等[13]建立了采用稀疏貝葉斯推理(SBI)對DOA的Off-Grid問題進行估計的公式并通過期望最大化(EM)迭代得到源信號和矩陣偏差。

本文針對分布式MIMO雷達成像過程中所遇到的Off-Grid問題，提出了一種聯合估計目標位置和散射系數的方法。

1網格失配下的成像方法

1.1網格失配一階近似下的成像方法

1.1.1網格失配一階近似下的成像模型

考慮分布式MIMO雷達，并且假設發射機、接收機和目標位于同一個兩維平面上。系統共有M臺發射機和N臺接收機，第m臺發射機位于tm=[tmx,tmy]，第n臺接收機位于rn=[rnx,rny]。假設不同發射機所發射的信號是正交的且第m臺發射機所發射的基帶信號為sm(t)，則相應的帶通信號可以表示為

sm=Re{sm(t)ej2πfct}

(1)

式中：Re{·}表示取實部；j表示虛數單位；fc表示載波頻率，并且在不同延時情況下不同發射信號之間的互相關為零。

假設成像目標包含K個各向同性散射的散射點，σk和pk=[pkx,pky]分別表示第k個散射點的散射系數和位置。簡單起見，假設每個散射點的散射特性不隨觀察角度的改變而改變，并且系統發射窄帶信號，則第n臺接收機接收到的回波可以表示為

(2)

(3)

式中：c表示光速。

將所接收到的信號經過一組匹配濾波器，由于發射信號是正交的，則在第q(q=1, 2, …,Q)個采樣時刻，第n臺接收機的第m個匹配濾波器的輸出可以表示為

(4)

式中：emn(q)為噪聲。

將成像區域按照最小分辨要求沿x方向劃分為U個離散單元、沿y方向劃分為V個離散單元，則在成像區域中共有R=UV個網格。假設所有的散射點都位于網格點上，則可以得到

(5)

其中

(6)

y=Φσ+e

(7)

若存在Off-Grid偏差，即在第r個格點處存在x向偏差Δxr、y向偏差Δyr，則對于?r=1,2,…,R，均有|Δxr|≤0.5ρx，|Δγr|≤0.5ρy，其中，ρx和ρy分別為x和y方向上的網格大小。因此，對感知矩陣做一階Taylor近似，可得

(8)

式中：Φ=[Φx, Φy],Φ為考慮Off-Grid偏差以后計算得到的感知矩陣；Φ0=[Φx0，Φy0]，Φ0為不考慮Off-Grid偏差得到的感知矩陣；Φ′=[Φ′x, Φ′y]，Φ′為感知矩陣對Off-Grid偏差的一階微分；(g)x表示對x維的操作；(g)y表示對y維的操作；Λx1、Λy1分別為由Δxr、Δyr構成的對角線矩陣。令Δx1=vec(Δxr)，Δy1=vec(Δyr)則Δ=[Δx1,Δy1]T為Off-Grid偏差。

經過上述推導，可得考慮Off-Grid偏差以后將格點位置偏差進行一階Taylor展開的成像模型為

y=(Φ+H1Λ1)σ+e

(9)

1.1.2網格失配一階近似下的求解方法

本節給出一種FOCUSS和CTLS相結合的CTLS-FOCUSS-1方法來求解式(9)所示問題。其中，FOCUSS用于稀疏恢復，CTLS用于求解目標位置的格點偏差。

步驟1：稀疏恢復

在該步驟中，通過FOCUSS理論的迭代求解方法進行稀疏恢復。設迭代標號為l，在更新了校正后的目標位置以及重新計算了感知矩陣以后，尋找最優的估計值σ(l+1)以使得如下代價函數最小

(10)

令?F1/?σ(l+1)=0，可得

(11)

式(11)的左右兩邊都含有σ，無法直接獲得σ的顯示表達，因此這里采用迭代松弛方法求解σ

(12)

式中：s為內循環次數；W(l,s)=W(σ(l))。

當內循環s收斂時，即可得σ(l+1)=σ(l+1,s)。

步驟2：格點校正

通過CTLS方法求解格點偏差，進而更新格點位置。

定義擾動項μ1=[Bx1Δx1,By1Δy1，1/σee]T。則可以通過求解下式所示的優化問題來求解格點偏差

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：l為迭代次數。由原始劃分格點與Off-Grid偏差更新目標格點位置

(17)

步驟3：參數更新

將步驟2中計算得到的目標位置p(l+1)計算得到感知矩陣Φ(l+1)。

將迭代次數加1，重復步驟1到步驟3，直到σ變化很小或者達到預先設定的迭代次數。

1.2網格失配二階近似下的成像方法

1.2.1網格失配二階近似下的成像模型

前面所述方法都是基于1.1.1節中感知矩陣對Off-Grid偏差進行泰勒展開并保留一階近似的模型上進行的，接下來將推導Off-Grid偏差的二階近似模型，并給出相應的CTLS-FOCUSS-2算法步驟。

當存在Off-Grid偏差時，如式(18)所示，對感知矩陣做二階Taylor近似，可得

(18)

式中：Φ″為感知矩陣對Off-Grid偏差的二階微分；Λx2、Λy2分別為由(Δxr)2、(Δyr)2構成的對角線矩陣，并令Δx2=(vec((Δxr)2)，Δy2=vec((Δyr)2)。

則經過上述推導，可得考慮Off-Grid偏差以后，將格點位置偏差進行二階Taylor展開的成像模型為

y=(Φ+H1Λ1+H2Λ2)σ+e

(19)

式中：H2=[Φ″x， Φ″y]；Λ2=[Λx2,Λy2]T。

1.2.2網格失配二階近似下的求解方法

對于該問題的求解，與Off-Grid偏差一階近似的過程相似，僅需在1.1節的求解過程中，替換第二步即可，下面僅給出在Off-Grid偏差二階近似的情況下采用CTLS方法求解Off-Grid偏差的過程。

定義擾動項μ2=[Bx1Δx1, By1Δy1,Bx2Δx2,Bx2Δy2,1/σee]T，則可以通過求解下式的優化問題來求解格點偏差

(20)

(21)

(22)

其中，式(21)仍可采用牛頓法進行求解，設置的初值為該問題的最小二乘解。由μ2進而可以反解出Off-Grid偏差Δx1和Δy1

(23)

按照式(17)由原始劃分格點與Off-Grid偏差得到更新后的目標格點位置p(l+1)。

2仿真實驗及分析

在本節中，我們通過給出一些仿真結果來證明所提算法CTLS-FOCUSS-1和CTLS-FOCUSS-2的有效性，所做的仿真是在Matlab中完成的，并且CTLS-FOCUSS-1和CTLS-FOCUSS-2的迭代終止條件均設置為 或者達到最大迭代次數50。

仿真參數設置如表1所示。

表1　仿真參數

目標的散射點分布情況如圖1所示。在成像場景中，沿x方向和y方向均劃分為40個離散單元，并且相鄰單元之間的間隔為1 m。從圖1可以看出，這里共有10個散射點，并且散射點均不在事先離散劃分好的網格上。

圖1　目標散射點分布情況

在下面的仿真當中，除了我們所提算法CTLS-FOCUSS-1和CTLS-FOCUSS-2，還包括其他的算法：MF，OMP，FOCUSS，和TLS-FOCUSS。TLS-FOCUSS算法是在對Off-Grid偏差進行一階Taylor展開的基礎上，假設所加噪聲為高斯白噪聲并且Off-Grid偏差服從高斯分布的情形下，通過對式(24)的求解得到的最大后驗解(MAP)。

(24)

采用MF，OMP，FOCUSS，TLS-FOCUSS和我們所提算法(CTLS-FOCUSS-1，CTLS-FOCUSS-2)的恢復結果如圖2a)~f)所示，其中，圓圈表示的是真實散射點的位置。如前所述，由于波數域覆蓋不是完整的，所以采用匹配濾波的方法得不到好的恢復結果。由于Off-Grid散射點的存在，OMP和FOCUSS算法也是失效的。與OMP和FOCUSS算法相比，TLS-FOCUSS算法能夠得到改善的恢復結果，但是恢復結果中存在虛假散射點。CTLS-FOCUSS-1是在Off-Grid偏差一階近似的情況下對網格失配偏差做校正，所以其恢復精度有限。相比之下，CTLS-FOCUSS-2在當前仿真條件下能

圖2　Off-Grid目標的恢復結果

夠對Off-Grid散射點成像并得到好的恢復結果。

下面我們將研究成像誤差與信噪比(SNR)之間的關系。SNR在-5 dB~30 dB變化，變化間隔為5 dB，目標恢復誤差和Off-Grid偏差均是通過對超過30次的仿真試驗取平均得到的結果。在每次仿真試驗中，Off-Grid偏差在沿x方向或者y方向的一個離散單元內均勻分布。

采用OMP，FOCUSS，TLS-FOCUSS，CTLS-FOCUSS-1和CTLS-FOCUSS-2算法的目標恢復結果的歸一化均方誤差(NMSE)隨SNR的變化曲線如圖3a)所示。從圖3a)中可以看出，隨著信噪比的增大，采用OMP和FOCUSS算法的目標恢復誤差仍然維持在一個較高水平。采用TLS-FOCUSS和CTLS-FOCUSS-1算法將得到改善的恢復結果，并且后者的目標恢復效果和Off-Grid恢復誤差均優于前者，這是因為在仿真過程中，Off-Grid偏差是均勻分布的，TLS-FOCUSS算法中有關Off-Grid偏差Λ的假設與之不符。從圖3a)和圖3b)可以看出，采用CTLS-FOCUSS-2算法可以得到好的目標恢復結果，并且Off-Grid恢復誤差得到明顯提高，可見在對Off-Grid偏差進行二階Taylor展開的情況下采用該方法求解目標位置和散射系數的有效性。

圖3　不同信噪比下幾種算法恢復結果對比

3結束語

針對在分布式MIMO雷達中使用壓縮感知成像所面臨的Off-Grid問題，分別在網格偏差一階和二階近似下提出了行之有效的CTLS-FOCUSS-1和CTLS-FOCUSS-2算法。該算法通過循環迭代的過程，將非凸優化問題轉化為三個主要步驟：稀疏恢復、格點校正和參數更新，實現Off-Grid偏差的自適應調整，具有很好的抗噪性，相比傳統的基于壓縮感知的成像方法能夠得到更高的恢復精度。本文最后通過數字仿真驗證了所提算法的有效性，顯示了其在實際系統中的應用前景。

參 考 文 獻

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張海龍男，1989年生，在讀碩士。研究方向為微波成像、陣列信號處理和壓縮感知。

陸廣華男，1970年生，副教授。研究方向為微波與毫米波技術及其在精確制導、通訊系統、雷達系統等領域中的應用。

于慧女，1988年生，碩士。研究方向為微波成像、陣列信號處理和壓縮感知。

王東進男，1955年生，教授。研究方向為微波與毫米波技術及其在精確制導、通信系統、雷達系統等領域中的應用。

A Study on Off-Grid Problem for Distributed MIMO

Imaging Radar Based on Compressive Sensing

ZHANG Hailong，LU Guanghua，YU Hui，WANG Dongjin

(Key Laboratory of Electromagnetic Space Insformation of CAS, USTC,Hefei 230027, China)

Abstract：In distributed MIMO radar system based on compressive sensing, if the imaging target is not positioned at the pre-discretized grid locations, that is to say, there exists Off-Grid deviation in the system, the imaging results will be deteriorated sharply. In order to solve this problem, an effective solution under one order and two order approximation of Off-Grid deviation respectively is proposed in this paper. The echo model when there exists Off-Grid deviation in the system is established first and then, based on the ideal discretized grid, the perturbation model is established by regarding the Off-Grid deviation as unknown and carrying out one order and two order Taylor expansion of it. After that, the influence of Off-Grid deviation on imaging result is analysed. Finally, the algorithm based on FOCUSS and CTLS is proposed to jointly estimate the target location and its scattering coefficient. Compared with the traditional imaging method based on compressive sensing, the algorithm proposed in this paper can solve the Off-Grid problem effectively and improve the inversion accuracy of target recovery. The effectiveness of the proposed algorithm is confirmed by several experimental results.

Key words：distributed MIMO radar; compressive sensing; Off-Grid; FOCUSS; CTLS

收稿日期：2015-07-26

修訂日期：2015-09-28

通信作者：張海龍Email：hailong@mail.ustc.edu.cn

中圖分類號：TN957.52

文獻標志碼：A

文章編號：1004-7859(2015)12-0049-05