創設“數學化”的教學活動

張苾菁

荷蘭數學家弗賴登塔爾曾經說過：“與其說是學習數學，倒不如說學習‘數學化。”數學教師對這個理念一定非常清楚。這樣的理念雖然常常能被人們理解，但若要教師用理念指導教學，并不是一件容易的事，需要下功夫好好琢磨。事實上，對理念的實踐，很多情況下我們是在一種似懂非懂的狀態下進行的，由于沒有觸及到本質，教學缺乏高位的設計，課堂整體性和連貫性不夠，甚至會出現為了迎合某種時髦的形式導致教學目標偏離方向的情況。

由此，筆者認為，在小學數學教學中，要充分理解并引入“數學化”的概念。那么，何謂數學化呢？那就是人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數學的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現象并加以整理和組織的過程。簡單地說，數學地組織現實世界的過程就是數學化。數學化分為兩個層次，即橫向數學化和縱向數學化，橫向數學化包括從真實生活走進符號世界，而縱向數學化是指在符號世界中進行移動。接下來，筆者將根據教學片斷來闡釋教學中的“數學化”。

我們以教學“運算律”為例說明教師的教學方式，給出下圖展開教學：

教學片斷一：

教師：同學們，六一兒童節快到了，王阿姨準備買一些衣服作為節日禮物送給福利院的孩子們，請看圖片。仔細觀察，從圖中我們可以知道哪些信息？要解決什么問題？根據這些信息，你會列式解答嗎？

在學生獨立思考之后，得出兩種解題思路：

學生1：分別買5套夾克和5套褲子，再算出總價。

65 × 5 + 45 × 5

= 325 + 225

= 550（元）

學生2：先算出一套衣服的價錢，再算出總價。

（65 + 45）× 5

= 110 × 5

= 550（元）

教師：同學們請看，大家思考問題的角度不同，有的同學是先算買夾克衫和買褲子各用了多少元，還有的同學是先算買一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

這樣的數學活動，就是鼓勵學生將知識從具體的情境中分離抽象出來，是將生活問題抽象成數學問題的過程，其實質就是讓學生帶著自己的知識經驗，朝學科知識逐漸靠近。在教學中設置情境能夠幫助學生打通從生活走向數學的通道，理解問題變得不再困難。因此，筆者認為，要讓學生經歷數學化的過程，首先要設置情境，注重情境的運用，通過數學的現實性來實現數學化。當學生對此問題列出不同的算式并準備解答，這就是利用數學的現實性進行橫向數學化的過程，而橫向數學化的主要手段就是抽象和概括。但是教學是不是就僅此而已完成了任務？學生思維又該如何向縱深發展呢？針對這一課，我們需要思考的是，對于乘法分配律這個知識點，學生理解的難點在哪里？

我們知道，對于乘法交換律和乘法結合律，由于等式左右兩邊的數并沒有因為交換和結合而發生改變，學生理解起來難度并不大，但是對于乘法分配律來說，等號左右兩邊的數的個數發生了變化，由形式上的三個變成了四個，并且既有加法運算又有乘法運算，這兩個變化是學生理解的難點。因此，對于“乘法分配律”這個規律的前提，即“兩個數的和與一個數相乘以及兩個數分別與這個數相乘”在算式中的特征的觀察是非常重要的，這直接影響著能否理解規律。如果僅憑一個算式就讓學生觀察算式的特點顯得過于單薄，教師需要變化算式的條件引起學生的注意。

教學片斷二：

教師：如果還是買上衣和褲子，不過要買8套，你會怎么解決？接著引導學生列出（65+45）×8=65×8+45×8的算式。（這個例子是加數不變，只變化乘數，目的就是聚焦乘數的變化給等號兩側算式帶來的變化）

接著，教師繼續問道：如果現在將短袖和褲子配成一套，買這樣的5套，你能列式解決嗎？（32+45）×5=32×5+45×5（這個例子是乘數不變，只變化加數，看看這種變化對算式帶來的影響）

這樣，屏幕上就出現了三道等式，學生在初次嘗試建立等式，繼而變化乘數、變化加數的過程中，結合具體情境初步體驗到等式左右結構變化的規律。隨后，教師讓學生拋開情境，嘗試用數學語言來表述，這是幫助學生從橫向數學化走向縱向數學化的一個橋梁。從這個環節開始，學生就可以將重點聚焦在對算式內部特征的研究了。

然后，教師提問：觀察3道算式，等號左右兩邊有幾個不同的數？在進行什么運算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

學生：有三個數，加法和乘法

教師：等號兩邊的算式都在進行加法和乘法運算，他們的運算順序一樣嗎？

學生：不一樣，左邊是先加后乘，右邊是兩部分，是先乘后加。

教師：能具體說一說它們的運算順序嗎？

在教師的引導下，學生作出如下的表述：

學生1：左邊算的是“65與45的和乘5”，右邊算的是“65乘5的積與45乘5的積相加”（65和45分別乘5，再相加）結果相等。

學生2：左邊算的是“65與45的和乘8”，右邊算的是“65乘8的積與45乘8的積相加”，結果相等。

教師：通過大家的發言，我們發現，等號左邊的算式都有一個共同特點，都是先算“兩個數的和，再乘一個數”，等號右邊也都有一個共同特點，都是把這兩個數分別乘上這個數再相加，結果相等。

在這個環節中，我們把數學問題從具體情境中剝離了出來，不再依附于情境，直接利用數學的符號研究數學的規律。教師設計了幾個不同思維要求的數學活動引導學生用數學的思維思考、總結規律，目的是要促進學生認知的發展。在這個過程中，首先是模仿，其次是不完全歸納，再次是形成規律，這個過程是學生的認知水平由事實性水平向概念性、方法性水平不斷向縱深發展的過程，也可以看作是縱向數學化深入的結果，這是數學活動所期許達成的目標。因此，關注活動的指向、體驗數學的抽象性、實現數學化是我們目前應關注的問題。

在學習了這堂課以后，學生會猜測：兩個數的和與一個數相乘有這樣的規律，那么三個數、四個數的和與一個數相乘也有這樣的規律嗎？乘法有分配律，除法有嗎？如果把括號里的加號改成減號，這個等式還成立嗎？由前面的結論引申出的這些新問題，是否還有必要借助于情境來說明道理？通過這樣的猜測和思考，能夠促進學生數學思維的發展。

如今的小學數學課并不缺乏情境的創設，而是缺乏從情境走向對數學問題研究時的數學化立場。如果說從生活走向數學為教學創造了一個適宜的起點，那么對數學知識內部的觀察、整理、辨析和聯結則是發展學生數學思維的重要過程，這個過程應該在數學活動中充分展開。我們如果在這項工作上再作深入的思考和實踐，那么，數學課的數學味會更加濃郁。筆者認為，數學教育就是要追求生活與數學高層次的整合，要做到生活化的數學，數學化的生活。

（作者單位：江蘇省蘇州市敬文實驗小學）

（責任編輯：徐曉卿）endprint

荷蘭數學家弗賴登塔爾曾經說過：“與其說是學習數學，倒不如說學習‘數學化。”數學教師對這個理念一定非常清楚。這樣的理念雖然常常能被人們理解，但若要教師用理念指導教學，并不是一件容易的事，需要下功夫好好琢磨。事實上，對理念的實踐，很多情況下我們是在一種似懂非懂的狀態下進行的，由于沒有觸及到本質，教學缺乏高位的設計，課堂整體性和連貫性不夠，甚至會出現為了迎合某種時髦的形式導致教學目標偏離方向的情況。

由此，筆者認為，在小學數學教學中，要充分理解并引入“數學化”的概念。那么，何謂數學化呢？那就是人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數學的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現象并加以整理和組織的過程。簡單地說，數學地組織現實世界的過程就是數學化。數學化分為兩個層次，即橫向數學化和縱向數學化，橫向數學化包括從真實生活走進符號世界，而縱向數學化是指在符號世界中進行移動。接下來，筆者將根據教學片斷來闡釋教學中的“數學化”。

我們以教學“運算律”為例說明教師的教學方式，給出下圖展開教學：

教學片斷一：

教師：同學們，六一兒童節快到了，王阿姨準備買一些衣服作為節日禮物送給福利院的孩子們，請看圖片。仔細觀察，從圖中我們可以知道哪些信息？要解決什么問題？根據這些信息，你會列式解答嗎？

在學生獨立思考之后，得出兩種解題思路：

學生1：分別買5套夾克和5套褲子，再算出總價。

65 × 5 + 45 × 5

= 325 + 225

= 550（元）

學生2：先算出一套衣服的價錢，再算出總價。

（65 + 45）× 5

= 110 × 5

= 550（元）

教師：同學們請看，大家思考問題的角度不同，有的同學是先算買夾克衫和買褲子各用了多少元，還有的同學是先算買一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

這樣的數學活動，就是鼓勵學生將知識從具體的情境中分離抽象出來，是將生活問題抽象成數學問題的過程，其實質就是讓學生帶著自己的知識經驗，朝學科知識逐漸靠近。在教學中設置情境能夠幫助學生打通從生活走向數學的通道，理解問題變得不再困難。因此，筆者認為，要讓學生經歷數學化的過程，首先要設置情境，注重情境的運用，通過數學的現實性來實現數學化。當學生對此問題列出不同的算式并準備解答，這就是利用數學的現實性進行橫向數學化的過程，而橫向數學化的主要手段就是抽象和概括。但是教學是不是就僅此而已完成了任務？學生思維又該如何向縱深發展呢？針對這一課，我們需要思考的是，對于乘法分配律這個知識點，學生理解的難點在哪里？

我們知道，對于乘法交換律和乘法結合律，由于等式左右兩邊的數并沒有因為交換和結合而發生改變，學生理解起來難度并不大，但是對于乘法分配律來說，等號左右兩邊的數的個數發生了變化，由形式上的三個變成了四個，并且既有加法運算又有乘法運算，這兩個變化是學生理解的難點。因此，對于“乘法分配律”這個規律的前提，即“兩個數的和與一個數相乘以及兩個數分別與這個數相乘”在算式中的特征的觀察是非常重要的，這直接影響著能否理解規律。如果僅憑一個算式就讓學生觀察算式的特點顯得過于單薄，教師需要變化算式的條件引起學生的注意。

教學片斷二：

教師：如果還是買上衣和褲子，不過要買8套，你會怎么解決？接著引導學生列出（65+45）×8=65×8+45×8的算式。（這個例子是加數不變，只變化乘數，目的就是聚焦乘數的變化給等號兩側算式帶來的變化）

接著，教師繼續問道：如果現在將短袖和褲子配成一套，買這樣的5套，你能列式解決嗎？（32+45）×5=32×5+45×5（這個例子是乘數不變，只變化加數，看看這種變化對算式帶來的影響）

這樣，屏幕上就出現了三道等式，學生在初次嘗試建立等式，繼而變化乘數、變化加數的過程中，結合具體情境初步體驗到等式左右結構變化的規律。隨后，教師讓學生拋開情境，嘗試用數學語言來表述，這是幫助學生從橫向數學化走向縱向數學化的一個橋梁。從這個環節開始，學生就可以將重點聚焦在對算式內部特征的研究了。

然后，教師提問：觀察3道算式，等號左右兩邊有幾個不同的數？在進行什么運算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

學生：有三個數，加法和乘法

教師：等號兩邊的算式都在進行加法和乘法運算，他們的運算順序一樣嗎？

學生：不一樣，左邊是先加后乘，右邊是兩部分，是先乘后加。

教師：能具體說一說它們的運算順序嗎？

在教師的引導下，學生作出如下的表述：

學生1：左邊算的是“65與45的和乘5”，右邊算的是“65乘5的積與45乘5的積相加”（65和45分別乘5，再相加）結果相等。

學生2：左邊算的是“65與45的和乘8”，右邊算的是“65乘8的積與45乘8的積相加”，結果相等。

教師：通過大家的發言，我們發現，等號左邊的算式都有一個共同特點，都是先算“兩個數的和，再乘一個數”，等號右邊也都有一個共同特點，都是把這兩個數分別乘上這個數再相加，結果相等。

在這個環節中，我們把數學問題從具體情境中剝離了出來，不再依附于情境，直接利用數學的符號研究數學的規律。教師設計了幾個不同思維要求的數學活動引導學生用數學的思維思考、總結規律，目的是要促進學生認知的發展。在這個過程中，首先是模仿，其次是不完全歸納，再次是形成規律，這個過程是學生的認知水平由事實性水平向概念性、方法性水平不斷向縱深發展的過程，也可以看作是縱向數學化深入的結果，這是數學活動所期許達成的目標。因此，關注活動的指向、體驗數學的抽象性、實現數學化是我們目前應關注的問題。

在學習了這堂課以后，學生會猜測：兩個數的和與一個數相乘有這樣的規律，那么三個數、四個數的和與一個數相乘也有這樣的規律嗎？乘法有分配律，除法有嗎？如果把括號里的加號改成減號，這個等式還成立嗎？由前面的結論引申出的這些新問題，是否還有必要借助于情境來說明道理？通過這樣的猜測和思考，能夠促進學生數學思維的發展。

如今的小學數學課并不缺乏情境的創設，而是缺乏從情境走向對數學問題研究時的數學化立場。如果說從生活走向數學為教學創造了一個適宜的起點，那么對數學知識內部的觀察、整理、辨析和聯結則是發展學生數學思維的重要過程，這個過程應該在數學活動中充分展開。我們如果在這項工作上再作深入的思考和實踐，那么，數學課的數學味會更加濃郁。筆者認為，數學教育就是要追求生活與數學高層次的整合，要做到生活化的數學，數學化的生活。

（作者單位：江蘇省蘇州市敬文實驗小學）

（責任編輯：徐曉卿）endprint

荷蘭數學家弗賴登塔爾曾經說過：“與其說是學習數學，倒不如說學習‘數學化。”數學教師對這個理念一定非常清楚。這樣的理念雖然常常能被人們理解，但若要教師用理念指導教學，并不是一件容易的事，需要下功夫好好琢磨。事實上，對理念的實踐，很多情況下我們是在一種似懂非懂的狀態下進行的，由于沒有觸及到本質，教學缺乏高位的設計，課堂整體性和連貫性不夠，甚至會出現為了迎合某種時髦的形式導致教學目標偏離方向的情況。

由此，筆者認為，在小學數學教學中，要充分理解并引入“數學化”的概念。那么，何謂數學化呢？那就是人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數學的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現象并加以整理和組織的過程。簡單地說，數學地組織現實世界的過程就是數學化。數學化分為兩個層次，即橫向數學化和縱向數學化，橫向數學化包括從真實生活走進符號世界，而縱向數學化是指在符號世界中進行移動。接下來，筆者將根據教學片斷來闡釋教學中的“數學化”。

我們以教學“運算律”為例說明教師的教學方式，給出下圖展開教學：

教學片斷一：

教師：同學們，六一兒童節快到了，王阿姨準備買一些衣服作為節日禮物送給福利院的孩子們，請看圖片。仔細觀察，從圖中我們可以知道哪些信息？要解決什么問題？根據這些信息，你會列式解答嗎？

在學生獨立思考之后，得出兩種解題思路：

學生1：分別買5套夾克和5套褲子，再算出總價。

65 × 5 + 45 × 5

= 325 + 225

= 550（元）

學生2：先算出一套衣服的價錢，再算出總價。

（65 + 45）× 5

= 110 × 5

= 550（元）

教師：同學們請看，大家思考問題的角度不同，有的同學是先算買夾克衫和買褲子各用了多少元，還有的同學是先算買一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

這樣的數學活動，就是鼓勵學生將知識從具體的情境中分離抽象出來，是將生活問題抽象成數學問題的過程，其實質就是讓學生帶著自己的知識經驗，朝學科知識逐漸靠近。在教學中設置情境能夠幫助學生打通從生活走向數學的通道，理解問題變得不再困難。因此，筆者認為，要讓學生經歷數學化的過程，首先要設置情境，注重情境的運用，通過數學的現實性來實現數學化。當學生對此問題列出不同的算式并準備解答，這就是利用數學的現實性進行橫向數學化的過程，而橫向數學化的主要手段就是抽象和概括。但是教學是不是就僅此而已完成了任務？學生思維又該如何向縱深發展呢？針對這一課，我們需要思考的是，對于乘法分配律這個知識點，學生理解的難點在哪里？

我們知道，對于乘法交換律和乘法結合律，由于等式左右兩邊的數并沒有因為交換和結合而發生改變，學生理解起來難度并不大，但是對于乘法分配律來說，等號左右兩邊的數的個數發生了變化，由形式上的三個變成了四個，并且既有加法運算又有乘法運算，這兩個變化是學生理解的難點。因此，對于“乘法分配律”這個規律的前提，即“兩個數的和與一個數相乘以及兩個數分別與這個數相乘”在算式中的特征的觀察是非常重要的，這直接影響著能否理解規律。如果僅憑一個算式就讓學生觀察算式的特點顯得過于單薄，教師需要變化算式的條件引起學生的注意。

教學片斷二：

教師：如果還是買上衣和褲子，不過要買8套，你會怎么解決？接著引導學生列出（65+45）×8=65×8+45×8的算式。（這個例子是加數不變，只變化乘數，目的就是聚焦乘數的變化給等號兩側算式帶來的變化）

接著，教師繼續問道：如果現在將短袖和褲子配成一套，買這樣的5套，你能列式解決嗎？（32+45）×5=32×5+45×5（這個例子是乘數不變，只變化加數，看看這種變化對算式帶來的影響）

這樣，屏幕上就出現了三道等式，學生在初次嘗試建立等式，繼而變化乘數、變化加數的過程中，結合具體情境初步體驗到等式左右結構變化的規律。隨后，教師讓學生拋開情境，嘗試用數學語言來表述，這是幫助學生從橫向數學化走向縱向數學化的一個橋梁。從這個環節開始，學生就可以將重點聚焦在對算式內部特征的研究了。

然后，教師提問：觀察3道算式，等號左右兩邊有幾個不同的數？在進行什么運算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

學生：有三個數，加法和乘法

教師：等號兩邊的算式都在進行加法和乘法運算，他們的運算順序一樣嗎？

學生：不一樣，左邊是先加后乘，右邊是兩部分，是先乘后加。

教師：能具體說一說它們的運算順序嗎？

在教師的引導下，學生作出如下的表述：

學生1：左邊算的是“65與45的和乘5”，右邊算的是“65乘5的積與45乘5的積相加”（65和45分別乘5，再相加）結果相等。

學生2：左邊算的是“65與45的和乘8”，右邊算的是“65乘8的積與45乘8的積相加”，結果相等。

教師：通過大家的發言，我們發現，等號左邊的算式都有一個共同特點，都是先算“兩個數的和，再乘一個數”，等號右邊也都有一個共同特點，都是把這兩個數分別乘上這個數再相加，結果相等。

在這個環節中，我們把數學問題從具體情境中剝離了出來，不再依附于情境，直接利用數學的符號研究數學的規律。教師設計了幾個不同思維要求的數學活動引導學生用數學的思維思考、總結規律，目的是要促進學生認知的發展。在這個過程中，首先是模仿，其次是不完全歸納，再次是形成規律，這個過程是學生的認知水平由事實性水平向概念性、方法性水平不斷向縱深發展的過程，也可以看作是縱向數學化深入的結果，這是數學活動所期許達成的目標。因此，關注活動的指向、體驗數學的抽象性、實現數學化是我們目前應關注的問題。

在學習了這堂課以后，學生會猜測：兩個數的和與一個數相乘有這樣的規律，那么三個數、四個數的和與一個數相乘也有這樣的規律嗎？乘法有分配律，除法有嗎？如果把括號里的加號改成減號，這個等式還成立嗎？由前面的結論引申出的這些新問題，是否還有必要借助于情境來說明道理？通過這樣的猜測和思考，能夠促進學生數學思維的發展。

如今的小學數學課并不缺乏情境的創設，而是缺乏從情境走向對數學問題研究時的數學化立場。如果說從生活走向數學為教學創造了一個適宜的起點，那么對數學知識內部的觀察、整理、辨析和聯結則是發展學生數學思維的重要過程，這個過程應該在數學活動中充分展開。我們如果在這項工作上再作深入的思考和實踐，那么，數學課的數學味會更加濃郁。筆者認為，數學教育就是要追求生活與數學高層次的整合，要做到生活化的數學，數學化的生活。

（作者單位：江蘇省蘇州市敬文實驗小學）

（責任編輯：徐曉卿）endprint