高中數學向量的教學認識及其教育價值

王峻峰

在新課改背景下的向量教學中，高中數學教材分別設置了平面向量與空間向量兩部分。受到傳統向量應用教學的局限思維影響，很多教師認為向量知識主要應用于幾何問題，用于簡化幾何問題，拓寬解題思路上。因此，向量教學也偏向于幾何問題解決技巧教學，忽視對其教育價值的使用。在本文中，我們將從高中數學向量教學的認識出發，對其教育價值進行討論。

一、向量的認識

向量具有顯著的應用價值，在數學、物理及現代科技中都有著廣泛的應用。

1.物理學背景

向量表示具有大小和方向的基本量，常用箭頭表示，在物理學中稱為矢量。矢量在重力場、電場等處有著直接應用，位移、力、速度、加速度等物理概念都具有矢量的性質。矢量的運用貫穿于物理學科發展的始終，滲透在眾多物理學分支學科中。這些矢量模型都是數學向量的經典原型，為學生們今后的數學向量學習提供了豐富的物理依據。

2.幾何學背景

向量具有大小和方向，而幾何學的主要研究內容就是物體的形狀和位置，大小可以表示幾何形狀，方向可以表示幾何位置，這兩者之間密切相關。在幾何學中，直線、平面及其位置關系都可以利用向量的方向性來表示;線段長度、平面面積和幾何體積則可以利用向量的大小及其運算法則表示。因此，在高中數學向量的教學中，教師必須引導學生將向量知識向幾何意義方向過渡，幫助學生掌握向量與幾何學的關系。

3.代數學背景

代數學的主要研究內容包括運算及其基本規律，傳統的代數運算包括加減乘除等，而這些運算在向量中同樣存在。向量運算除了加減乘除外，還包括向量積（點乘）、數量積（叉乘）等。這些代數運算法則及其規律賦予了向量知識新鮮血液，催生了一系列特定的向量結構。

二、向量的教育價值

1.聯系其他學科，實現背景教學

向量知識不僅僅為數學學科所使用，在物理學中同樣有著重要的教育價值。在向量知識的實際教學過程中，必須注重對應的學科聯系性教學，幫助學生全面掌握向量知識。

例如，在必修四的向量加法運算教學中，我們可以利用位移合成的原理來導入加法運算法則。我們假設一個物體從點A運動到點B，再從B點運動到C點，則整個過程中AB與BC兩端位移的位移和是從A點到C點的位移。以此為背景，我們可以導入向量加法的三角形原則和平行四邊形原則。在向量數乘的教學上，我們可以利用位移的數乘來作為導入背景，通過位移數乘的直觀性教學，幫助學生認識向量數乘運算法則。在向量的數量積教學中，我們利用外力做功的物理學背景進行教學。對此，我為學生們設置了如下的背景，一物體受力為F，若在θ角方向上的位移為S，試問外力做功為多少？由角度可知，在位移方向上的外力為F1，則在沿位移方向上的外力做功為F1S，則此時外力對物體做功為FScosθ。通過物理背景的融入，我們將數量積的決定因素展示給了學生們。

2.綜合各類知識，實現方法教學

從我們對向量知識的認識可知，向量的教學可以有效地將幾何與代數知識相聯系，實現各類知識之間的聯系性教學，幫助學生掌握其中的數學方法。向量作為聯系代數與幾何的媒介，很多向量問題可以利用代數與幾何的知識來綜合解決，有利于培養學生的數形結合思想。

【例題】（2012年興化市）如下圖A、B、C是直線l上的三點，P是直線外一點，若AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，則 ? ? ? ? ? _____（用a表示）。

【分析】本題屬于向量積求解問題，結合幾何圖形與代數法則，我們可以從以下方法中尋求突破。首先，我們可以利用代數知識進行求解，以PA、PB作為坐標軸，建立坐標系。于是，我們設A（m，0）、B（0，n），則C點坐標為（-m，2n），根據AB=BC=a，可以進一步求出A、B兩點的坐標。最后，利用向量積的代數運算法則，我們可以得到 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。此外，我們可以利用幾何的方法進行求解，點C在直線AP上的投影為D，則△DPC為等腰直角三角形。利用上圖所示三角形中線與中位線的知識，我們可得出PC= ? ?PD=

PA、2PB=CD=PB=PA。最后，利用勾股定理，我們可以求出PA與PC。利用幾何關系，可得到 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

3.發展計算能力，深化向量價值

與初中數學相比，高中數學對學生計算能力的要求進一步提高，需要學生對數學知識有著深入的掌握。從單純的數字向字母、多項式和矩陣方向發展，數學計算也是朝著復雜化與多樣化方向發展。在數字與字母的組合下，數運算、多項式運算為A×A=A的形式，數與多項式的運算為A×B=B的形式。向量運算除了以上的類型，還包括較為特殊的數量積運算，即是A×A=B的形式。在向量運算背景下，我們得以實現對長度、面積和體積等度量單位的計算問題，向學生們展現了不一樣的計算類型。

總之，向量在物理、數學和現代科學技術中都有著廣泛的應用，對學生綜合能力培養有著重要的作用。在新課改背景下，我們必須精確定位學生需求，進一步深化學生對向量知識的認識與理解。

（作者單位：江蘇省射陽縣高級中學）