勻強電場中電子運動的路程分析

勻強電場中電子運動的路程分析

衛麗娜

(寧夏理工學院文理學院寧夏 石嘴山753000)

摘 要：運用微積分知識導出電子在勻強電場中做斜拋運動的路程表達式.并推出對同一初速度而言，當進入角θ=56.455 078°時，電子運動的路程最大.

關鍵詞：勻強電場電子運動路程

收稿日期：(2015-08-17)

Abstract：Essentially，the model of spring oscillator motion affected by stable constraint on horizontal plane is a problem of particle motion under the action of central force which is proportional to the first-power of r. In this paper，we have established the kinetic equation about this model in polar coordinates by Lagrange equation. We respentively take the methods of Taylor series expansion and Matlab software numerical simulation to calculate the kinetic equation，and we have depicted the corresponding curve which coordinates change with the time，the movement phase diagram and the trajectory. We have compared the results of two methods and found that when the initial velocity is slower，the motion of spring oscillator in the radial direction is periodic simple harmonic motion and it is non-linear increasing in the transverse，the movement on the horizontal plane is quasiperiodic.

1引言

在普通物理課程中，電子e以初速度v0進入帶等量異種電荷的平行金屬板之間的勻強電場E中，忽略其重力的影響[1]，僅考慮電子受到的電場力.本文利用微積分知識推導出該電子在勻強電場E中路程的表達式，并進一步推導出對同一初速度而言，只有當進入角θ=56.455 078°時，電子運動的路程L最長.

2電子運動路程表達式

如圖1所示，帶等量異種電荷的平行金屬板之間的勻強電場E，建立平面坐標系xOy，電子進入電場時的速度方向與正極板間的夾角為θ(0<θ<90°).

圖1

Study on Particle Motion under the Action of Central

Force in Proportional to the First Power of R

Li YangWang HongHan Yanling

(School of Mathematics and Physics，China University of Geosciences，Wuhan，Hubei430074)

Key words：horizontal plane；stable constraint；spring oscillator；polar coordinates；Taylor series expansion；Matlab software numerical simulation

(1)

其中R為電子的水平射程(平行于x軸)且

式中me為電子的質量.又

(2)

其中t為電子運動時間.消去t，則得電子運動的軌跡方程

(3)

對其求導數，可得軌跡微元的斜率

(4)

將式(4)代入式(1)并利用積分公式[2]

整理得

(5)

即為電子運動的路程表達式.

3數值結果與討論

運用式(5)對電子[進入電場時的速度方向與正極板間的夾角為θ(0<θ<90°)]在帶等量異種電荷的平行金屬板之間的勻強電場E中的運動進行討論.

3.1當θ為特殊值時電子運動的路程

而由式(5)，當θ→90°時，有

(6)

可見，其結果與我們預見的一致.

3.2當電子運動的路程最長時的θ值

式(5)兩邊對θ求導(設v0一定)，得

(7)

令

(8)

其解為θ0，則由式(7)得L′(θ0)=0 又因

(9)

故由式(8)、(9)得

L″(θ0)=

依題意0<θ<90°，則說明當θ=θ0時，L取最大值.運用二分法通過計算機求解式(8)得θ=56.455 078°時，即對于同一初速度v0進入帶等量異種電荷的平行金屬板之間的勻強電場E中運動的電子而言，當進入角θ=56.455 078°時，電子運動的路程最大.

參 考 文 獻

1馬繼坤. 帶電粒子在電場中運動的典型例題分析. 新高考(高一物理)，2014(6)：20～21

2黃立宏.高等數學(上冊)(第3版).上海：復旦大學出版社，2013.267