與r的一次方成正比有心力作用下質點的運動研究

與r的一次方成正比有心力作用下質點的運動研究

李 陽王 宏韓艷玲

[中國地質大學(武漢)數學與物理學院湖北 武漢430074]

中國地質大學(武漢)2014-2015學年度教學實驗室開放基金項目資助，項目編號：SKJ2014216

摘 要：在水平面上受穩定約束的彈簧振子運動模型，實質上是一個與距離r的一次方成正比有心力作用下質點的運動問題.本文利用拉格朗日方程建立了該運動模型在極坐標系中的動力學方程，分別采用泰勒級數展開的方法和Matlab數值模擬的方法對該模型的動力學方程進行了計算，作出了相應的坐標隨時間的演化曲線、運動相圖、運動軌跡，并將兩種方法得出的結果進行了比較，研究發現,當初速度較小時，彈簧振子在徑向的運動是周期性的簡諧運動，在橫向的運動是非線性增大的，在平面上的運動是準周期的.

關鍵詞：水平面穩定約束彈簧振子極坐標系泰勒級數展開Matlab數值模擬

收稿日期：(2015-06-01)

作者簡介：李陽(1991-)，男，在讀碩士研究生,主要從事物理教學論研究.

通訊作者：韓艷玲(1965- )，女，博士，教授，碩士生導師，主要從事大學物理教學和光子晶體理論研究.

受穩定約束的彈簧振子是由一個大密度的實心小球和一個輕質彈簧構成的，彈簧的一端固定不動，另一端和小球相連，它既是力學中不可積系統的典型模型[1]，同時，又是工程學中典型的非線性運動之一.

在理論力學中，人們研究較多的是豎直平面內的彈簧擺運動[1～4]，對于水平面上受穩定約束的彈簧振子運動研究的較少，實際上，它是一個與距離r的一次方成正比有心力作用下質點的運動問題.

截止目前，人們已經研究了與距離r的二次方成反比、三次方成反比、五次方成反比有心力作用下質點的運動[5～7]，但是，與距離r的一次方成正比有心力作用下質點的運動研究卻鮮見報道. 鑒于此，本文對該模型下的這一問題進行了研究與分析，寫出來與讀者進行交流.

1系統的動力學方程

如圖1所示，在水平面上受穩定約束的彈簧振子是由一個輕質彈簧和一個大密度的實心小球構成的，其中彈簧的勁度系數為κ，原長為l0，小球的質量為m，直徑忽略不計，視為質點.

圖1　水平面上受穩定約束的彈簧振子

在水平面上，忽略阻力影響，某一時刻對小球施加一個瞬時的沖量，小球開始運動，彈簧對小球的彈力即為小球所受的合力，且力的方向所在的直線始終通過極點O,整個系統為有心的保守力系，其拉格朗日方程為

(1)

系統的動能和勢能分別為

系統的拉格朗日函數為

(2)

將式(2)代入式(1)，其中q1=r，q2=θ，可得

(3)

其中h為常量.

將式(3)中的第二式代入第一式，并對第二式進行處理可得系統的動力學方程為

(4)

2近似的解析解

式(4)第一式是一個二階的非線性微分方程，若直接求其通解，則無法求出，但通過近似處理，可以得到相應的解析解.

令x=r-l0，則式(4)可以改寫為

(5)

(6)

將式(6)代入式(5)，整理可得

(7)

令

則式(7)可化為

(8)

式(8)的解析解為

其中A和φ均為參數，對于微振動，x是一個隨時間變化的量，所以A≠0，即

(9)

3數值模擬

為了使該研究更具普遍性，在該體系中，隨機選取參數m=0.02kg，κ=0.5N/m，l0=1.0m，令積分常數h=1. 采用Matlab軟件對系統的動力學方程、運動軌跡以及近似解分別進行數值模擬.

3.1動力學方程的數值解

對于式(4)，采用四階的Runge-Kutta方法進行數值計算.為了便于比較，選定兩組初始條件進行數值模擬.

圖2　初速度v 0=1.414 m/ s時的r-t曲線

圖3　初速度v 0=1.414 m/ s時的 相圖

圖4　初速度v 0=1.414 m/ s時的θ-t曲線

圖5　初速度v 0=1.414 m/ s時的 相圖

圖6　初速度v 0=1.414 m/ s時r隨θ變化的曲線

圖7　初速度v 0=10 m/ s時的r-t曲線

圖8　初速度v 0=10 m/ s時的 相圖

圖9　初速度v 0=10 m/ s時的θ-t曲線

圖10　初速度v 0=10 m/ s時的 相圖

圖11　初速度v 0=10 m/ s時r隨θ變化的曲線

3.2不同初始條件下振子的運動軌跡

為了更好地研究彈簧振子在水平面上的運動情況，分別模擬出振子在兩組初始條件下的運動軌跡.在第一組初始條件下，取計算時間為50s，和前面相對應，步長取0.05s，則振子的運動軌跡如圖12所示；在第二組初始條件下，取計算時間為50s，步長對應取0.01s，則振子的運動軌跡如圖13所示.

圖12　初速度v 0=1.414 m/ s時振子的運動軌跡

圖13　初速度v 0=10 m/ s時振子的運動軌跡

3.3近似解析解與數值解的擬合

當初速度為v0=1.414m/s時，對于已選定的體系可計算出相應參數

ω=5.291 5rad/sa=0.035 7m

模擬時取計算時間為10s，步長為0.05s， 令初相φ=1.754 9rad，A=0.195m，則式(4)經處理后的近似解析解與直接數值解的擬合如圖14所示.

圖14　當v 0=1.414 m/ s時徑向兩種解的擬合

4對結果的討論

以上我們對系統的動力學方程分別采用了兩種不同的方法進行了計算.

一種是在微振動的情況下，對非線性方程進行了泰勒級數展開，保留了一階小量，得到了沿徑向的質點運動學方程，從中可以看出質點在徑向做的是簡諧振動，且簡諧振動的頻率取決于系統的屬性.

另一種是在Matlab軟件中利用四階的Runge-Kutta方法直接對非線性方程求數值解.當質點的初速度較小時，從圖2和圖3可以看出，質點在徑向做的是周期性運動.如圖14所示，通過選取合適參數，將徑向的數值解與徑向的近似解析解進行擬合，也可以看出當初速度較小時，質點在徑向做的是周期性的簡諧振動.

當質點的初速度較小時，從圖4和圖5可以看出，在橫向，角度隨時間呈非線性增大，角速度隨時間的變化帶有明顯的周期性. 從圖6可以看出，隨著橫向角度的增大，質點在徑向的運動具有周期性. 從圖12振子在水平面上的運動軌跡可知，振子在水平面上的運動是準周期的.

當質點的初速度較大時，從圖7和圖8可以看出，質點在徑向的運動出現了一種有趣的現象，即當彈簧振子處于伸長狀態時，質點在徑向的運動是周期性的，當彈簧振子處于壓縮狀態時，質點會很快被彈出并開始下一次的運動，這可能是因為彈簧的壓縮量已經達到了所能承受的極限所致. 且在徑向運動的振幅要比初速度較小時大很多.

當質點的初速度較大時，從圖13振子在水平面上的運動軌跡可知，振子在水平面上的運動是準周期的，且振幅比初速度較小時大很多. 從圖9和圖10可以看出，在橫向，角度隨時間依然呈非線性增大，但角速度隨時間的變化已經沒有了周期性，橫向的相圖十分復雜. 從圖11可以看出，隨著橫向角度的增大，質點在徑向的運動只在彈簧振子處于伸長狀態時具有周期性，這與前面的分析是一致的.

5結語

在水平面上受穩定約束的彈簧振子運動模型，實質上是一個與距離r的一次方成正比有心力作用下質點的運動問題.

本文利用拉格朗日方程建立了該運動模型在極坐標系中的動力學方程，分別采用泰勒級數展開的方法和Matlab數值模擬的方法對該模型的動力學方程進行了計算，作出了相應的坐標隨時間的演化曲線、運動相圖、運動軌跡，并將兩種方法得出的結果進行了比較.研究發現,當初速度較小時，彈簧振子在徑向的運動是周期性的簡諧運動，在橫向的運動是非線性增大的，在水平面上的運動是準周期的.

致謝：本文在撰寫的過程中曾與湖北文理學院物理系夏清華教授、楊正波副教授、高翔老師進行過有益討論，在此表示感謝.

參 考 文 獻

1李云龍，倪致祥. 彈簧擺振動能變化的數值研究.阜陽師范學院學報，2009，26(4)：45～48

2楊正波，夏清華，劉思平. 不同控制參數下的彈簧擺. 大學物理，2011，30(5)：23～27

3管慧，李維善. 彈簧擺運動的研究. 大學物理，2010，29(3)：16～20

4司麗榮，張競夫.彈簧擺內共振現象的實驗研究.物理實驗，2002，22(3)：13～16

5龔峻明.有心力與平方反比軌道.沈陽農業大學學報，1987,18：25～30

6李秀芬. 距離三次方反比有心力作用下質點的運動. 科技資訊，2009，9(3)：239

7那仁滿都拉. 五次方反比引力作用下質點運動的軌道. 大學物理，2012，31(11)：9～10