基于樣本變異系數的Gamma分布參數估計

陳　超,孟昭為

(山東理工大學 理學院, 山東 淄博 255049)

基于樣本變異系數的Gamma分布參數估計

陳超,孟昭為

(山東理工大學 理學院, 山東 淄博 255049)

摘要：Gamma分布的參數估計問題在數學中占有非常重要的地位.借助矩估計通過樣本變異系數獨立性構造了Gamma分布的形狀參數和尺度參數新的估計量,并通過比較偏差作為評價樣本對估計參數下的分布效果.

關鍵詞：伽馬分布; 樣本變異系數; 矩估計量

收稿日期：2015-01-12

基金項目：山東省自然科學基金項目(ZR2013FM012)

作者簡介:陳超,男,chenchao881014@126.com

文章編號：1672-6197(2016)01-0033-04

中圖分類號：O213

文獻標志碼：A

Abstract:The problem of parameter estimation with Gamma distribution occupied a very important position in the mathematic. In this paper, by means of moment estimation through the independence of sample coefficient of variation, we constructed the new estimators of shape parameter and scale parameter of Gamma distribution and estimated distribution parameters by comparing the deviation.

EstimatingparametersofGammadistribution

basedonsamplecoefficientofvariation

CHENChao,MENGZhao-wei

(SchoolofScience,ShandongUniversityofTechnology,Zibo255049,China)

Keywords:Gammadistribution;samplecoefficientofvariation;momentestimator

參數估計作為Gamma分布研究的核心問題,是長期以來制約它們實際應用的主要技術瓶頸,倍受各國學者關注.Frery等人在提出Gamma分布的同時也指出該分布的參數估計存在困難[1].為了尋找一種較好的參數估計方法,多年來國內外學者進行了大量的探索和研究.早在1924年美國學者福斯特采用傳統的矩法估計參數，但此后他認識到矩法估計誤差太大.1946年,前蘇聯數學家克里茨基、閔凱里采用最小模比公式進行了參數估計.由于總體最小模比系數無法確定,導致結果出現了嚴重偏差. 1960年,前蘇聯學者阿列克謝夫推薦用三點法估計Gamma分布參數,三點法同樣受到個別觀測誤差的巨大影響,缺乏平差功能.Hwang和Hu通過Gamma分布的隨機樣本證明了樣本變異系數的獨立性[2].本文將利用這一特性推導出樣本變異系數平方的期望和方差,進而提出Gamma分布形狀參數和尺度參數的新的矩估計量.

1參數估計的基本原理

Gamma分布參數的新的矩估計量,需要Hu和Hwang的如下定理[3].

下面的結論以及定理1有助于求出Vn2的期望和方差.

定理2設X1,…,Xn為Gamma分布密度函數的隨機變量,其Gamma密度為

則

證明 很容易得到

(1)

由樣本變異系數的定義[4]可知

且其k階距為

(2)

由(1)和(2)得

定理2證畢.

2Gamma分布參數的新的矩估計量

定理3 設X1,…,Xn為Gamma分布密度函數的獨立同分布隨機變量,其密度函數為

(x>0,α>0,β>0)

證明 由定理1,可以得到

由定理2,根據上述等式得

定理3證畢.

注意到:當n→時,.由于是樣本變異系數的平方,因此是樣本變異系數平方的漸近無偏估計量.

(3)

(4)

由Gamma分布的性質得:

則:

由上述等式得:

(5)

由定理2和等式(5)得:

即

由此可得

(6)

這樣可以認為當樣本足夠大時,樣本變異系數可以看做常數.它可以用作檢驗結果以及估計標準差.

3偏差

由偏差的定義[8]可知:

1)給定α和n得到Γ(α,n).

2)取100 000個獨立的蒙特卡羅樣本,每組樣本容量為n.

nα=0.1α=1.0α=4.0α=1550.1271.1216.6430.4100.1211.0855.9827.5200.1151.0785.0123.11000.1131.0314.2315.72000.1091.0134.1115.2

4估計量的比較

再次用蒙特卡羅法來比較在有限樣本下Gamma分布的各種形狀參數估計量的偏差,從而更好地認識各種參數估計量的優劣.不失一般性,把Gamma分布尺度參數β設為1.0.

表2Gamma分布不同參數估計量的偏差

nα^MOMα^MLEα^M50.0630.0310.027100.0510.0220.021200.0350.0090.0151000.0130.0020.0135000.0040.0010.009α=0.1β=1.0

5結束語

本文利用樣本變異系數的獨立性提出了求解Gamma分布參數估計的新方法.首先通過樣本矩估計總體矩得到了形狀參數α和尺度參數β的估計量,然后利用樣本變異系數的特性構造了該分布參數的新的估計量.并進行了一定的數據分析,利用這種方法可以將此類問題簡單化.

參考文獻

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(編輯：劉寶江)