一個整系數多項式的整數解

肖　凌，曹永林1

(1. 山東理工大學 理學院， 山東 淄博 255049; 2.淄博理工學校 汽修系， 山東 淄博 255100)

一個整系數多項式的整數解

肖凌1,2，曹永林1

(1. 山東理工大學 理學院， 山東 淄博 255049; 2.淄博理工學校 汽修系， 山東 淄博 255100)

摘要：作為數論中一個熟知結論的推廣，利用Gauss-Wilson定理和中國剩余定理，對任意正整數n，確定出了多項式+1模n的全部整數根，進而對任意整數x刻畫出了其取值情況.

關鍵詞：原根；中國剩余定理；整數的剩余表示

收稿日期：2015-01-09

通信作者：

作者簡介:肖凌，女，autumndaisy@163.com；曹永林，男，ylcao@sdut.edu.cn

文章編號：1672-6197(2016)01-0026-03

中圖分類號：O156.1

文獻標志碼：A

Abstract:As a generalization of a wellknown result in elementary number theory, we investigate the zeros of the polynomial

Thevalueandzerosofsomepolynomialwithintegercoefficients

XIAOLing1,2，CAOYong-lin1

(1.SchoolofScience,ShandongUniversityofTechnology,Zibo255049,China;

2.AutoRepairDepartment,ZiboSchoolofTechnology,Zibo255100,China)

inthisnote.Furthermore,wegiveacompleteaccountofthevalueofitbyChineseRemainderTheoremandGauss-WilsonTheorem.

Keywords:primitiveroot;chineseremaindertheorem;modularrepresentationofintegers

定理1[1]設p為給定的素數，則對任意整數x恒有同余式

1預備知識

或

引理1設m，n是互素的兩個正整數，則有

推論1 設m，n是互素的正整數，則有

2主要結果及其證明

1)如果x與pα互素，則必存在ri，1i使得且根據歐拉定理知，此時從而

2)如果x與pα不互素，則對于模pα縮系中任意ri有

(1)

(2)

由式(1), (2)知

(2)n=2α0，α0>2；

其中pi為奇素數，αi>0，i=1,…,k，為了敘述方便，令p0=2.我們有

定理3設正整數n不具有原根，沿用上面的記號，對任意整數x，令

則有如下剩余表示

由推論1知

(3)

綜合上述結論，容易得到：

例當n=100=22×52時，令m1=22，m2=52，有

M1=25,M1′=1；M2=4,M2′=19.

參考文獻

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(編輯：姚佳良)