基于響應(yīng)面法的巨－子結(jié)構(gòu)控制體系可靠性靈敏度分析

第一作者李祥秀女，博士生，1987年10月生

通信作者譚平男，研究員，博士生導(dǎo)師，1973年9月生

基于響應(yīng)面法的巨-子結(jié)構(gòu)控制體系可靠性靈敏度分析

李祥秀1，譚平2，劉良坤2，張穎2，周福霖1,2

(1. 北京工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，北京100124；2. 廣州大學(xué)工程抗震研究中心，廣州510405)

摘要：建立巨-子結(jié)構(gòu)控制體系動(dòng)力微分方程，利用復(fù)模態(tài)理論推導(dǎo)結(jié)構(gòu)體系的傳遞函數(shù)。用響應(yīng)面法獲取極限狀態(tài)函數(shù)，并基于隨機(jī)振動(dòng)首次超越破壞準(zhǔn)則，分析結(jié)構(gòu)體系動(dòng)力可靠度計(jì)算方法；考慮地震隨機(jī)激勵(lì)，結(jié)構(gòu)處于彈性狀態(tài)時(shí)分析其隨機(jī)參數(shù)對巨-子結(jié)構(gòu)控制體系層間位移角的可靠性靈敏度。結(jié)果表明，基于層間位移角的可靠度對子結(jié)構(gòu)剛度均值靈敏度較差，對主結(jié)構(gòu)剛度及隔震層阻尼比均值靈敏度較強(qiáng)。

關(guān)鍵詞：巨-子結(jié)構(gòu)控制體系；響應(yīng)面法；隨機(jī)振動(dòng)；動(dòng)力可靠度；靈敏度

基金項(xiàng)目：國家973項(xiàng)目 (2011CB013606)；國家基金委面上項(xiàng)目(51208129)；國家教育部新世紀(jì)人才項(xiàng)目 (NCET-11-0914)；國家教育部博士點(diǎn)基金(20104410110002)；廣州市羊城學(xué)者科技計(jì)劃項(xiàng)目(10A032D)

收稿日期：2013-12-16修改稿收到日期：2014-06-24

中圖分類號:TU352.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Dynamic reliability sensitivity analysis ofmega-sub control system based on response surface method

LIXiang-xiu1,TANPing2,LIULiang-kun2,ZHANGYing2,ZHOUFu-lin1,2(1. School of Civil Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China;2. Earthquake Engineering Research & Test Center, Guangzhou University, Guangzhou 510405, China)

Abstract:The equations of motion of a mega-sub control system were established when the sub-structure was modeled as a multi-degree of freedom system. The transfer function of the system was derived by using the complex modal theory. The ultimate state function was obtained by using the response surface method and then on the basis of the first passage mechanism of random vibration, the calculation method of dynamic reliability of the system was analyzed. Finally, the reliability sensitivity of the random parameters of the structure to story drift angle was analyzed when the ground motion was considered as a random excitation and the structure was considered to be in elastic state. The results indicate that the mean stiffness of substructure has poor sensitivities to story drift angle, while the sensitivities of the mean stiffness of main structure and the damping ratio of isolation layer to story drift angle are high.

Key words:mega-sub control system; response surface method; random vibration; dynamic reliability; sensitivity

研究表明，巨-子結(jié)構(gòu)控制體系[1-2]在脈動(dòng)風(fēng)激勵(lì)下的減振效果優(yōu)于傳統(tǒng)巨型框架結(jié)構(gòu)。連業(yè)達(dá)等[3]通過基于隨機(jī)振動(dòng)理論采用Devenport風(fēng)速譜分析巨-子結(jié)構(gòu)減振效果表明，巨-子結(jié)構(gòu)同時(shí)承受風(fēng)荷載時(shí)較僅巨型主體結(jié)構(gòu)承受風(fēng)荷載減振效果更好。藍(lán)宗建等[4-5]對在主、子結(jié)構(gòu)中設(shè)置隔震裝置進(jìn)行探討，分析巨-子結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性，研究隔震子結(jié)構(gòu)布設(shè)位置及數(shù)量對減震效果影響規(guī)律。

可靠性靈敏度分析對研究結(jié)構(gòu)體系可靠性具有重要意義。工程結(jié)構(gòu)諸多方面均含若干不確定因素，如材料參數(shù)、幾何尺寸、邊界條件、阻尼等。隨機(jī)因素對結(jié)構(gòu)體系動(dòng)力響應(yīng)分析結(jié)果影響不容忽視，一定條件下或成為主導(dǎo)因素[6-7]。本文綜合考慮地震激勵(lì)、結(jié)構(gòu)參數(shù)均為隨機(jī)，基于隨機(jī)振動(dòng)的首次超越破壞準(zhǔn)則，分析結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)對巨-子結(jié)構(gòu)控制體系層間位移角可靠性靈敏度影響規(guī)律，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1分析模型及運(yùn)動(dòng)方程

1.1分析模型

巨-子結(jié)構(gòu)控制體系計(jì)算模型通常因所選結(jié)構(gòu)方案及減振裝置不同而不同。為方便分析，本文采用串聯(lián)質(zhì)點(diǎn)系模型模擬主結(jié)構(gòu)，將每小層子結(jié)構(gòu)分別簡化為單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，且底層子結(jié)構(gòu)與主結(jié)構(gòu)梁之間的聯(lián)系采用Kelvin模型模擬，簡化分析模型見圖1。

圖1　分析模型 Fig.1 Analytical model of mega-sub control system

1.2運(yùn)動(dòng)方程

圖1分析模型的運(yùn)動(dòng)方程為

2復(fù)模態(tài)法推導(dǎo)結(jié)構(gòu)體系傳遞函數(shù)

由結(jié)構(gòu)阻尼矩陣[C]看出，巨-子結(jié)構(gòu)控制體系為典型的非經(jīng)典阻尼體系，振型分解法已不適用。因此本文用復(fù)模態(tài)方法分析動(dòng)力特性。

(2)

式(2)對應(yīng)的特征矢量方程為

[Meλ+Ke]Φ=0

(3)

將狀態(tài)量用復(fù)模態(tài)表示為

對第i階復(fù)模態(tài)，可寫成

(4)

上式通過杜哈梅積分求解，經(jīng)復(fù)模態(tài)疊加并經(jīng)拉氏變換可得

(5)

因此，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的傳遞矩陣為(令s=jω)

(6)

(7)

則結(jié)構(gòu)位移、速度的反應(yīng)方差分別為

(8)

3響應(yīng)面法

響應(yīng)面方法為結(jié)合數(shù)學(xué)應(yīng)用、統(tǒng)計(jì)分析及試驗(yàn)設(shè)計(jì)的技術(shù)探討影響因子與響應(yīng)輸出間數(shù)學(xué)模式關(guān)系，經(jīng)由試驗(yàn)所關(guān)心試驗(yàn)區(qū)域內(nèi)以系統(tǒng)方式進(jìn)行試驗(yàn)，取得希望的響應(yīng)值及因子水平[8]。

(9)

(10)

式中：

(11)

權(quán)數(shù)w可用樣本點(diǎn)距極限狀態(tài)方程g(x)=0的相對遠(yuǎn)近程度構(gòu)造，形式[10]為

(12)

4可靠性靈敏度分析

4.1首次超越破壞準(zhǔn)則

采用常用的首次超越破壞準(zhǔn)則[11]，即結(jié)構(gòu)響應(yīng)首次超過規(guī)定的上限或下限值，則認(rèn)為結(jié)構(gòu)遭破壞，計(jì)算巨-子結(jié)構(gòu)控制體系的可靠度。

對零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程y(t)，記ye，σy分別為y(t)的極值(絕對最大值)及標(biāo)準(zhǔn)差，并定義無量綱參數(shù)為

(13)

據(jù)水平跨越次數(shù)為Poisson過程假定，獲得極值概率分布為

P(η)=exp[-vTexp(-η2/2)],(η>0)

(14)

式中：

(15)

y(t)的第i階譜矩為

(16)

實(shí)際計(jì)算結(jié)構(gòu)損壞時(shí)應(yīng)考慮雙邊跨越情形。η的極值期望值及標(biāo)準(zhǔn)差近似為

(17)

(18)

式中：T為地震持時(shí)；E(η)σy為y(t)極值期望值；σησy為方差。

4.2可靠度計(jì)算

設(shè)滿足巨-子結(jié)構(gòu)控制體系不損壞層間位移角的界限值為gmax，則極限狀態(tài)函數(shù)為

(19)

極限狀態(tài)函數(shù)可表示結(jié)構(gòu)兩種狀態(tài)，即g(x)≤0為失效狀態(tài)，g(x)>0為安全狀態(tài)。因各隨機(jī)參數(shù)相互獨(dú)立，因此當(dāng)均值矩陣、方差矩陣分別為μ=(μ1,μ2,…,μn)、D=(D1,D2,…,Dn)時(shí) 則有

(20)

(21)

由此可得

E[g(x)]=μg(μ1,μ2,…,μn,D1,D2,…,Dn)

(22)

D[g(x)]=Dg(μ1,μ2,…,μn,D1,D2,…,Dn)

(23)

可靠性指標(biāo)定義為

(24)

若g(x)服從正態(tài)分布，得可靠度為

R=Θ(β)

(25)

對任意分布均可用Monte Carlo模擬計(jì)算可靠度。

4.3可靠性靈敏度

該參數(shù)靈敏度體現(xiàn)結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量分布參數(shù)對失效概率的影響程度，可為可靠性設(shè)計(jì)提供重要信息[12-13]。可靠度對基本隨機(jī)參數(shù)矢量均值矩陣μ及方差矩陣σ的靈敏度為

(26)

(27)

式中：

(28)

5算例分析

選位于Ⅱ類場地土的巨-子結(jié)構(gòu)控制體系為研究對象，主結(jié)構(gòu)5層，在2～5層分別布置6層子結(jié)構(gòu)。據(jù)分析獲得該巨-子結(jié)構(gòu)控制體系的運(yùn)動(dòng)方程、傳遞函數(shù)。分析結(jié)構(gòu)體系為彈性狀態(tài)時(shí)結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)對層間位移角可靠性靈敏度的影響規(guī)律。隨機(jī)激勵(lì)采用胡聿賢等的修正模型。引入?yún)?shù)wc，將Kanai-Tajimi譜的低頻含量合理縮減，功率譜密度函數(shù)為

(29)

式中：S0為基巖加速度自譜密度；ωg=15.71 rad/s，ζg=0.72分別為Ⅱ類場地土卓越圓頻率及阻尼比；wc=3.11[14]。

選結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量為子結(jié)構(gòu)剛度k1、主結(jié)構(gòu)剛度k2、隔震層剛度ks、子結(jié)構(gòu)質(zhì)量m及隔震層阻尼比ζ。并設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其均值分別為40×107N·m-1、9×107N·m-1、1.8×106N·m-1、1.93×105kg及0.2。據(jù)規(guī)定[15]，各樓層間位移角限值gmax=1/550rad，隔震層水平位移限值對橡膠支座不應(yīng)超過隔震支座有效直徑的0.55倍及支座內(nèi)部橡膠總厚度3倍二者中較小值。本文取隔震層變形限值0.55d，為便于分析，將公式做變換

(30)

式中：d為隔震支座有效直徑，取800 mm；dmax為隔震層實(shí)際變形最大值。

設(shè)隨機(jī)變量均具有0.1的變異系數(shù)，利用中心復(fù)合設(shè)計(jì)法取樣后據(jù)式(9)～(12)獲得結(jié)構(gòu)體系的層間位移角最大值響應(yīng)面函數(shù)為

g(x)=-0.00308+1.208×10-14k1+

4.738×10-11k2+5.776×10-11ks-

1.11×10-15m2-0.0105ζ2

據(jù)式(19)可得

4.738×10-11k2-5.776×10-11ks+

1.11×10-15m2+0.0105ζ2

由式(20)～(23)可得

μg=E[g(x)]=-0.00308+1.208×10-14μ1+

4.738×10-11μ2+5.776×10-11μ3-

Dg=D[g(x)]=(1.208×10-14)2μ1+

(4.738×10-11)2μ2+(5.776×10-11)2μ3+

(1.64×10-9)2μ4+(0.0061)2μ5+

略去μg及Dg對μ與D的偏導(dǎo)過程，得

(0.0007，0.399，-0.045，-0.091，0.093)

(5.67×10-13，1.65×10-7，

5.10×10-8，3.51×10-7，30.72)

由可靠度對隨機(jī)參數(shù)矢量均值靈敏度看出，子結(jié)構(gòu)剛度k1、主結(jié)構(gòu)剛度k2、隔震層阻尼ζ的均值增加會(huì)使巨-子結(jié)構(gòu)層間位移角可靠度增加；隔震層剛度ks、子結(jié)構(gòu)質(zhì)量m均值增加會(huì)使層間位移角可靠性降低，且結(jié)構(gòu)體系的層間位移角可靠度對k2，ζ均值的靈敏度較強(qiáng)，對k1均值靈敏度較差。由可靠度對隨機(jī)參數(shù)矢量方差靈敏度看出，基本隨機(jī)參數(shù)方差增加會(huì)增加層間位移角可靠度。

表1為考慮變異系數(shù)υ為0.05及0.1時(shí)，基于響應(yīng)面法所得可靠性靈敏度計(jì)算結(jié)果。由表1看出，變異系數(shù)取值對隨機(jī)參數(shù)矢量均值靈敏度影響較大，且隨變異系數(shù)增大，均值靈敏度呈增大趨勢，而對隨機(jī)參數(shù)矢量方差靈敏度影響較小，且隨變異系數(shù)增大，呈與均值靈敏度相反趨勢。

表1　不同變異系數(shù)下可靠性靈敏度計(jì)算結(jié)果

6結(jié)論

通過建立巨-子結(jié)構(gòu)控制體系運(yùn)動(dòng)方程，利用復(fù)模態(tài)理論推導(dǎo)結(jié)構(gòu)體系傳遞函數(shù)，用響應(yīng)面法獲取關(guān)于結(jié)構(gòu)層間位移角的極限狀態(tài)函數(shù)，并綜合考慮地震激勵(lì)及結(jié)構(gòu)參數(shù)均為隨機(jī)時(shí)對結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度進(jìn)行分析，結(jié)論如下：

(1)極限狀態(tài)函數(shù)未知時(shí)可用響應(yīng)面法計(jì)算可靠性靈敏度；而極限狀態(tài)函數(shù)為簡單的二次函數(shù)，便于計(jì)算方差、偏導(dǎo)，使可靠性靈敏度計(jì)算簡單易行。

(2)變異系數(shù)取值對隨機(jī)參數(shù)矢量均值靈敏度影響較大，而對隨機(jī)參數(shù)矢量方差靈敏度影響較小，且隨變異系數(shù)增大，兩者趨勢相反。

(3)通過計(jì)算結(jié)構(gòu)層間位移角可靠度知，基于層間位移角的可靠度對子結(jié)構(gòu)剛度均值靈敏度較差，對主結(jié)構(gòu)剛度及隔震層阻尼比均值靈敏度較強(qiáng)。可為巨-子結(jié)構(gòu)控制體系設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

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